100 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (cơ bản – Phần 1)


100 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (cơ bản - Phần 1)

Bài giảng: Những dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Thầy giáo VietJack)

Câu 1: Cho hàm số . Tìm mệnh đề đúng?

A. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là x = 2.

B. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là x = 2.

C. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (2; 2/3).

D. Điểm cực tiều của hàm số là (3; 1/2).

Câu 2: Tìm cực trị của hàm số .

A. x = 5      B. x = 4

C. (4;0)      D. Ko với điểm cực trị

Câu 3: Hàm số y= -x3 + 3x2 + Một đạt cực tiểu tại:

A. x = 0      B. x = 2

C. Ko với cực tiểu     D. Đáp án khác

Câu 4: Khẳng định nào sau đây là sai:

A. với đạt cực tiểu tại – 1.

B. ko với cực trị.

C. y = x4 + 6x2 + Hai đạt cực tiểu là 0.

D. Nếu đạo hàm ko đổi dấu trên TXĐ thì hàm ko với cực trị.

Câu 5: Cực trị của hàm số là:

A. xCD = 0, xCT = 1/3      B. xCD = 3, xCT = -3

C. xCD = 1/3, xCT = 0      D. Ko với cực trị.

Câu 6: Hàm số y = ax4 + bx2 + c với a ≠ 0 với tối đa bao nhiêu cực trị?

A. 1     B. 2

C. 3     D. 4

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và với bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Hàm số với đúng một cực trị.

B. Hàm số với trị giá cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số với trị giá to nhất bằng 0 và trị giá nhỏ nhất bằng -1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và với bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. Hàm số với đúng một cực trị.

B. Hàm số với trị giá cực tiểu bằng 1.

C. Hàm số với trị giá to nhất bằng 0 và trị giá nhỏ nhất bằng -1.

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.

Câu 9: Cho hàm số y = f(x) liên tục tại x0 và với bảng biến thiên

Lúc đó hàm số đã cho với:

A. Hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Một điểm cực đại, ko với điểm cực tiểu.

C. Một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Câu 10: Cho hàm số với m là thông số thực. Hàm số với đồ thị (C) và bảng biến thiên sau:

Tìm m sao cho hàm số f(x) đạt cực trị ít nhất tại một điểm mà điểm đó to hơn -1?

Câu 11: Cho hàm số y = f(x) với f'(x) = x(x-1)2.(x + 1)3, hỏi số điểm cực trị của hàm số y = f(x).

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Câu 12: Hàm số f(x) với đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thị của hàm số f'(x) trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số f(x) trên K là:

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Câu 13: Hàm số f(x) với đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thị của hàm số f'(x) trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) + 2018 trên K là:

A. 1      B. 2

C. 3      D.4

Câu 14: Hàm số f(x) với đạo hàm f'(x) trên khoảng K. Cho đồ thị của hàm số f'(x) trên khoảng K như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) + 2x trên K là:

A. 0      B. 1

C. 2      D. 3

Câu 15: Hàm số f(x) với đạo hàm f’(x) trên R. Cho đồ thị của hàm số f’(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x2) là:

A. 1      B. 2

C. 3      D. 4

Câu 16: Hàm số y = f(x) với đồ thị như hình bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số với mấy điểm cực trị:

A. 3.      B. 2.

C. 1.      D. 0.

Câu 17: Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số y = |f(x)| là:

A. 3      B. 4

C. 7      D. 0

Câu 18: Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f(|x|) là:

A. 0      B. 2

C. 4      D. 5

Câu 19: Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) với đồ thị như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = |2f(x) – 3| là:

A. 3      B. 5

C. 7      D. 9

Câu 20: Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm và liên tục trên R, hàm số y = f(x) đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số y = |[f(x)]2 - 1| là:

A. 7      B. 9

C. 11      D. 13

Câu 21: Hàm số với m ≠ 0 đạt cực đại tại x = -4/5 với trị giá của m nào dưới đây ?

A. m = 0      B. m = -13/5

C. m = -5/4      D. m = 2/3

Câu 22: Tìm trị giá cực đại y của hàm số y = x3 – 3x + 2

A. y = 4      B. y = 1

C. y = 0      D. y = -1

Câu 23: Cho hàm số với Hai cực trị x1, x2. Tính S = x1 + x2.

A. S = 2      B. S = -2

C. S = 2√3      D. S = -2√3

Câu 24: Tìm m để hàm số với Hai cực trị x1, x2 thỏa mãn x1.x2 + 2.(x1 + x2) = 1

A. m = 2/√3 B. m = 3/√2

C. m = 2/3 D. Đáp án khác

Câu 25: Cho hàm số y= -x4 + (5m - 1)x2 + 2. Hàm số đã cho với đúng Một cực trị với trị giá nào của m sau đây ?

C. m < 1/5      D. m ≤ 1/5

Câu 26: , với trị giá nào của m thì hàm số với cực tiểu, cực đại

A. 4 ≤ m ≤ 1      B. -4 ≤ m ≤ 1

Câu 27: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với a ≠ 0 với Hai cực trị lúc nào ?

A. y' = 0 với nghiệm.

B. y' = 0 với Hai nghiệm phân biệt.

C. y' = 0 với Hai nghiệm trái dấu.

D. Hàm số luôn với Hai cực trị.

Câu 28: Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số với trị giá cực tiểu là 0.

B. Hàm số với hai trị giá cực tiểu là -2/3 và -5/48.

C. Hàm số chỉ với một trị giá cực tiểu.

D. Hàm số với trị giá cực tiểu là -2/3 và trị giá cực đại là -5/48.

Câu 29: Tọa độ điểm cực đại của hàm số y = x3 – 3x2 + 4 là:

A. (2;4)      B. (2; 0)

C. (0;- 4)      D. (0 ; 4)

Câu 30: Cho hàm số y = x3 – 3x2 +1 (C). Đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) với phương trình là

A. y = - x      B. x - 4y + 5 = 0

C. y = 2x + 3      D. x - 2y + 3 = 0

Câu 31: Cho hàm số y = x3 – 3x với trị giá cực đại và cực tiểu tuần tự là y1; y2. Lúc đó:

A. y1 + y2 = 1      B. 2y1 – y2 = 4

C. 2y2 + y1 = 2      D. y1 - y2 = 4

Câu 32: Đồ thị của hàm số y = 3x4 – 4x3 – 6x2 + 12x + Một đạt cực tiểu tại M(x1; y1). Tính tổng S = x1 + y1

A. 5      B. - 11

C. 7      D. 6

Câu 33: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0; 4] với đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

  • 100 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (cơ bản - Phần 2)
  • 100 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (cơ bản - Phần 3)
  • 120 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (tăng - Phần 1)
  • 120 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (tăng - Phần 2)

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Nhà băng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán với đáp án
  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa với đáp án chi tiết
  • Sắp 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý với đáp án
  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh với đáp án
  • Kho trắc nghiệm những môn khác


--- Cập nhật: 26-01-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án từ website vietjack.com cho từ khoá bài tập cực trị của hàm số với lời giải.



Những dạng bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với đáp án

Phần Cực trị của hàm số Toán lớp 12 với những dạng bài tập lựa chọn với trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm lựa chọn, với đáp án. Vào để theo dõi những dạng bài Cực trị của hàm số hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Những dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Thầy giáo VietJack)

  • 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học với lời giải Xem chi tiết
  • Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Xem chi tiết
  • Trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm số Xem chi tiết
  • Dạng 2: Tìm thông số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm Xem chi tiết
  • Trắc nghiệm Tìm thông số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm Xem chi tiết
  • Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số Xem chi tiết
  • Trắc nghiệm Biện luận theo m số cực trị của hàm số Xem chi tiết
  • Dạng 4: Bài toán liên quan tới cực trị của hàm số Xem chi tiết
  • Trắc nghiệm về cực trị hàm số Xem chi tiết
  • Cách tìm cực trị của hàm trùng phương cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Cách tìm cực trị của hàm bậc ba cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Cách tìm cực trị của hàm chứa dấu trị giá tuyệt đối cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Cách tìm cực trị của hàm chứa căn thức cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm cực trị của hàm số dựa vào đồ thị cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm m để hàm trùng phương với 3 điểm cực trị cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm m để hàm trùng phương với Một điểm cực trị cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm m để hàm bậc ba với Hai điểm cực trị cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm m để hàm bậc ba ko với cực trị cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm m để hàm số với 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm m để hàm số với 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Tìm m để hàm số với 3 điểm cực trị tạo thành tam giác với diện tích cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • Viết phương trình đường thẳng đi qua Hai điểm cực trị cực hay, với lời giải Xem chi tiết
  • 100 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (cơ bản - Phần 1) Xem chi tiết
  • 100 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (cơ bản - Phần 2) Xem chi tiết
  • 100 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (cơ bản - Phần 3) Xem chi tiết
  • 120 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (tăng - Phần 1) Xem chi tiết
  • 120 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (tăng - Phần 2) Xem chi tiết
  • 120 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (tăng - Phần 3) Xem chi tiết
  • 120 Bài tập Cực trị của hàm số lựa chọn, với lời giải (tăng - Phần 4) Xem chi tiết

Cách tìm cực trị của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1.Khái niệm: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (với thể a là -∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b).

2.Điều kiện đủ để hàm số với cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là trị giá cực đại (trị giá cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Những điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Trị giá cực đại (trị giá cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tínhf'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) ko xác định.

   Bước 3. Lập bảng biến thiên.

   Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra những điểm cực trị.

Quy tắc 2:

   Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

   Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệuxi (i=1,2,3,...)là những nghiệm của nó.

   Bước 3.Tính f''(x) và f''(xi ) .

   Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi )suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 - 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x2 - 6. Cho y'= 0 ⇔ 6x2 - 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4x3 - 4x. Cho y'= 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = Một và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y =

Hướng dẫn

Tập xác định D = R{2}. Tính

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho ko với cực trị.

Tìm thông số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số với đạo hàm tại x0.

Lúc đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được trị giá của thông số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách sử dụng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem trị giá của thông số vừa tìm được với thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay ko?

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là thông số thực. Tìm tất cả những trị giá của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y'=3x2 - 6mx + m2 - 1; y'' = 6x - 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒

⇔ m = 1.

Ví dụ 2. Tìm những trị giá của m để hàm số y = -x3 + (m+3)x2 - (m2 + 2m)x - Hai đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

y' = -3x2 + 2(m + 3)x - (m2 + 2m) ; y'' = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

Kết luận : Trị giá m cần tìm là m = 0 ,m = 2.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 - 2m - Một đạt cực đại tại x = 1 .

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Ta với y' = 4x3 -4(m + 1)x.

+ Để hàm số đạt cực đại tại x = Một cần y'(1) = 0 ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0

+ Với m = 0 ⇒ y' = 4x3 - 4x ⇒ y'(1) = 0.

⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 ko thỏa mãn.

Vậy ko với trị giá nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Biện luận theo m số cực trị của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac

    Phương trình (1) vô nghiệm hoặc với nghiệm kép thì hàm số đã cho ko với cực trị.

    Hàm số bậc 3 ko với cực trị ⇔ b2 - 3ac ≤ 0

    Phương trình (1) với hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho với Hai cực trị.

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

    (C)với một điểm cực trị y' = 0 với Một nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx + Hai với cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn

y' = 3x2 + m.

Hàm số y = x3 + mx + Hai với cả cực đại và cực tiểu lúc và chỉ lúc y'= 0 với hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m - 2)x3 - mx - 2. Với trị giá nào của m thì hàm số với cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 3(m - 2)x2 - m.

Cho y' = 0 ⇔ 3(m - 2)x2 - m = 0   (1).

   + TH1: Xét m = 2 ⇒ y' = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho ko với cực trị.

   + TH2: Xét m ≠ 2

Ví dụ 3: Xác định những trị giá của thông số m để đồ thị hàm số y = mx4 - m2 x2 + 2016 với 3 điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4mx3 - 2xm2.

Để hàm số với 3 điểm cực trị lúc

  • Tổng hợp lý thuyết Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
  • Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số
  • Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
  • Chủ đề: Tiệm cận của đồ thị hàm số
  • Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
  • Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số
  • Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị
  • Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Nhà băng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán với đáp án
  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa với đáp án chi tiết
  • Sắp 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý với đáp án
  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh với đáp án
  • Kho trắc nghiệm những môn khác




--- Cập nhật: 26-01-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Các dạng bài tập về cực trị của hàm số và cách giải từ website haylamdo.com cho từ khoá bài tập cực trị của hàm số với lời giải.


Những dạng bài tập về cực trị của hàm số và cách giải

Với Những dạng bài tập về cực trị của hàm số và cách giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm với lời giải chi tiết sẽ giúp học trò ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. LÝ THUYẾT

1. Khái niệm.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) và điểm x0 ∈ (a,b).

2. Điều kiện cần để hàm số với cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo. Lúc đó, nếu f(x) với đạo hàm tại điểm xo thì f‘(xo) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) với thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f(x) ko đạt cực trị tại điểm xo.

- Hàm số với thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số ko với đạo hàm.

- Hàm số chỉ với thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số ko với đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại xo và nếu đồ thị hàm số với tiếp tuyến tại điểm (xo ; f(xo)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số với cực trị.

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Tương tự: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ). Nếu f’(x) ko đổi dấu thì hàm số ko với cực trị.

(Nhấn mạnh:xo (a; b) D tức thị xo là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số y = √x xác định trên D= [0,+∞). Ta với y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 ko phải là cực tiểu của hàm số vì D ko chứa bất kì Một phụ cận nào của điểm 0.

- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0) được gọi là trị giá cực đại (trị giá cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f ( fCT ), còn điểm M (x0;f( x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

- Những điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Trị giá cực đại (trị giá cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Trị giá cực đại (cực tiểu) f(xo) nói chung ko phải là GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số với thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng với thể ko với điểm cực trị.

- xo là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .

4. Định lý 3: Giả sử hàm số f với đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xo ; f (xo) = 0f với đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a) Nếu f (xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo
b) Nếu f (xo) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

Lưu ý:

- Ko cần xét hàm số f(x) với hay ko với đạo hàm tại điểm x = xo nhưng ko thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm xo.

B. CÁC KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CƠ BẢN.

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) ko xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra những điểm cực trị.

Quy tắc 2.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1,2,3...) là những nghiệm.

Bước 3: Tính f''(x)f''(xi) .

Bước 4: Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi .

2. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0).

- Ta với y' = 3ax2 + 2bx + c

Và ko với cực trị ⇔Δ’ = b2 − 3ac ≤ 0

- Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d với hai điểm cực trị phân biệt là A, B . Lúc đó:

Phương trình đường thẳng AB :

Độ dài đoạn thẳng

Hoặc lúc đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: (CASIO tương trợ).

3. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với đồ thị là (C) .

Ta với

(C) với ba điểm cực trị y' = 0 với 3 nghiệm phân biệt hay ab < 0

Hàm số với 3 cực trị là:

Độ dài những đoạn thẳng:

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1. Tìm những điểm cực trị của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Quy tắc 1: Ứng dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm những điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng ko với đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu lúc x qua điểm xo thì hàm số với cực trị tại điểm xo

Quy tắc 2: Ứng dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm những nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f (x) = 0

- Với mỗi xi tính f (xi)

- Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số y = f(x) với bảng biến thiên như sau:

Trị giá cực đại của hàm số đã cho là

A. 3 B. -1. C. -5 D. 1 .

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, trị giá cực đại của hàm số là y = f(-1) = 3 .

Chọn A.

Ví dụ 2. (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Hai Mã đề 103) Cho hàm số f(x) với đạo hàm f'(x) = x(x + 1)(x - 4)3, ∀x ∈ R. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 .

Lời giải

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)

Vậy hàm số đã cho với một điểm cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 3. (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Một Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn f(x) với bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x4[f(x + 1)]2

A. 11 . B. 9 . C. 7 . D. 5 .

Lời giải

Ta chọn hàm f(x) = 5x4 - 10x2 + 3 .

Đạo hàm

g'(x) = 4x3[f(x + 1)]2 + 2x4f(x + 1)f'(x + 1) = 2x3f(x + 1)[2f(x + 1) + xf'(x + 1)]

Ta với

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9.

Chọn B.

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = -2x3 + 3x2 + 1 .

A. y = x -1 B. y = x +1 C. y = -x +1 D. y = -x -1

Lời giải

Ta với

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A(0,1) và B(1,2).

Lúc đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB với phương trình y = x +1

Chọn B.

Cách 2. Lấy y chia cho y', ta được ⇔ .

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y = x +1

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định, liên tục và với đạo hàm trên khoảng (a,b). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu f(x) đồng biến trên (a,b) thì hàm số ko với cực trị trên (a,b).

B. Nếu f(x) nghịch biến trên (a,b) thì hàm số ko với cực trị trên (a,b).

C. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a,b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0; f(x0)) song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 ∈ (a,b) thì f(x) đồng biến trên (a;x0) và nghịch biến trên (x0;b) .

Câu 2. Cho khoảng (a,b) chứa điểm x0, hàm số f(x) với đạo hàm trên khoảng (a,b) (với thể trừ điểm x0). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu f(x) ko với đạo hàm tại x0 thì f(x) ko đạt cực trị tại x0

B. Nếu f'(x) = 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x0

C. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì f(x) ko đạt cực trị tại điểm x0

D. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) ≠ 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x0

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm lúc x qua điểm x0 và f(x) liên tục tại x0 thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x0

B. Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 lúc và chỉ lúc x0 là nghiệm của f'(x) = 0

C. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì x0 ko là điểm cực trị của hàm số y = f(x)

B. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.

C. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì x0 ko là điểm cực trị của hàm số.

D. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì chưa kết luận được x0 với là điểm cực trị của hàm số.

Câu 5. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Hai Mã đề 103) Cho hàm số f(x) với bảng biến thiên như sau :

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. x = 3 B. x = 2 C. x = -2 D. x = -1

Câu 6. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Một Mã đề 101) Cho hàm f(x) với bảng biến thiên như sau:

Trị giá cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 3 B. -5 C. 0 D. 2

Câu 7. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Một Mã đề 101) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .

Câu 8. Cho hàm số y = f(x) với bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .

Câu 9. Cho hàm số với đồ thị như hình vẽ. Trị giá cực đại của hàm số bằng:

A. –1. B. –2. C. 1. D. 0.

Câu 10. Cho hàm số y = f(x) với đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f(x) với mấy điểm cực trị?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 11. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và với đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số với bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0. B. 1.

C. 3. D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và với đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số với bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 13. Hàm số y = 2x3 - x2 + 5 với điểm cực đại là:

A. B. 5 C. 3 D. 0

Câu 14. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số ?

A. 4. B. 1. C. 0. D. 3.

Câu 15. Hàm số y = -x4 - x2 + Một với mấy điểm cực trị?

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 16. Gọi x1,x2 là hai điểm cực trị của hàm số . Trị giá của x12 + x22 bằng:

A. 13 B. 32 C. 4 D. 36

Câu 17. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 3x4 - 4x3 - 6x2 + 12x + Một là điểm M(x0, y0). Tính tổng T = x0 + y0

A. T = 8 B. T = 4 C. T = -11 D. T = 3

Câu 18. Đồ thị hàm số nào sau đây với đúng Một điểm cực trị?

A. y = -x4 - 3x2 + 4 B. y = x3 - 6x2 + 9x - 5

C. y = x3 - 3x2 + 3x - 5 D. y = 2x4 - 4x2 + 1

Câu 19. Đồ thị hàm số nào sau đây với 3 điểm cực trị?

A. y = 2x4 - 4x2 + 1 B. y = (x2 + 1)2

C. y = x3 - 6x2 + 9x - 5 D. y = -x4 - 3x2 + 4

Câu 20. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và với đạo hàm . Hỏi hàm số y = f(x) với bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .

Câu 21. Gọi y1,y2 tuần tự là trị giá cực đại và trị giá cực tiểu của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 4. Tính P = y1.y2

A. P = -302 . B. P = -82 C. P = -207 D. P = 25

Câu 22. Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = (x + 1)(x - 2)2

A. d = 2√5 . B. d = 2. C. d = 4. D. d = 5√2.

Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax4 + bx2 + c với a,b,c là những số thực.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. Phương trình y' = 0 vô nghiệm trên tập số thực.

B. Phương trình y' = 0 với đúng một nghiệm thực.

C. Phương trình y' = 0 với đúng hai nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình y' = 0 với đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 24. Cho hàm số y = f(x) liên tục tại x0 và với bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số với hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Hàm số với một điểm cực đại, ko với điểm cực tiểu.

C. Hàm số với một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Hàm số với một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Câu 25*. Cho hàm số y = f(x) với bảng biến thiên sau:

Hàm số y = |f(x)| với bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5 B. 3 C. 4 D. 2

Câu 26. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + Một với hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

A. P(1,0) B. M(0,-1) C. N(1,-10) D. Q(-1,10)

Câu 27. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số y = – x3 + 3x2 + 5 với hai điểm cực trị AB. Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

Câu 28. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = (x + 1)(x - 2)2 là:

A. 2√5 . B. 2. C. 4. D. 5√2 .

Câu 29. Trong những đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào đi qua trung điểm đoạn thẳng nối những điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 1 ?

Câu 30. Đồ thị hàm số x4 - x2 + Một với bao nhiêu điểm cực trị với tung độ dương?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 31. Cho hàm số f(x) = (x2 - 3)2. Trị giá cực đại của hàm số f'(x) bằng:

A. 8. B. -8 . C. 0. D. .

Câu 32. Điểm cực trị của hàm số y = sin2x - x là:

Câu 33. Trị giá cực đại của hàm số y = x + 2cosx trên khoảng (0;π) là:

Câu 34. Cho hàm số y = sinx - √3cosx. Khẳng định nào sau đây sai:

A. là một nghiệm của phương trình.

B. Trên khoảng (0;π) hàm số với duy nhất một cực trị.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại .

D. y + y'' = 0, ∀x ∈ R .

A. 15mg. B. 30mg. C. 40mg. D. 20mg.

Câu 36. Hỏi hàm số y = |x|3 - 3x + Một với tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. Ko với điểm cực trị. B. Sở hữu một điểm cực trị.

C. Sở hữu hai điểm cực trị. D. Sở hữu ba điểm cực trị.

Đáp án

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số với cực trị.

1. Phương pháp. Sử dụng định lí Hai và định lí 3

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc với nghiệm kép thì hàm số đã cho ko với cực trị.

→ Hàm số bậc 3 ko với cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) với hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho với Hai cực trị.

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

- Nếu (C)với một điểm cực trị thì y' = 0 với Một nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) với cực trị ⇔ ∃xo ∈D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại xo phải bằng 0 hoặc hàm số ko với đạo hàm tại xo

- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm xo hoặc f ”(xo) ≠ 0.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + 6mx + m với hai điểm cực trị.

A. m ∈ (0;2) . B. m ∈ (-∞;0) ∪ (8;+∞)

C. m ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞) D. m ∈ (0;8) .

Lời giải

Ta với y' = 3x2 - 6mx + 6m = 3(x2 - 2mx + 2m) .

Để hàm số với hai điểm cực trị ⇔ x2 - 2mx + 2m = 0 với hai nghiệm phân biệt

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0). Với điều kiện nào của những thông số a,b,c thì hàm số với ba điểm cực trị?

A. a,b cùng dấu và c bất kì. B. a,b trái dấu và c bất kì.

C. b = 0 và a,c bất kì. D. c = 0 và a,b bất kì.

Lời giải

Ta với

Để hàm số với ba điểm cực trị với hai nghiệm phân biệt khác 0

. Lúc đó a,b trái dấu và c bất kì.

Chọn B.

Ví dụ 3. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để hàm số y = mx4 + (m + 1)x2 + Một với một điểm cực tiểu.

Lời giải

TH1. Với a = 0 ⇔ m = 0, lúc đó y = x2 + Một với đồ thị là một parabol với bề lõm quay lên nên hàm số với duy nhất một điểm cực tiểu.

→ m = 0 thỏa mãn.

Yêu cầu bài toán ⇔ ab ≥ 0 ⇔ m(m + 1) ≥ 0

Ta với:

yêu cầu bài toán

→ -1 < m < 0 thỏa mãn.

Chọn D.

Nhận xét. Bài toán hỏi hàm số với một điểm cực tiểu nên hàm số với thể với điểm cực đại hoặc ko với điểm cực đại. Lúc nào bài toán hỏi hàm số với đúng một cực tiểu và ko với cực đại thì lúc đó ta chọn đáp án B.

Ví dụ 4. Cho hàm số . Tìm trị giá thực của thông số m để hàm số với hai điểm cực trị là x = 3 và x = 5.

A. m = 0 . B. m = 1 . C. m = 2. D. m = 3.

Lời giải

Ta với y' = x2 - (3m + 2)x + (2m2 + 3m + 1).

Yêu cầu bài toán ⇔ y' với hai nghiệm x = 3 hoặc x = 5.

Thay x = 3 và x = 5 vào y’ ta với hệ phương trình:

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = 2x3 + bx2 + cx + Một Biết M(1;-6) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Tìm toạ độ điểm cực đại N của đồ thị hàm số.

A. N(2;21) B. N(-2;21) C. N(-2;11) D. N(2;6)

Lời giải

Đạo hàm y' = 6x2 + 2bx + c và y'' = 12x + 12b .

Điểm M(1;-6) là điểm cực tiểu

Lúc đó y = f(x) = 2x3 + 3x2 -12x + 1 .

Ta với

Suy ra N(-2;21) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chọn B.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Hàm số y = x3 - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = Một lúc:

A. m = -1 B. m = 2 C. m = -2 D. m = 1

Câu 2. Tìm trị giá thực của thông số m để hàm số y = x3 - 3x2 + mx đạt cực đại tại x = 0

A. m = 1 B. m = 2 C. m = -2 D. m = 0

Câu 3. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với điểm đại A(0;-3) và với điểm cực tiểu B(-1;-5). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 4. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0). Để hàm số với một cực tiểu và hai cực đại thì a, b cần thỏa mãn:

Câu 5. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + 1 (a ≠ 0). Để hàm số chỉ với một cực trị và là cực tiểu thì a, b cần thỏa mãn:

Câu 6. Hàm số y = ax4 + 2mx2 + m2 + m với ba cực trị lúc:

Câu 7. Đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 + ax + b với điểm cực tiểu A(2;-2). Tìm tổng a + b.

A. - 14. B. 14. C. - 20. D. 34.

Câu 8. Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c với điểm đại A(0;-3) và với điểm cực tiểu B(-1; - 5). Lúc đó trị giá của a, b, c tuần tự là:

A. -3,-1,-5 . B. 2,-4,-3 . C. 2,4,-3 . D. -2,4,-3 .

Câu 9. Hàm số với cực đại và cực tiểu thì điều kiện của m là:

Câu 10. Hàm số đạt cực đại tại x= Hai lúc trị giá thực m bằng:

A. -1 . B. -3 . C. 1. D. 3 .

Câu 11. Hàm số y = sin3x + msinx đạt cực đại tại lúc m bằng:

A. 5. B. -6 . C. 6. D. -5 .

Câu 12. Biết hàm số y = asinx + bcosx + x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại Lúc đó tổng a + b bằng:

A. 3. B. C. √3 + 1 . D. √3 - 1

Câu 13. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số với cực trị.

A. m ∈ (-∞;1] . B. m ∈ (-∞;0] ∪ (0,1).

C. m ∈ (-∞;0] ∪ (0,1]. D. m ∈ (-∞;1).

Câu 14. Biết rằng hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 - x3 với hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 15. Tìm những trị giá của thông số m để hàm số y = (m - 3)x3 - 2mx2 + 3 ko với cực trị.

A. m = 3. B. m = 3, m = 0. C. m = 0. D. m ≠ 3 .

Câu 16. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Biết M(0,2), N(2;-2) là những điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính trị giá của hàm số tại x = -2 .

A. y(-2) = 2 . B. y(-2) = 22 C. y(-2) = 6. D. y(-2) = -18

Câu 17. Biết rằng hàm số y = ax3 + bx2 + cx (a ≠ 0) nhận x = -Một là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a + c = b . B. 2a - b = 0 . C. 3a + c = 2b . D. 3a + 2b + c = 0 .

Câu 18. Cho hàm số với m là thông số thực. Tìm tất cả những trị giá của m để hàm số đạt cực trị tại x = -1 .

A. m = 0 B. m = -2 C. m = 0,m = -2. D. m = 0,m = 2

Câu 19. Biết rằng hàm số y = 3x3 - mx2 + mx - 3 với một điểm cực trị x1 = -1. Tìm điểm cực trị còn lại x2 của hàm số.

Câu 20. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 + 5 với m là thông số thực. Tìm tất cả những trị giá của x = Một để hàm số đạt cực đại tại .

A. m = 0,m = 2 B. m = 2 C. m = 1 D. m = 0

Câu 21. Hàm số y = x3 - 3mx2 + 6mx + m với hai điểm cực trị lúc m thỏa mãn điều kiện:

Câu 22. Hàm số với cực trị lúc và chỉ lúc:

Câu 23. Với điều kiện nào của a và b để hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 - x3 đạt cực đại và cực tiểu ?

Câu 24. Hàm số y = (m - 3)x3 - 2mx2 + 3 ko với cực trị lúc:

A. m = 3. B. m = 0 hoặc m = 3. C. m = 0. D. m ≠3.

Câu 25. Tìm tất cả những trị giá của m để hàm số đạt cực trị tại x = 3 hoặc x = 5, ta được.

A. m = 0. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 3.

Câu 26. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm trị giá thực của thông số m để hàm số đạt cực đại tại x = 3.

A. m = 0. B. m = 3. C. m = 5. D. m = 1.

Câu 27. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m với ba điểm cực trị.

Câu 28. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + 1 - 2m với đúng một điểm cực trị.

A. m ∈ [1;+∞) . B. m ∈ (-∞;0]

C. m ∈ [0;1] D. m ∈ (-∞;0] ∪ [1;+∞)

Câu 29. Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + m. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. y = -8x + m . B. y = -8x + m - 3

C. y = -8x + m + 3 . D. y = -8x - m + 3

Câu 30. Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 + ax + b với điểm cực tiểu là A(2;-2). Tính tổng S = a + b

A. S = -14 . B. S = 14 C. S = -20. D. S = 34

Đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

D

D

B

B

D

C

A

B

D

B

C

C

D

A

C

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

D

C

A

B

B

C

D

A

C

C

C

C

D

B

B

Dạng 3: Tìm điều kiện để những điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

a, Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào thông số)
Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số với cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 với hai nghiệm phân biệt

⇔ (1) với hai nghiệm phân biệt

⇔ Trị giá thông số thuộc miền D nào đó Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo thông số, giải phương trình này ta được thông số sau đó đối chiếu với điều kiện Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án và kết luận.

Một số điều kiện thường gặp: (Ko sử dụng dấu tương đương tương tự)

- Để hàm số y = f(x) với Hai cực trị nằm về Hai phía đối với trục hoành ⇔ yCD.yCT < 0

- Để hàm số y = f(x) với Hai cực trị nằm về Hai phía đối với trục tung ⇔xCD.xCT < 0

- Để hàm số y = f(x) với cực trị xúc tiếp với trục hoành ⇔yCD.yCT = 0

- Đồ thị với Hai điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0

+ Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

+ Gọi t1 và t2 là những trị giá lúc thay M1 và M2 vào đường thẳng d:

t1 = Ax1 + By1 + C; t2 = Ax2 + By2 + C

+ Đồ thị với Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 với Hai nghiệm phân biệt và t1t2 < 0

+ Đồ thị với Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm ở cùng một phía của đường thẳng d:

Chú ý: Lúc thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn thì vẫn ứng dụng kết quả trên. Với những điều kiện khác thì tuỳ từng trường hợp.

b, Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c. Lúc đó:

- Xét trường hợp với ba cực trị → toạ độ những điểm cực trị

+ Phương trình qua điểm cực trị:

+ Gọi , luôn với

+ Diện tích tam giác

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

+ Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cùng thì điều kiện là

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm trị giá thực của thông số m để đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 1 .

Lời giải

Xét hàm y = x3 - 3x2 + 1 , với

Suy ra A(0;1), B(2,-3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra đường thẳng AB với một VTCP là

Đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m với một VTCP là

Yêu cầu bài toán

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hàm số với m là thông số thực. Tìm trị giá của để đồ thị hàm số với ba điểm cực trị tạo thành tam giác với trọng tâm là gốc tọa độ.

Lời giải

Ta với

Để hàm số với ba điểm cực trị

Lúc đó đồ thị hàm số với ba điểm cực trị là:

Suy ra toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là

Yêu cầu bài toán:

Chọn D.

Cách ứng dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để với ba cực trị

Yêu cầu bài toán:

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m2 - m + 1)x2 + m -Một với một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

Câu 2. Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 4 với đồ thị là (Cm). Tìm những trị giá của m để tất cả những điểm cực trị của (Cm) đều nằm trên những trục tọa độ.

Câu 3. Trị giá của thông số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + Một với ba điểm cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC = 4?

A. m = ±4 . B. m = √2 . C. m = 4 . D. m = ±√2 .

Câu 4. Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + m2, với m là thông số thực. Tìm m để đồ thị hàm số với ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. Đáp án khác.

Câu 5. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + Một với ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Câu 6. Tìm m để đồ thị hàm số với ba điểm cực trị tạo thành tam giác với trọng tâm là gốc tọa độ.

Câu 7. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 với ba điểm cực trị tạo thành một tam giác với diện tích nhỏ hơn 1.

Câu 8. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 - m với những trị giá cực trị trái dấu:

A. – Một và 0. B. (-∞;0) và (-1;+ ∞). C. (-1;0). D. [0;1].

Câu 9. Cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 1)x2 + 6mx + m3. Tìm m để đồ thị hàm số với hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = √2.

A. m = 0. B. m = 0 hoặc m = 2 C. m = 1. D. m = 2.

Câu 10. Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị của hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - m3 + m. Trị giá của m để x12 + x22 - x1 x2 = 7 là:

Câu 11. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm trị giá thực của thông số m để đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 + 1 .

Câu 12. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 với hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB với diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

A. B. m = -1,m = 1

C. m = 1 D. m ≠ 0

Câu 13. Nếu x = Một là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thì tập tất cả những trị giá của m là:

A. m = -1. B. m ≠ -1. C. . D. Ko với trị giá m.

Câu 14. Trị giá của m để khoảng cách từ điểm M(0;3) tới đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Câu 15. Cho hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1. Xác định m để hàm số với điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm từ (-2;3).

A. m ∈ (-1;3) ∪ (3;4) . B. m ∈ (1;3)

C. m ∈ (3;4) D. m ∈ (-1;4)

Câu 16. Để hàm số y = x3 + 6x2 + 3(m + 2)x - m - 6 với cực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho x1 < -1 < x2 thì trị giá của m là:

Câu 17. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số với hai điểm cực trị nằm từ (0;+∞)?

Câu 18. Với những trị giá nào của m thì hàm số y = x3 - 3x2 + 3mx + Một với những điểm cực trị nhỏ hơn 2?

Câu 19. Cho hàm số y = 2x3 - 3(2a + 1)x2 + 6a(a + 1)x + 2. Nếu gọi x1, x2 tuần tự là hoành độ những điểm cực trị của đồ thị hàm số thì trị giá |x1 – x2| bằng:

A. a + 1. B. a. C. a – 1. D. 1.

Câu 20. Cho hàm số y = 2x3 + mx2 -12x - 13. Với trị giá nào của m thì đồ thị hàm số với điểm cực đại, cực tiểu cách đều trục tung ?

A. 2. B. - 1. C. 1. D. 0.

Câu 21. Đồ thị hàm số y = -x3 + 3mx2 - 3m - Một với hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 thì tập tất cả những trị giá của m:

A. m = 1. B. m = -2 C. m = -1 D. m = 2

Câu 22. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m -Hai với m là thông số, với đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) với những điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành ?

A. m < 2 . B. m ≤ 3 C. m < 3 D. m ≤ 2

Câu 23. Cho hàm số với m là thông số, với đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) với những điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung ?

Câu 24. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x1, x2 nằm hai phía trục tung lúc và chỉ lúc:

Câu 25. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m2 - 2. Tìm m để đồ thị hàm số với hai điểm cực trị A, B sao cho I(1;0) là trung điểm của AB.

A. m = 0 . B. m = -1. C. m = 1 D. m = 2

Câu 26. Với trị giá nào của thông số m thì đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + Hai với hai điểm cực trị A, B sao cho A, B và M(1;-2) thẳng hàng.

A. m = 0 B. m = √2 C. m = -√2 D. m = ±√2

Câu 27. Với trị giá nào của thông số m thì đồ thị hàm số y = -x3 - 3mx + Một với hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ ?

Câu 28. Cho hàm số y = x3 - 3x2 - mx + Hai với m là thông số thực. Tìm trị giá của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 một góc α = 450

Câu 29. Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + Hai với m là thông số thực. Sở hữu bao nhiêu trị giá nguyên của m để đồ thị hàm số với ba điểm cực trị A,B,C thỏa mãn OA.OB.OC = 12 với O là gốc toạ độ?

A. 2 B. 1 C. 0 D. 4

Câu 30. Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 4 với đồ thị là (Cm). Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để tất cả những điểm cực trị của (Cm) đều nằm trên những trục tọa độ.

A. m = ±2 . B. m = 2

Câu 31. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + Một với ba điểm cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC = 4.

A. m = ±4 . B. m = √2 C. m = 4 D. m = ±√2 .

Câu 32. Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + m2 với m là thông số thực. Tìm tất cả những trị giá của m để đồ thị hàm số với ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

Câu 33. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm trị giá thực của thông số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + Một với ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Câu 34. Cho hàm số y = 3x4 + 2(m - 2018)x2 + 2017 với m là thông số thực. Tìm trị giá của m để đồ thị hàm số với ba điểm cực trị tạo thành tam giác với một góc bằng 1200.

A. m = -2018 B. m = -2017 C. m = 2017 D. m = 2018

Câu 35. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị của hàm số y = x4 - 2mx2 với ba điểm cực trị tạo thành một tam giác với diện tích nhỏ hơn 1.

Câu 36. Cho hàm số y = x4 - mx2 + m - Một với m là thông số thực. Tìm trị giá của để đồ thị hàm số với ba điểm cực trị tạo thành một tam giác với bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

A. m = -2 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 4

Đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

B

B

C

B

B

D

D

C

B

B

B

B

D

B

A

B

A

D

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

D

D

D

C

C

B

C

D

C

A

B

B

C

B

B

C

D

D


--- Cập nhật: 26-01-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Toán lớp 12 từ website haylamdo.com cho từ khoá bài tập cực trị của hàm số với lời giải.


Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học với lời giải (4 dạng)

Với Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học với lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm với lời giải chi tiết sẽ giúp học trò ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y'. Tìm những điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' ko xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra những điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3... là những nghiệm).

Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = Hai và đạt cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = Hai và đạt cực đại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -Hai và cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Lời giải:

Ta với: y' = 3x2 - 6x = 0

Và y'' = 6x - 6

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số với ba điểm cực trị.

B. Hàm số chỉ với đúng Hai điểm cực trị.

C. Hàm số ko với cực trị.

D. Hàm số chỉ với đúng một điểm cực trị.

Lời giải:

Ta với đạo hàm:

y' = 4x3 - 4x = 0

Và y''= 12x2 – 4

Suy ra:

• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0

• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = Một và x = -1.

Vậy hàm số đã cho với 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Gọi M, n tuần tự là trị giá cực đại, trị giá cực tiểu của hàm số sau. Lúc đó trị giá của biểu thức M2 – 2n bằng:

A. 8.     B. 7.

C. 9.     D. 6.

Lời giải:

* Ta với đạo hàm:

Suy ra:

* Ta với:

Suy ra: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và y = -3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - Một và yCT = 1

⇒ M2 – 2n = 7

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số:

Điểm nào trong những điểm sau là điểm cực trị của đồ thị?

A. M(1; 2)      B. N(2; 1)

C. P(-3; 3)      D. Q(-2; 2)

Lời giải:

Đạo hàm:

Giải phương trình y' = 0 ⇔ x + 3 = 0 hay x = -3

Qua điểm x = 3, đạo hàm chuyển dấu từ âm sang dương

⇔ x = -3 là điểm cực tiểu của hàm số.

Mà y(-3) = 3 nên điểm cực trị của đồ thi hàm số là M(-3; 3)

Suy ra chọn đáp án C.

Dạng 2: Tìm thông số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: Do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

Giải hệ phương trình ta tìm được trị giá của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) < 0

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

C. m ≤ 3      D. m < 3

Lời giải:

* Ta với đạo hàm: y' = 3x2 – 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = Một thì

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Hàm số y = a.sin2x + b.cos3x - 2x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại x = π/2; x = π. Lúc đó, trị giá của biểu thức P = 3b - 3ab là:

A. 3     B. -1

C. 1     D. -3

Lời giải:

Tập xác định D = R

+ Ta với: y' = 2a.cos2x – 3b.sin3x - 2.

Hàm số đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta với hệ phương trình:

Do đó, trị giá của biểu thức P = a + 3b - 3ab = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Nếu đồ thị hàm số với Hai điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(-1; -1) thì hàm số với phương trình là:

A. y = 2x3 – 3x2.

B. y = -2x3 – 3x2.

C. y = x3 + 3x2 + 3x.

D. y = x3 – 3x - 1.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

+ Đồ thị hàm số với điểm cực trị là gốc tọa độ ta với:

⇒ Hàm số với dạng: y = ax3 + bx2

+ Đồ thị hàm số với điểm cực trị là A(-1; -1) ta với:

Vậy hàm số là: y = -2x3 – 3x2.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 - 1).x + Hai với m là thông số. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

A. m = 2      B. m = 1

C. m = 11      D. m < 2

Lời giải:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y' = 3x2 – 6mx + m2 - Một và y'' = 6x – 6m

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = Hai lúc và chỉ lúc:

Vậy để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = Hai thì m = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = x4 – 2(m + 1).x2 - 2m - Một đạt cực đại tại x = 1.

A. m = -1      B. m = 0

C. m = 1      D. ko với trị giá

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm: y' = 4x3 - 4(m + 1)x

* Để hàm số đã cho đạt cực đại tạo x = Một thì y'(1) = 0

⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m + 1 = 1

⇔ m = 0

* Với m = 0 thì y' = 4x3 – 4x

Do đó; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

⇒ m = Một ko thỏa mãn.

Vậy ko với trị giá nào của m thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Với những trị giá nào của m thì hàm số sau đạt cực tiểu tại x = 1.

A. m = -Hai hoặc m = 0      B. m = 0

C. m = -Hai hoặc m = 1      D. m = -2

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ m

* Ta với:

Nên đạo hàm

* Vì hàm số với đạo hàm tại những điểm x ≠ m nên để hàm số đạt cực tiểu tại x = Một thì

Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* m = -2 ⇒ y''(1) = -2 < 0 nên x = Một là điểm cực đại của hàm số

Suy ra m = -Hai ko thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy trị giá của m thỏa mãn là m = 0.

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c; Δ'= b2 – 3ac

Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0 Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc với nghiệm kép thì hàm số đã cho ko với cực trị.

Vậy hàm số bậc ba ko với cực trị lúc b2 – 3ac ≤ 0

Phương trình (1) với hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho với Hai điểm cực trị

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c với đồ thị là (C)

Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx. Xét phương trình y' = 0

Hay 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 0

Để đồ thị hàm số đã cho với Một điểm cực trị lúc và chỉ lúc phương trình y' = 0 với nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

Để đồ thị hàm số đã cho với 3 điểm cực trị lúc và chỉ lúc phương trình (1) với Hai nghiệm phân biệt khác 0 hay

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m - 1)x3 – 3x2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2. Để hàm số với cực đại, cực tiểu xác định m?

A. m = 1      B. m ≠ 1

Lời giải:

* Cách 1:

Ta với đạo hàm y' = 3(m - 1)x2 - 6x - m - 1

Để hàm số đã cho với cực đại, cực tiểu lúc và chỉ lúc phương trình y' = 0 với hai nghiệm phân biệt :

* Cách 2:

Ứng dụng công thức điều kiện để hàm bậc ba với cực đại, cực tiểu

Hàm số với cực đại, cực tiểu lúc

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c với 3 điểm cực trị là:

C. b = 0      D. c = 0

Lời giải:

Ta với đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

Xét y' = 0 hay 2x(2ax2 + b) = 0

Để hàm số đã cho với 3 điểm cực trị lúc và chỉ lúc phương trình Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án với hai nghiệm phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Tìm tất cả những trị giá thực của m để hàm số y = x3 – 2x2 + (m + 3)x - Một ko với cực trị?

C. m ≥ -5/3      D. m ≤ -8/3

Lời giải:

Ta với đạo hàm: y' = 3x2 – 4x + m + 3

Hàm số ko với cực trị lúc và chỉ lúc phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc với nghiệm kép.

⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ 4 - 3(m + 3) ≤ 0 ⇔ m ≥ -5/3

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Tìm những trị giá của thông số m để hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + m chỉ với đúng một cực trị.

Lời giải:

* Trường hợp 1: m = 0

Ta với hàm số y = -x2, hàm số này với Một cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

* Trường hợp 2: m ≠ 0

Đạo hàm y' = 4mx3 + 2(m - 1)x

Xét phương trình: y' = 0 hay 4mx3 + 2(m - 1)x = 0

Hàm số với đúng Một cực trị lúc và chỉ lúc Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án vô nghiệm hoặc với nghiệm x = 0 .

Kết hợp TH1 và TH2 ta với: thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau với cực trị:

C. m < 0      D. Mọi m

Lời giải:

* Với m = 0 thì hàm số trở thành y = -x2 + x - 1

⇒ y' = -2x + 1 = 0 lúc x = 1/Hai và y''(1/2) < 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 1/2

Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán

* Với m ≠ 0 ta với:

Ta với y' = 0 lúc và chỉ lúc: mx2 – 2x + 1 – 2m = 0 Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án

Hàm số đã cho với cực trị lúc và chỉ lúc phương trình Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án với hai nghiệm phân biệt khác 1/m

Vậy hàm số đã cho luôn với cực trị với mọi m.

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 4: Bài toán liên quan tới cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d.

Ta với đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

• Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số với Hai điểm cực trị lúc phương trình y' = 0 với hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta với: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y'.

Lúc đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: Do x1, x2 là điểm cực trị nên y'(x1) = 0; y'(x2) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của thông số m để đồ thị hàm số với hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ Tìm điều kiện để hàm số với cực trị.

+ Phân tích hệ thức để ứng dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c với đồ thị là (C).

Ta với y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

Hàm số với 3 cực trị là: A(0;c)

Độ dài những đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

STT Dữ kiện Công thức thỏa ab < 0
1Tam giác ABC vuông cân tại A 8a + b3 = 0
2Tam giác ABC đều 24a + b3 = 0
3Tam giác ABC với góc ∠BAC = α
4Tam giác ABC với diện tích SΔABC = S0 32a3(S0)2 + b5 = 0
5Tam giác ABC với diện tích max (S0)
6Tam giác ABC với bán kính đường tròn nội tiếp rΔABC = r0
7Tam giác ABC với độ dài cạnh BC = m0 a.m02 + 2b = 0
8Tam giác ABC với độ dài AB = AC = n0 16a2n02 - b4 + 8ab = 0
9Tam giác ABC với cực trị B, C ∈ Ox b2 – 4ac = 0
10Tam giác ABC với 3 góc nhọn b(8a + b3) > 0
11Tam giá ABC với trọng tâm O b2 – 6ac = 0
12Tam giác ABC với trực tâm O b3 + 8a - 4ac = 0
13Tam giác ABC với bán kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC = R0
14Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi b2 – 2ac = 0
15Tam giác ABC với O là tâm đường tròn nội tiếp b3 – 8a – 4abc = 0
16Tam giác ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 – 8a – 8abc = 0
17Tam giác ABC với cạnh BC = k.AB = k.AC b3k2 - 8a(k2 - 4) =0
18Trục hoành chia ΔABC thành hai phần với diện tích bằng nhau b2 = 4√2|ac|
19Tam giác ABC với điểm cực trị cách đều trục hoành b2 – 8ac = 0
20Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để hàm số y = m/3.x3 + 2x2 + mx + Một với Hai điểm cực trị thỏa mãn x < xCT.

A. m < 2      B. -2 < m < 0

C. -2 < m < 2      D. 0 < m < 2

Lời giải:

Đạo hàm y' = mx2 + 4x + m

Để hàm số với Hai điểm cực trị thỏa mãn x < xCT

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Tìm tất những trị giá thực của thông số m để hàm số:

y = 1/3.x3 + (m + 3)x2 + 4(m + 3)x + m3 - m đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2

Lời giải:

Đạo hàm y' = x2 + 2(m + 3)x + 4(m + 3)

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 với hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tìm những trị giá của thông số để hàm số: y = 1/3.mx2 - (m - 1)x2 + 3(m - 2)x + 1/6 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 1

Lời giải:

Đạo hàm y' = mx2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 với hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm những trị giá của thông số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2m2x2 + Một với ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

A. m = - 1      B. m ≠ 0

C. m = 1      D. m = Một hoặc m = -1

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x3 – 4m2x

Ta với: y' = 0 lúc 4x(x2 – m2) = 0

* Hàm số với 3 điểm cực trị ⇔ m ≠ 0

Lúc đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 1), B(m; 1 - m4), C(-m; 1 - m4)

* Do tính chất đối xứng, ta với tam giác ABC cân tại đỉnh A .

Vậy tam giác ABC chỉ với thể vuông cân tại đỉnh

A ⇔ . = 0

⇔ -m2 + m8 = 0

Kết hợp điều kiện ta với: m = Một hoặc m = -1 (thỏa mãn).

Lưu ý: với thể sử dụng công thức

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Tìm những trị giá của thông số m để đồ thị hàm số: y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 với ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x3 – 4mx = 4x(x2 – m)

Xét phương trình y' = 0 hay 4x(x2 – m) = 0 Các dạng bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có đáp án

* Lúc đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; m4 + 2m), B(-√m; m4 - m2 + 2m), C(√m; m4 - m2 + 2m)

Do tính chất đối xứng, ta với tam giac ABC cân tại đỉnh A.

* Vậy tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC

Kết hợp điều kiện ta với: m = 3√3 ( thỏa mãn).

* Lưu ý: với thể sử dụng công thức:

Suy ra chọn đáp án C.

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *