Các dạng bài tập về cực trị của hàm số và cách giải


Những dạng bài tập về cực trị của hàm số và cách giải

Với Những dạng bài tập về cực trị của hàm số và cách giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm mang lời giải chi tiết sẽ giúp học trò ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. LÝ THUYẾT

1. Khái niệm.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) và điểm x0 ∈ (a,b).

2. Điều kiện cần để hàm số mang cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo. Lúc đó, nếu f(x) mang đạo hàm tại điểm xo thì f‘(xo) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) mang thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f(x) ko đạt cực trị tại điểm xo.

- Hàm số mang thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số ko mang đạo hàm.

- Hàm số chỉ mang thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số ko mang đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại xo và nếu đồ thị hàm số mang tiếp tuyến tại điểm (xo ; f(xo)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số mang cực trị.

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Tương tự: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ). Nếu f’(x) ko đổi dấu thì hàm số ko mang cực trị.

(Nhấn mạnh:xo (a; b) D tức là xo là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số y = √x xác định trên D= [0,+∞). Ta mang y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 ko phải là cực tiểu của hàm số vì D ko chứa bất kì Một phụ cận nào của điểm 0.

- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0) được gọi là trị giá cực đại (trị giá cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f ( fCT ), còn điểm M (x0;f( x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

- Những điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Trị giá cực đại (trị giá cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Trị giá cực đại (cực tiểu) f(xo) nói chung ko phải là GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số mang thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng mang thể ko mang điểm cực trị.

- xo là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .

4. Định lý 3: Giả sử hàm số f mang đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xo ; f (xo) = 0f mang đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a) Nếu f (xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo
b) Nếu f (xo) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

Lưu ý:

- Ko cần xét hàm số f(x) mang hay ko mang đạo hàm tại điểm x = xo nhưng ko thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm xo.

B. CÁC KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CƠ BẢN.

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) ko xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra những điểm cực trị.

Quy tắc 2.

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1,2,3...) là những nghiệm.

Bước 3: Tính f''(x)f''(xi) .

Bước 4: Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi .

2. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0).

- Ta mang y' = 3ax2 + 2bx + c

Và ko mang cực trị ⇔Δ’ = b2 − 3ac ≤ 0

- Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d mang hai điểm cực trị phân biệt là A, B . Lúc đó:

Phương trình đường thẳng AB :

Độ dài đoạn thẳng

Hoặc lúc đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: (CASIO tương trợ).

3. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) mang đồ thị là (C) .

Ta mang

(C) mang ba điểm cực trị y' = 0 mang 3 nghiệm phân biệt hay ab < 0

Hàm số mang 3 cực trị là:

Độ dài những đoạn thẳng:

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1. Tìm những điểm cực trị của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Quy tắc 1: Vận dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm những điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng ko mang đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu lúc x qua điểm xo thì hàm số mang cực trị tại điểm xo

Quy tắc 2: Vận dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm những nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f (x) = 0

- Với mỗi xi tính f (xi)

- Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số y = f(x) mang bảng biến thiên như sau:

Trị giá cực đại của hàm số đã cho là

A. 3 B. -1. C. -5 D. 1 .

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, trị giá cực đại của hàm số là y = f(-1) = 3 .

Chọn A.

Ví dụ 2. (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Hai Mã đề 103) Cho hàm số f(x) mang đạo hàm f'(x) = x(x + 1)(x - 4)3, ∀x ∈ R. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 .

Lời giải

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)

Vậy hàm số đã cho mang một điểm cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 3. (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Một Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn f(x) mang bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = x4[f(x + 1)]2

A. 11 . B. 9 . C. 7 . D. 5 .

Lời giải

Ta chọn hàm f(x) = 5x4 - 10x2 + 3 .

Đạo hàm

g'(x) = 4x3[f(x + 1)]2 + 2x4f(x + 1)f'(x + 1) = 2x3f(x + 1)[2f(x + 1) + xf'(x + 1)]

Ta mang

Vậy số điểm cực trị của hàm số g(x) là 9.

