Chuyên đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

MỤC TIÊU: Học trò nắm được

– Khái niệm hệ phương trình hàng đầu hai ẩn và Cách giải

– Một số dạng toán về hệ phương trình hàng đầu hai ẩn

NỘI DUNG:

KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ

A.Một Hệ hai phương trình hàng đầu hai ẩn

a. Phương trình hàng đầu hai ẩn

  • Phương trình hàng đầu hai ẩn: ax + by = c với a, b, c  R (a2 + b2 ≠ 0)
  • Tập nghiệm của phương trình hàng đầu hai ẩn:

Phương trình hàng đầu hai ẩn ax + by = c xoành xoạch sở hữu vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được trình diễn bởi đường thẳng (d):  ax + by = c

  • Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số $ y=-frac{a}{b}x+frac{c}{b}$
  • Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
  • Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành

b. Hệ hai phương trình hàng đầu hai ẩn

  • Hệ hai phương trình hàng đầu hai ẩn: $ left{ begin{array}{l}ax+by=ca’x+b’y=c’end{array} right.$ trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R
  • Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình hàng đầu hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, lúc đó ta sở hữu

  • (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
  • (d) (d’) = thì hệ sở hữu nghiệm duy nhất
  • (d) $ equiv $ (d’) thì hệ sở hữu vô số nghiệm
  • Hệ phương trình tương đương

Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng sở hữu cùng tập nghiệm

c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

  • Quy tắc thế
  • Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
    • Tiêu dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó sở hữu một phương trình một ẩn
    • Giải phương trình một ẩn vừa sở hữu rồi suy ra nghiệm của hệ

d. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cùng đại số

– Quy tắc cùng

– Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho những hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau

+ Ứng dụng quy tắc cùng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó sở hữu một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)

+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

A.Hai Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai

– Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 ≥ 4P) lúc đó hai số x, y là nghiệm của phương trình: x2 + SX + P = 0

A.3 Tri thức bổ xung

A.3.1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

a. Khái niệm:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại Một nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ ko đổi

b. Cách giải

  • Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P
  • Giải hệ để tìm S và P
  • Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình:
    t2 – St + P = 0

c. Ví dụ giải hệ phương trình:

$ left{ begin{array}{l}x+y+xy=7{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=13end{array} right.$

$ left{ begin{array}{l}x+y+xy+1=0{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y=22end{array} right.$

$ left{ begin{array}{l}x+y+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8xy(x+1)(y+1)=12end{array} right.$

A.3.2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

a. Khái niệm

Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại Hai nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và trái lại

b. Cách giải

  • Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
  • Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
  • Giải phương trình tích ở trên để trình diễn x theo y (hoặc y theo x)
  • Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào Một trong Hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
  • Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ

c. Ví dụ

Giải hệ phương trình:

$ displaystyle left{ begin{array}{l}2x={{y}^{2}}-4y+52y={{x}^{2}}-4x+5end{array} right.$

$ left{ begin{array}{l}{{x}^{3}}=13x-6y{{y}^{3}}=13y-6xend{array} right.$

A.3.3.Hệ phương trình sang trọng bậc 2

a. Khái niệm

– Hệ phương trình sang trọng bậc hai sở hữu dạng:

b. Cách giải

  • Xét xem x = 0 sở hữu là nghiệm của hệ phương trình ko
  • Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
  • Khử x rồi giải hệ tìm t
  • Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
  • Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

* Lưu ý: ta sở hữu thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để sở hữu cách giải tương tự

c. Ví dụ

Giải hệ phương trình:

$ left{ begin{array}{l}{{x}^{2}}-4xy+{{y}^{2}}=1{{y}^{2}}-3xy=4end{array} right.$

$ left{ begin{array}{l}2{{x}^{2}}-3xy+{{y}^{2}}=3{{x}^{2}}+2xy-2{{y}^{2}}=6end{array} right.$

CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Dạng 1: Giải hệ phương trình sở hữu bản và đưa về dạng cơ bản

1. Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cùng đại số để giải những hệ phương trình sau:

– Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

– Giải hệ phương trình bằng phương pháp cùng đại số

2. Bài tập

Dạng 2: Giải những hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

Bài tập:

Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải:

  • Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình hàng đầu đối với x
  • Giả sử phương trình hàng đầu đối với x sở hữu dạng: ax = b (1)
  • Biện luận phương trình (1) ta sẽ sở hữu sự biện luận của hệ

i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b

          – Nếu b = 0 thì hệ sở hữu vô số nghiệm

          – Nếu b0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình sở hữu nghiệm duy nhất.

Bài tập: Giải và biện luận những hệ phương trình sau:

Dạng 4: Xác định trị giá của thông số để hệ sở hữu nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

  • Giải hệ phương trình theo thông số
  • Viết x, y của hệ về dạng: $ displaystyle n+frac{k}{f(m)}$ với n, k nguyên
  • Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ 1: Xác định m nguyên để hệ sở hữu nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

$ displaystyle left{ begin{array}{l}mx+2y=m+12x+my=2m-1end{array} right.$

Giải

Bài tập:

Bài 1: Định m nguyên để hệ sở hữu nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

$ displaystyle left{ begin{array}{l}(m+1)x+2y=m-1m_{{}}^{2}x-y=m_{{}}^{2}+2mend{array} right.$

Bài 2:

a) Định m, n để hệ phương trình sau sở hữu nghiệm là (2; -1)

HD: Thay x = 2 ; y = -Một vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n

b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 sở hữu hai nghiệm là x = Một và x = -2

HD: Thay x = Một và x = -Hai vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b

c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – Một và x + 3

Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)

HD: Đường thẳng  y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta sở hữu hệ phương trình

Bài 4: Định m để 3 đường thẳng  3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy

HD:

– Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}3x+2y=4x+2y=3end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x=0,5y=1,25end{array} right.$ .

Vậy M(0,2 ; 1,25)

Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m ⇔ m = -0,85

Vậy lúc m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy

Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy

a) 2x – y = m ; x – y = 2m ;  mx – (m – 1)y = 2m – 1

b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2

Bài 5: Định m để hệ phương trình sở hữu nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước

Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}mx+4y=9x+my=8end{array} right.$

Với trị giá nào của m để hệ sở hữu nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

$ displaystyle 2x+y+frac{38}{m_{{}}^{2}-4}=3$

HD: 

Giải hệ phương trình theo m ( m ≠ ± 2) sau đó thế vào hệ thức.


BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Cho hệ phương trình $ displaystyle left{ begin{array}{l}mx+4y=10-mx+my=4end{array} right.$ (m là thông số)

a) Giải hệ phương trình lúc m = $ displaystyle sqrt{2}$

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

d) Với trị giá nào của m thì hệ sở hữu nghiệm (x;y) với x, y là những số nguyên dương

Bài 2: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}(m-1)x-my=3m-12x-y=m+5end{array} right.$

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với trị giá nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ sở hữu nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt trị giá nhỏ nhất.

Bài 3: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}3x+2y=42x-y=mend{array} right.$

a) Giải hệ phương trình lúc m = 5

b) Tìm m nguyên sao cho hệ sở hữu nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

c) Với trị giá nào của m thì ba đường thẳng

3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy

Bài 4: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}mx+4y=9x+my=8end{array} right.$

a) Giải hệ phương trình lúc m = 1

b) Với trị giá nào của m để hệ sở hữu nghiệm (-1 ; 3)

c) Với trị giá nào của m thì hệ sở hữu nghiệm duy nhất, vô nghiệm

 Bài 5: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}x+my=9mx-3y=4end{array} right.$

a) Giải hệ phương trình lúc m = 3

b) Với trị giá nào của m để hệ sở hữu nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình xoành xoạch sở hữu nghiệm duy nhất với mọi m

d) Với trị giá nào của m để hệ sở hữu nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

$ displaystyle x-3y=frac{28}{m_{{}}^{2}+3}-3$

Bài 6: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}mx-y=23x+my=5end{array} right.$

a) Giải hệ phương trình lúc $ displaystyle m=sqrt{2}$ .

b) Tìm trị giá của m để hệ phương trình đã cho sở hữu nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức $ displaystyle x+y=1-frac{m_{{}}^{2}}{m_{{}}^{2}+3}$ .

Bài 7: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ begin{array}{l}3x-my=2=-9mx+2y=16end{array} right.$

a) Giải hệ phương trình lúc m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình xoành xoạch sở hữu nghiệm duy nhất với mọi m

c) Định m để hệ sở hữu nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

d) Tìm trị giá nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

e) Với trị nguyên nào của m để hệ sở hữu nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *