Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) – Toán lớp 12

Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học mang lời giải (4 dạng)

Với Bài tập Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học mang lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm mang lời giải chi tiết sẽ giúp học trò ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y'. Tìm những điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' ko xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra những điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu x_i (i = 1; 2; 3... là những nghiệm).

Bước 3. Tính f''(x) và f''(x_i) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = Hai và đạt cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = Hai và đạt cực đại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -Hai và cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Lời giải:

Ta mang: y' = 3x² - 6x = 0

Và y'' = 6x - 6

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x⁴ – 2x² + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số mang ba điểm cực trị.

B. Hàm số chỉ mang đúng Hai điểm cực trị.

C. Hàm số ko mang cực trị.

D. Hàm số chỉ mang đúng một điểm cực trị.

Lời giải:

Ta mang đạo hàm:

y' = 4x³ - 4x = 0

Và y''= 12x² – 4

Suy ra:

• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0

• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = Một và x = -1.

Vậy hàm số đã cho mang 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Gọi M, n tuần tự là trị giá cực đại, trị giá cực tiểu của hàm số sau. Lúc đó trị giá của biểu thức M² – 2n bằng:

A. 8.     B. 7.

C. 9.     D. 6.

Lời giải:

* Ta mang đạo hàm:

Suy ra:

* Ta mang:

Suy ra: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và y_CĐ = -3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - Một và y_CT = 1

⇒ M² – 2n = 7

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số:

Điểm nào trong những điểm sau là điểm cực trị của đồ thị?

A. M(1; 2)      B. N(2; 1)

C. P(-3; 3)      D. Q(-2; 2)

Lời giải:

Đạo hàm:

Giải phương trình y' = 0 ⇔ x + 3 = 0 hay x = -3

Qua điểm x = 3, đạo hàm chuyển dấu từ âm sang dương

⇔ x = -3 là điểm cực tiểu của hàm số.

Mà y(-3) = 3 nên điểm cực trị của đồ thi hàm số là M(-3; 3)

Suy ra chọn đáp án C.

Dạng 2: Tìm thông số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x₀; y₀)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: Do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M(x₀; y₀)

Giải hệ phương trình ta tìm được trị giá của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x₀; y₀) thì y''(x₀) < 0

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả những trị giá của thông số m để hàm số y = x³ – mx² + (2m – 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

C. m ≤ 3      D. m < 3

Lời giải:

* Ta mang đạo hàm: y' = 3x² – 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = Một thì

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Hàm số y = a.sin2x + b.cos3x - 2x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại x = π/2; x = π. Lúc đó, trị giá của biểu thức P = 3b - 3ab là:

A. 3     B. -1

C. 1     D. -3

Lời giải:

Tập xác định D = R

+ Ta mang: y' = 2a.cos2x – 3b.sin3x - 2.

Hàm số đạt cực trị tại x = π/2; x = π nên ta mang hệ phương trình:

Do đó, trị giá của biểu thức P = a + 3b - 3ab = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d. Nếu đồ thị hàm số mang Hai điểm cực trị là gốc tọa độ và điểm A(-1; -1) thì hàm số mang phương trình là:

A. y = 2x³ – 3x².

B. y = -2x³ – 3x².

C. y = x³ + 3x² + 3x.

D. y = x³ – 3x - 1.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3ax² + 2bx + c

+ Đồ thị hàm số mang điểm cực trị là gốc tọa độ ta mang:

⇒ Hàm số mang dạng: y = ax³ + bx²

+ Đồ thị hàm số mang điểm cực trị là A(-1; -1) ta mang:

Vậy hàm số là: y = -2x³ – 3x².

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = x³ – 3mx² + (m² - 1).x + Hai với m là thông số. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

A. m = 2      B. m = 1

C. m = 11      D. m < 2

Lời giải:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y' = 3x² – 6mx + m² - Một và y'' = 6x – 6m

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = Hai lúc và chỉ lúc:

Vậy để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = Hai thì m = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = x⁴ – 2(m + 1).x² - 2m - Một đạt cực đại tại x = 1.

A. m = -1      B. m = 0

C. m = 1      D. ko mang trị giá

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

Đạo hàm: y' = 4x³ - 4(m + 1)x

* Để hàm số đã cho đạt cực đại tạo x = Một thì y'(1) = 0

⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m + 1 = 1

⇔ m = 0

* Với m = 0 thì y' = 4x³ – 4x

Do đó; hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

⇒ m = Một ko thỏa mãn.

Vậy ko mang trị giá nào của m thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Với những trị giá nào của m thì hàm số sau đạt cực tiểu tại x = 1.

A. m = -Hai hoặc m = 0      B. m = 0

C. m = -Hai hoặc m = 1      D. m = -2

Lời giải:

Điều kiện: x ≠ m

* Ta mang:

Nên đạo hàm

* Vì hàm số mang đạo hàm tại những điểm x ≠ m nên để hàm số đạt cực tiểu tại x = Một thì

Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* m = -2 ⇒ y''(1) = -2 < 0 nên x = Một là điểm cực đại của hàm số

Suy ra m = -Hai ko thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy trị giá của m thỏa mãn là m = 0.

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d

Đạo hàm y' = 3ax² + 2bx + c; Δ'= b² – 3ac

Xét phương trình: 3ax² + 2bx + c = 0

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc mang nghiệm kép thì hàm số đã cho ko mang cực trị.

Vậy hàm số bậc ba ko mang cực trị lúc b² – 3ac ≤ 0

Phương trình (1) mang hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho mang Hai điểm cực trị

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c mang đồ thị là (C)

Đạo hàm y' = 4ax³ + 2bx. Xét phương trình y' = 0

Hay 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b) = 0

Để đồ thị hàm số đã cho mang Một điểm cực trị lúc và chỉ lúc phương trình y' = 0 mang nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

Để đồ thị hàm số đã cho mang 3 điểm cực trị lúc và chỉ lúc phương trình (1) mang Hai nghiệm phân biệt khác 0 hay

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m - 1)x³ – 3x² – (m + 1)x + 3m² – m + 2. Để hàm số mang cực đại, cực tiểu xác định m?

A. m = 1      B. m ≠ 1

Lời giải:

* Cách 1:

Ta mang đạo hàm y' = 3(m - 1)x² - 6x - m - 1

Để hàm số đã cho mang cực đại, cực tiểu lúc và chỉ lúc phương trình y' = 0 mang hai nghiệm phân biệt :

* Cách 2:

Vận dụng công thức điều kiện để hàm bậc ba mang cực đại, cực tiểu

Hàm số mang cực đại, cực tiểu lúc

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 2: Điều kiện để hàm số y = ax⁴ + bx² + c mang 3 điểm cực trị là:

C. b = 0      D. c = 0

Lời giải:

Ta mang đạo hàm y' = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b)

Xét y' = 0 hay 2x(2ax² + b) = 0

Để hàm số đã cho mang 3 điểm cực trị lúc và chỉ lúc phương trình

mang hai nghiệm phân biệt khác 0.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Tìm tất cả những trị giá thực của m để hàm số y = x³ – 2x² + (m + 3)x - Một ko mang cực trị?

C. m ≥ -5/3      D. m ≤ -8/3

Lời giải:

Ta mang đạo hàm: y' = 3x² – 4x + m + 3

Hàm số ko mang cực trị lúc và chỉ lúc phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc mang nghiệm kép.

⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ 4 - 3(m + 3) ≤ 0 ⇔ m ≥ -5/3

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 4: Tìm những trị giá của thông số m để hàm số y = mx⁴ + (m - 1)x² + m chỉ mang đúng một cực trị.

Lời giải:

* Trường hợp 1: m = 0

Ta mang hàm số y = -x², hàm số này mang Một cực trị.

Vậy m = 0 thỏa mãn.

* Trường hợp 2: m ≠ 0

Đạo hàm y' = 4mx³ + 2(m - 1)x

Xét phương trình: y' = 0 hay 4mx³ + 2(m - 1)x = 0

Hàm số mang đúng Một cực trị lúc và chỉ lúc

vô nghiệm hoặc mang nghiệm x = 0 .

Kết hợp TH1 và TH2 ta mang: thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau mang cực trị:

C. m < 0      D. Mọi m

Lời giải:

* Với m = 0 thì hàm số trở thành y = -x² + x - 1

⇒ y' = -2x + 1 = 0 lúc x = 1/Hai và y''(1/2) < 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại x = 1/2

Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán

* Với m ≠ 0 ta mang:

Ta mang y' = 0 lúc và chỉ lúc: mx² – 2x + 1 – 2m = 0

Hàm số đã cho mang cực trị lúc và chỉ lúc phương trình

mang hai nghiệm phân biệt khác 1/m

Vậy hàm số đã cho luôn mang cực trị với mọi m.

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 4: Bài toán liên quan tới cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d.

Ta mang đạo hàm y' = 3ax² + 2bx + c

• Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số mang Hai điểm cực trị lúc phương trình y' = 0 mang hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Ta mang: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y'.

Lúc đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: Do x₁, x₂ là điểm cực trị nên y'(x₁) = 0; y'(x₂) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của thông số m để đồ thị hàm số mang hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ Tìm điều kiện để hàm số mang cực trị.

+ Phân tích hệ thức để vận dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh những bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c mang đồ thị là (C).

Ta mang y' = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b)

Hàm số mang 3 cực trị là: A(0;c)

Độ dài những đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả những trị giá thực của thông số m để hàm số y = m/3.x³ + 2x² + mx + Một mang Hai điểm cực trị thỏa mãn x_CĐ < x_CT.

A. m < 2      B. -2 < m < 0

C. -2 < m < 2      D. 0 < m < 2

Lời giải:

Đạo hàm y' = mx² + 4x + m

Để hàm số mang Hai điểm cực trị thỏa mãn x_CĐ < x_CT

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Tìm tất những trị giá thực của thông số m để hàm số:

y = 1/3.x³ + (m + 3)x² + 4(m + 3)x + m³ - m đạt cực trị tại x₁, x₂ thỏa mãn -1 < x₁ < x₂

Lời giải:

Đạo hàm y' = x² + 2(m + 3)x + 4(m + 3)

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 mang hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: -1 < x₁ < x₂

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Tìm những trị giá của thông số để hàm số: y = 1/3.mx² - (m - 1)x² + 3(m - 2)x + 1/6 đạt cực trị tại x₁, x₂ thỏa mãn x₁ + 2x₂ = 1

Lời giải:

Đạo hàm y' = mx² - 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán trở thành phương trình y' = 0 mang hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁ + 2x₂ = 1

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm những trị giá của thông số m để đồ thị hàm số: y = x⁴ – 2m²x² + Một mang ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

A. m = - 1      B. m ≠ 0

C. m = 1      D. m = Một hoặc m = -1

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x³ – 4m²x

Ta mang: y' = 0 lúc 4x(x² – m²) = 0

* Hàm số mang 3 điểm cực trị ⇔ m ≠ 0

Lúc đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 1), B(m; 1 - m⁴), C(-m; 1 - m⁴)

* Do tính chất đối xứng, ta mang tam giác ABC cân tại đỉnh A .

Vậy tam giác ABC chỉ mang thể vuông cân tại đỉnh

A ⇔ . = 0

⇔ -m² + m⁸ = 0

Kết hợp điều kiện ta mang: m = Một hoặc m = -1 (thỏa mãn).

Lưu ý: mang thể sử dụng công thức

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Tìm những trị giá của thông số m để đồ thị hàm số: y = x⁴ – 2mx² + 2m + m⁴ mang ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 4x³ – 4mx = 4x(x² – m)

Xét phương trình y' = 0 hay 4x(x² – m) = 0

* Lúc đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; m⁴ + 2m), B(-√m; m⁴ - m² + 2m), C(√m; m⁴ - m² + 2m)

Do tính chất đối xứng, ta mang tam giac ABC cân tại đỉnh A.

* Vậy tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC

Kết hợp điều kiện ta mang: m = ³√3 ( thỏa mãn).

* Lưu ý: mang thể sử dụng công thức:

Suy ra chọn đáp án C.