Chọn B.

Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = -2x3 + 3x2 + 1 .

A. y = x -1 B. y = x +1 C. y = -x +1 D. y = -x -1

Lời giải

Ta mang

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A(0,1) và B(1,2).

Lúc đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB mang phương trình y = x +1

Chọn B.

Cách 2. Lấy y chia cho y', ta được ⇔ .

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phép chia, đó là y = x +1

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định, liên tục và mang đạo hàm trên khoảng (a,b). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu f(x) đồng biến trên (a,b) thì hàm số ko mang cực trị trên (a,b).

B. Nếu f(x) nghịch biến trên (a,b) thì hàm số ko mang cực trị trên (a,b).

C. Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a,b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0; f(x0)) song song hoặc trùng với trục hoành.

D. Nếu f(x) đạt cực đại tại x0 ∈ (a,b) thì f(x) đồng biến trên (a;x0) và nghịch biến trên (x0;b) .

Câu 2. Cho khoảng (a,b) chứa điểm x0, hàm số f(x) mang đạo hàm trên khoảng (a,b) (mang thể trừ điểm x0). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Nếu f(x) ko mang đạo hàm tại x0 thì f(x) ko đạt cực trị tại x0

B. Nếu f'(x) = 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x0

C. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì f(x) ko đạt cực trị tại điểm x0

D. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) ≠ 0 thì f(x) đạt cực trị tại điểm x0

Câu 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm lúc x qua điểm x0 và f(x) liên tục tại x0 thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x0

B. Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 lúc và chỉ lúc x0 là nghiệm của f'(x) = 0

C. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì x0 ko là điểm cực trị của hàm số y = f(x)

B. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.

C. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì x0 ko là điểm cực trị của hàm số.

D. Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) = 0 thì chưa kết luận được x0 mang là điểm cực trị của hàm số.

Câu 5. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Hai Mã đề 103) Cho hàm số f(x) mang bảng biến thiên như sau :

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. x = 3 B. x = 2 C. x = -2 D. x = -1

Câu 6. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Một Mã đề 101) Cho hàm f(x) mang bảng biến thiên như sau:

Trị giá cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 3 B. -5 C. 0 D. 2

Câu 7. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Một Mã đề 101) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và mang bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 4 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .

Câu 8. Cho hàm số y = f(x) mang bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .

Câu 9. Cho hàm số mang đồ thị như hình vẽ. Trị giá cực đại của hàm số bằng:

A. –1. B. –2. C. 1. D. 0.

Câu 10. Cho hàm số y = f(x) mang đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f(x) mang mấy điểm cực trị?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 11. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và mang đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số mang bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0. B. 1.

C. 3. D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và mang đồ thị như hình bên.

Hỏi hàm số mang bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 13. Hàm số y = 2x3 - x2 + 5 mang điểm cực đại là:

A. B. 5 C. 3 D. 0

Câu 14. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số ?

A. 4. B. 1. C. 0. D. 3.

Câu 15. Hàm số y = -x4 - x2 + Một mang mấy điểm cực trị?

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 16. Gọi x1,x2 là hai điểm cực trị của hàm số . Trị giá của x12 + x22 bằng:

A. 13 B. 32 C. 4 D. 36

Câu 17. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 3x4 - 4x3 - 6x2 + 12x + Một là điểm M(x0, y0). Tính tổng T = x0 + y0

A. T = 8 B. T = 4 C. T = -11 D. T = 3

Câu 18. Đồ thị hàm số nào sau đây mang đúng Một điểm cực trị?

A. y = -x4 - 3x2 + 4 B. y = x3 - 6x2 + 9x - 5

C. y = x3 - 3x2 + 3x - 5 D. y = 2x4 - 4x2 + 1

Câu 19. Đồ thị hàm số nào sau đây mang 3 điểm cực trị?

A. y = 2x4 - 4x2 + 1 B. y = (x2 + 1)2

C. y = x3 - 6x2 + 9x - 5 D. y = -x4 - 3x2 + 4

Câu 20. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và mang đạo hàm . Hỏi hàm số y = f(x) mang bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 5 .

Câu 21. Gọi y1,y2 tuần tự là trị giá cực đại và trị giá cực tiểu của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 4. Tính P = y1.y2

A. P = -302 . B. P = -82 C. P = -207 D. P = 25

Câu 22. Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = (x + 1)(x - 2)2

A. d = 2√5 . B. d = 2. C. d = 4. D. d = 5√2.

Câu 23. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax4 + bx2 + c với a,b,c là những số thực.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. Phương trình y' = 0 vô nghiệm trên tập số thực.

B. Phương trình y' = 0 mang đúng một nghiệm thực.

C. Phương trình y' = 0 mang đúng hai nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình y' = 0 mang đúng ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 24. Cho hàm số y = f(x) liên tục tại x0 và mang bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số mang hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B. Hàm số mang một điểm cực đại, ko mang điểm cực tiểu.

C. Hàm số mang một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D. Hàm số mang một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Câu 25*. Cho hàm số y = f(x) mang bảng biến thiên sau:

Hàm số y = |f(x)| mang bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5 B. 3 C. 4 D. 2

Câu 26. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + Một mang hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

A. P(1,0) B. M(0,-1) C. N(1,-10) D. Q(-1,10)

Câu 27. (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số y = – x3 + 3x2 + 5 mang hai điểm cực trị AB. Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

Câu 28. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = (x + 1)(x - 2)2 là:

A. 2√5 . B. 2. C. 4. D. 5√2 .

Câu 29. Trong những đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào đi qua trung điểm đoạn thẳng nối những điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 1 ?

Câu 30. Đồ thị hàm số x4 - x2 + Một mang bao nhiêu điểm cực trị mang tung độ dương?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 31. Cho hàm số f(x) = (x2 - 3)2. Trị giá cực đại của hàm số f'(x) bằng:

A. 8. B. -8 . C. 0. D. .

Câu 32. Điểm cực trị của hàm số y = sin2x - x là:

Câu 33. Trị giá cực đại của hàm số y = x + 2cosx trên khoảng (0;π) là:

Câu 34. Cho hàm số y = sinx - √3cosx. Khẳng định nào sau đây sai:

A. là một nghiệm của phương trình.

B. Trên khoảng (0;π) hàm số mang duy nhất một cực trị.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại .

D. y + y'' = 0, ∀x ∈ R .

A. 15mg. B. 30mg. C. 40mg. D. 20mg.

Câu 36. Hỏi hàm số y = |x|3 - 3x + Một mang tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. Ko mang điểm cực trị. B. Với một điểm cực trị.

C. Với hai điểm cực trị. D. Với ba điểm cực trị.

Đáp án

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số mang cực trị.

1. Phương pháp. Sử dụng định lí Hai và định lí 3

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc mang nghiệm kép thì hàm số đã cho ko mang cực trị.

→ Hàm số bậc 3 ko mang cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) mang hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho mang Hai cực trị.

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) mang đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

- Nếu (C)mang một điểm cực trị thì y' = 0 mang Một nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) mang cực trị ⇔ ∃xo ∈D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại xo phải bằng 0 hoặc hàm số ko mang đạo hàm tại xo

- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm xo hoặc f ”(xo) ≠ 0.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + 6mx + m mang hai điểm cực trị.

A. m ∈ (0;2) . B. m ∈ (-∞;0) ∪ (8;+∞)

C. m ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞) D. m ∈ (0;8) .

Lời giải

Ta mang y' = 3x2 - 6mx + 6m = 3(x2 - 2mx + 2m) .

Để hàm số mang hai điểm cực trị ⇔ x2 - 2mx + 2m = 0 mang hai nghiệm phân biệt

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0). Với điều kiện nào của những thông số a,b,c thì hàm số mang ba điểm cực trị?

A. a,b cùng dấu và c bất kì. B. a,b trái dấu và c bất kì.

C. b = 0 và a,c bất kì. D. c = 0 và a,b bất kì.

Lời giải

Ta mang

Để hàm số mang ba điểm cực trị mang hai nghiệm phân biệt khác 0

. Lúc đó a,b trái dấu và c bất kì.

Chọn B.

Ví dụ 3. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để hàm số y = mx4 + (m + 1)x2 + Một mang một điểm cực tiểu.

Lời giải

TH1. Với a = 0 ⇔ m = 0, lúc đó y = x2 + Một mang đồ thị là một parabol mang bề lõm quay lên nên hàm số mang duy nhất một điểm cực tiểu.

→ m = 0 thỏa mãn.

Yêu cầu bài toán ⇔ ab ≥ 0 ⇔ m(m + 1) ≥ 0

Ta mang:

yêu cầu bài toán

→ -1 < m < 0 thỏa mãn.

Chọn D.

Nhận xét. Bài toán hỏi hàm số mang một điểm cực tiểu nên hàm số mang thể mang điểm cực đại hoặc ko mang điểm cực đại. Lúc nào bài toán hỏi hàm số mang đúng một cực tiểu và ko mang cực đại thì lúc đó ta chọn đáp án B.

Ví dụ 4. Cho hàm số . Tìm trị giá thực của thông số m để hàm số mang hai điểm cực trị là x = 3 và x = 5.

A. m = 0 . B. m = 1 . C. m = 2. D. m = 3.

Lời giải

Ta mang y' = x2 - (3m + 2)x + (2m2 + 3m + 1).

Yêu cầu bài toán ⇔ y' mang hai nghiệm x = 3 hoặc x = 5.

Thay x = 3 và x = 5 vào y’ ta mang hệ phương trình:

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = 2x3 + bx2 + cx + Một Biết M(1;-6) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Tìm toạ độ điểm cực đại N của đồ thị hàm số.

A. N(2;21) B. N(-2;21) C. N(-2;11) D. N(2;6)

Lời giải

Đạo hàm y' = 6x2 + 2bx + c và y'' = 12x + 12b .

Điểm M(1;-6) là điểm cực tiểu

Lúc đó y = f(x) = 2x3 + 3x2 -12x + 1 .

Ta mang

Suy ra N(-2;21) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Chọn B.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Hàm số y = x3 - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = Một lúc:

A. m = -1 B. m = 2 C. m = -2 D. m = 1

Câu 2. Tìm trị giá thực của thông số m để hàm số y = x3 - 3x2 + mx đạt cực đại tại x = 0

A. m = 1 B. m = 2 C. m = -2 D. m = 0

Câu 3. Biết rằng đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) mang điểm đại A(0;-3) và mang điểm cực tiểu B(-1;-5). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 4. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0). Để hàm số mang một cực tiểu và hai cực đại thì a, b cần thỏa mãn:

Câu 5. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + 1 (a ≠ 0). Để hàm số chỉ mang một cực trị và là cực tiểu thì a, b cần thỏa mãn:

Câu 6. Hàm số y = ax4 + 2mx2 + m2 + m mang ba cực trị lúc:

Câu 7. Đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 + ax + b mang điểm cực tiểu A(2;-2). Tìm tổng a + b.

A. - 14. B. 14. C. - 20. D. 34.

Câu 8. Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c mang điểm đại A(0;-3) và mang điểm cực tiểu B(-1; - 5). Lúc đó trị giá của a, b, c tuần tự là:

A. -3,-1,-5 . B. 2,-4,-3 . C. 2,4,-3 . D. -2,4,-3 .

Câu 9. Hàm số mang cực đại và cực tiểu thì điều kiện của m là:

Câu 10. Hàm số đạt cực đại tại x= Hai lúc trị giá thực m bằng:

A. -1 . B. -3 . C. 1. D. 3 .

Câu 11. Hàm số y = sin3x + msinx đạt cực đại tại lúc m bằng:

A. 5. B. -6 . C. 6. D. -5 .

Câu 12. Biết hàm số y = asinx + bcosx + x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại Lúc đó tổng a + b bằng:

A. 3. B. C. √3 + 1 . D. √3 - 1

Câu 13. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số mang cực trị.

A. m ∈ (-∞;1] . B. m ∈ (-∞;0] ∪ (0,1).

C. m ∈ (-∞;0] ∪ (0,1]. D. m ∈ (-∞;1).

Câu 14. Biết rằng hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 - x3 mang hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 15. Tìm những trị giá của thông số m để hàm số y = (m - 3)x3 - 2mx2 + 3 ko mang cực trị.

A. m = 3. B. m = 3, m = 0. C. m = 0. D. m ≠ 3 .

Câu 16. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Biết M(0,2), N(2;-2) là những điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính trị giá của hàm số tại x = -2 .

A. y(-2) = 2 . B. y(-2) = 22 C. y(-2) = 6. D. y(-2) = -18

Câu 17. Biết rằng hàm số y = ax3 + bx2 + cx (a ≠ 0) nhận x = -Một là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a + c = b . B. 2a - b = 0 . C. 3a + c = 2b . D. 3a + 2b + c = 0 .

Câu 18. Cho hàm số với m là thông số thực. Tìm tất cả những trị giá của m để hàm số đạt cực trị tại x = -1 .

A. m = 0 B. m = -2 C. m = 0,m = -2. D. m = 0,m = 2

Câu 19. Biết rằng hàm số y = 3x3 - mx2 + mx - 3 mang một điểm cực trị x1 = -1. Tìm điểm cực trị còn lại x2 của hàm số.

Câu 20. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - 3m2 + 5 với m là thông số thực. Tìm tất cả những trị giá của x = Một để hàm số đạt cực đại tại .

A. m = 0,m = 2 B. m = 2 C. m = 1 D. m = 0

Câu 21. Hàm số y = x3 - 3mx2 + 6mx + m mang hai điểm cực trị lúc m thỏa mãn điều kiện:

Câu 22. Hàm số mang cực trị lúc và chỉ lúc:

Câu 23. Với điều kiện nào của a và b để hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 - x3 đạt cực đại và cực tiểu ?

Câu 24. Hàm số y = (m - 3)x3 - 2mx2 + 3 ko mang cực trị lúc:

A. m = 3. B. m = 0 hoặc m = 3. C. m = 0. D. m ≠3.

Câu 25. Tìm tất cả những trị giá của m để hàm số đạt cực trị tại x = 3 hoặc x = 5, ta được.

A. m = 0. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 3.

Câu 26. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm trị giá thực của thông số m để hàm số đạt cực đại tại x = 3.

A. m = 0. B. m = 3. C. m = 5. D. m = 1.

Câu 27. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để hàm số y = x4 + 2mx2 + m2 + m mang ba điểm cực trị.

Câu 28. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số y = mx4 + (m - 1)x2 + 1 - 2m mang đúng một điểm cực trị.

A. m ∈ [1;+∞) . B. m ∈ (-∞;0]

C. m ∈ [0;1] D. m ∈ (-∞;0] ∪ [1;+∞)

Câu 29. Cho hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + m. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. y = -8x + m . B. y = -8x + m - 3

C. y = -8x + m + 3 . D. y = -8x - m + 3

Câu 30. Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 + ax + b mang điểm cực tiểu là A(2;-2). Tính tổng S = a + b

A. S = -14 . B. S = 14 C. S = -20. D. S = 34

Đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

D

D

B

B

D

C

A

B

D

B

C

C

D

A

C

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

D

C

A

B

B

C

D

A

C

C

C

C

D

B

B

Dạng 3: Tìm điều kiện để những điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

1. Phương pháp giải.

a, Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào thông số)
Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số mang cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 mang hai nghiệm phân biệt

⇔ (1) mang hai nghiệm phân biệt

⇔ Trị giá thông số thuộc miền D nào đó


Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo thông số, giải phương trình này ta được thông số sau đó đối chiếu với điều kiện


và kết luận.

Một số điều kiện thường gặp: (Ko sử dụng dấu tương đương tương tự)

- Để hàm số y = f(x) mang Hai cực trị nằm về Hai phía đối với trục hoành ⇔ yCD.yCT < 0

- Để hàm số y = f(x) mang Hai cực trị nằm về Hai phía đối với trục tung ⇔xCD.xCT < 0

- Để hàm số y = f(x) mang cực trị xúc tiếp với trục hoành ⇔yCD.yCT = 0

- Đồ thị mang Hai điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0

+ Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

+ Gọi t1 và t2 là những trị giá lúc thay M1 và M2 vào đường thẳng d:

t1 = Ax1 + By1 + C; t2 = Ax2 + By2 + C

+ Đồ thị mang Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 mang Hai nghiệm phân biệt và t1t2 < 0

+ Đồ thị mang Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm ở cùng một phía của đường thẳng d:

Chú ý: Lúc thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn thì vẫn ứng dụng kết quả trên. Với những điều kiện khác thì tuỳ từng trường hợp.

b, Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c. Lúc đó:

- Xét trường hợp mang ba cực trị → toạ độ những điểm cực trị

+ Phương trình qua điểm cực trị:

+ Gọi , luôn mang

+ Diện tích tam giác

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

+ Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cùng thì điều kiện là

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm trị giá thực của thông số m để đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 1 .

Lời giải

Xét hàm y = x3 - 3x2 + 1 , mang

Suy ra A(0;1), B(2,-3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra đường thẳng AB mang một VTCP là

Đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m mang một VTCP là

Yêu cầu bài toán

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hàm số với m là thông số thực. Tìm trị giá của để đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị tạo thành tam giác mang trọng tâm là gốc tọa độ.

Lời giải

Ta mang

Để hàm số mang ba điểm cực trị

Lúc đó đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị là:

Suy ra toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là

Yêu cầu bài toán:

Chọn D.

Cách ứng dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để mang ba cực trị

Yêu cầu bài toán:

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 - 2(m2 - m + 1)x2 + m -Một mang một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

Câu 2. Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 4 mang đồ thị là (Cm). Tìm những trị giá của m để tất cả những điểm cực trị của (Cm) đều nằm trên những trục tọa độ.

Câu 3. Trị giá của thông số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + Một mang ba điểm cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC = 4?

A. m = ±4 . B. m = √2 . C. m = 4 . D. m = ±√2 .

Câu 4. Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + m2, với m là thông số thực. Tìm m để đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. Đáp án khác.

Câu 5. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + Một mang ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Câu 6. Tìm m để đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị tạo thành tam giác mang trọng tâm là gốc tọa độ.

Câu 7. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 mang ba điểm cực trị tạo thành một tam giác mang diện tích nhỏ hơn 1.

Câu 8. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 - m mang những trị giá cực trị trái dấu:

A. – Một và 0. B. (-∞;0) và (-1;+ ∞). C. (-1;0). D. [0;1].

Câu 9. Cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 1)x2 + 6mx + m3. Tìm m để đồ thị hàm số mang hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = √2.

A. m = 0. B. m = 0 hoặc m = 2 C. m = 1. D. m = 2.

Câu 10. Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị của hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - m3 + m. Trị giá của m để x12 + x22 - x1 x2 = 7 là:

Câu 11. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm trị giá thực của thông số m để đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 + 1 .

Câu 12. (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 mang hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB mang diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

A. B. m = -1,m = 1

C. m = 1 D. m ≠ 0

Câu 13. Nếu x = Một là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thì tập tất cả những trị giá của m là:

A. m = -1. B. m ≠ -1. C. . D. Ko mang trị giá m.

Câu 14. Trị giá của m để khoảng cách từ điểm M(0;3) tới đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

Câu 15. Cho hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1. Xác định m để hàm số mang điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm từ (-2;3).

A. m ∈ (-1;3) ∪ (3;4) . B. m ∈ (1;3)

C. m ∈ (3;4) D. m ∈ (-1;4)

Câu 16. Để hàm số y = x3 + 6x2 + 3(m + 2)x - m - 6 mang cực đại, cực tiểu tại x1,x2 sao cho x1 < -1 < x2 thì trị giá của m là:

Câu 17. Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số mang hai điểm cực trị nằm từ (0;+∞)?

Câu 18. Với những trị giá nào của m thì hàm số y = x3 - 3x2 + 3mx + Một mang những điểm cực trị nhỏ hơn 2?

Câu 19. Cho hàm số y = 2x3 - 3(2a + 1)x2 + 6a(a + 1)x + 2. Nếu gọi x1, x2 tuần tự là hoành độ những điểm cực trị của đồ thị hàm số thì trị giá |x1 – x2| bằng:

A. a + 1. B. a. C. a – 1. D. 1.

Câu 20. Cho hàm số y = 2x3 + mx2 -12x - 13. Với trị giá nào của m thì đồ thị hàm số mang điểm cực đại, cực tiểu cách đều trục tung ?

A. 2. B. - 1. C. 1. D. 0.

Câu 21. Đồ thị hàm số y = -x3 + 3mx2 - 3m - Một mang hai điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 thì tập tất cả những trị giá của m:

A. m = 1. B. m = -2 C. m = -1 D. m = 2

Câu 22. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m -Hai với m là thông số, mang đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) mang những điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành ?

A. m < 2 . B. m ≤ 3 C. m < 3 D. m ≤ 2

Câu 23. Cho hàm số với m là thông số, mang đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) mang những điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung ?

Câu 24. Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x1, x2 nằm hai phía trục tung lúc và chỉ lúc:

Câu 25. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m2 - 2. Tìm m để đồ thị hàm số mang hai điểm cực trị A, B sao cho I(1;0) là trung điểm của AB.

A. m = 0 . B. m = -1. C. m = 1 D. m = 2

Câu 26. Với trị giá nào của thông số m thì đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + Hai mang hai điểm cực trị A, B sao cho A, B và M(1;-2) thẳng hàng.

A. m = 0 B. m = √2 C. m = -√2 D. m = ±√2

Câu 27. Với trị giá nào của thông số m thì đồ thị hàm số y = -x3 - 3mx + Một mang hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ ?

Câu 28. Cho hàm số y = x3 - 3x2 - mx + Hai với m là thông số thực. Tìm trị giá của m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 một góc α = 450

Câu 29. Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + Hai với m là thông số thực. Với bao nhiêu trị giá nguyên của m để đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị A,B,C thỏa mãn OA.OB.OC = 12 với O là gốc toạ độ?

A. 2 B. 1 C. 0 D. 4

Câu 30. Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 - 4 mang đồ thị là (Cm). Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để tất cả những điểm cực trị của (Cm) đều nằm trên những trục tọa độ.

A. m = ±2 . B. m = 2

Câu 31. Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + Một mang ba điểm cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC = 4.

A. m = ±4 . B. m = √2 C. m = 4 D. m = ±√2 .

Câu 32. Cho hàm số y = x4 - 2(m + 1)x2 + m2 với m là thông số thực. Tìm tất cả những trị giá của m để đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

Câu 33. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm trị giá thực của thông số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + Một mang ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Câu 34. Cho hàm số y = 3x4 + 2(m - 2018)x2 + 2017 với m là thông số thực. Tìm trị giá của m để đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị tạo thành tam giác mang một góc bằng 1200.

A. m = -2018 B. m = -2017 C. m = 2017 D. m = 2018

Câu 35. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để đồ thị của hàm số y = x4 - 2mx2 mang ba điểm cực trị tạo thành một tam giác mang diện tích nhỏ hơn 1.

Câu 36. Cho hàm số y = x4 - mx2 + m - Một với m là thông số thực. Tìm trị giá của để đồ thị hàm số mang ba điểm cực trị tạo thành một tam giác mang bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

A. m = -2 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 4

Đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

B

B

C

B

B

D

D

C

B

B

B

B

D

B

A

B

A

D

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

D

D

D

C

C

B

C

D

C

A

B

B

C

B

B

C

D

D

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *