3 cách giải phương trình bậc ba (có ví dụ dễ hiểu)

Loài người chúng ta đã biết cách giải phương trình hàng đầu, phương trình bậc hai từ những năm đầu của thiên niên kỉ thứ nhất.

Tuy nhiên, đối với phương trình bậc ba thì chúng ta chỉ mới tìm ra được cách giải chừng mấy trăm năm về trước.

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại cách giải phương trình bậc ba và tìm hiểu thêm về cách giải phương trình bậc 3 sử dụng máy tính CASIO và phương tiện trực tuyến Wolfram Alpha

#1. Phương trình bậc ba là gì?

Phương trình bậc ba (Cubic Equation) với dạng $ax^3+bx^2+cx+d=0$, với $a, b, c, d$ là những số thực bất kỳ, và $a$ khác $0$

Ví dụ. $x^3-6x^2+11x–6=0, 24x^3-26x^2+9x-1=0, 2x^3+x^2+2x+16=0$ là những phương trình bậc ba

#2. Giải bằng phương pháp Toán học

Trong phạm vi ngắn gọn của bài viết này thì chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách giải một số lớp phương trình bậc ba đặc trưng.

2.1. Một số tri thức cần biết

  • Nếu $a+b+c+d=0$ thì phương trình với nghiệm là $1$
  • Nếu $a-b+c-d=0$ thì phương trình với nghiệm là $-1$
  • Nếu phương trình với nghiệm nguyên thì chỉ với thể là một trong những ước của $d$
  • Nếu phương trình với nghiệm hữu tỉ $frac{p}{q}$ thì $p, q$ tuần tự theo thứ tự là ước của $d$ và $a$
  • Nếu $ac^3=db^3$ thì phương trình với nghiệm là $-frac{c}{b}$
  • Phương trình bậc ba với ko quá ba nghiệm

#3. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^3-6x^2+11x–6=0$

Lời giải:

Vì $1+(-6)+11+(-6)=0$ nên phương trình đã cho với nghiệm là $1$

$x^3-6x^2+11x–6=0$ $https://www.wolframalpha.com/$

$https://www.wolframalpha.com/ Leftrightarrow (x-1)(x^2-5x+6)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}x-1=0 x^2-5x+6=0 end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=1 left[begin{array}{l}x=2 x=3 end{array}right. end{array}right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ${1, 2, 3}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $24x^3-26x^2+9x-1=0$

Lời giải:

$pm 1$ là những ước của $-1$

$pm 1, pm 2, pm 3, pm 4, pm 6, pm 8, pm 12, pm 24$ là những ước của $24$

Nếu phương trình đã cho với nghiệm hữu tỉ thì chỉ với thể là một trong những trị giá $pm 1, pm frac{1}{2}, pm frac{1}{3}, pm frac{1}{4}, pm frac{1}{6}, pm frac{1}{8}, pm frac{1}{12}, pm frac{1}{24}$

Hiện tại chúng ta sẽ tuần tự thay những trị giá được liệt kệ bên trên vào vế trái của phương trình, trị giá nào làm cho vế trái bằng $0$ thì đó chính là nghiệm.

  • $24(1)^3-26(1)^2+9(1)-1=6 neq 0$
  • $24left(frac{1}{2}right)^3-26left(frac{1}{2}right)^2+9left(frac{1}{2}right)-1=0$
  • $24left(frac{1}{3}right)^3-26left(frac{1}{3}right)^2+9left(frac{1}{3}right)-1=0$
  • $24left(frac{1}{4}right)^3-26left(frac{1}{4}right)^2+9left(frac{1}{4}right)-1=0$

Vì phương trình bậc ba với ko quá ba nghiệm nên chúng ta ko cần thử với những trị giá còn lại

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $left{ frac{1}{2}, frac{1}{3}, frac{1}{4} right}$

Ví dụ 3. Giải phương trình $2x^3+x^2+2x+16=0$

Lời giải:

Vì $2.2^3=16.1^3$ thì phương trình với nghiệm là $-frac{2}{1}=-2$

$2x^3+x^2+2x+16=0$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ${-2}$

#4. Giải phương trình bậc ba sử dụng máy tính CASIO

Ở đây mình sẽ giải phương trình $x^3-6x^2+11x–6=0$ sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X

Bước 1. Tuần tự nhấn những phím để chọn phương trình bậc ba

Bước 2. Tuần tự nhấn những phím  để nhập những hệ số $1, -6,  11, -6$

Bước 3. Nhấn phím để xem kết quả:

#5. Giải phương trình bậc 3 bằng phương tiện trực tuyến Wolfram Alpha

Giải bằng phương tiện trực tuyến Wolfram Alpha ko phải là phương pháp chính thống, nó chỉ là tương trợ thôi nha những bạn.

Lý do quan yếu nhất là ko được phép mang điện thoại thông minh, máy tính xách tay vào phòng thi, dẫn tới ko thể sử dụng Wolfram Alpha trong việc rà soát, cũng như thi cử được.

Bước 1. Truy cập vào trang chủ của Wolfram Alpha theo liên hệ https://www.wolframalpha.com/

Bước 2. Nhập lệnh solve 24x^3-26x^2+9x-1=0

Bước 3. Nhấn phím Enter trên bàn phím máy tính rồi xem kết quả.

#6. Lời kết

Vậy là chúng ta đã cùng nhau điểm qua tất cả những lớp phương trình bậc ba với dạng đặc trưng rồi ha. Qua bài viết này thì mình tin là bạn đã biết cách giải phương trình bậc 3 rồi đúng ko?!

Một thắc mắc được đặt ra là nếu phương trình ko với gì đặc trưng thì giải như thế nào? Ở đây mình sẽ chia thành hai trường hợp:

  • Trường hợp 1 đây là một bài toán độc lập, cần trình bày lời giải một cách đầy đủ thì giải bằng phương pháp tổng quát của Gerolamo Cardano.
  • Trường hợp 2 chỉ cần tìm được nghiệm (thường gặp là dạng trắc nghiệm hoặc là một ý trong một bài toán nào đó) thì chúng ta sẽ giải sử dụng máy tính CASIO.

Trường hợp 1 trong thực tế khá ít gặp nên những bạn cũng ko cần lo lắng và đây cũng là lý do chính mình ko trình bày thuật giải tổng quát cho phương trình bậc ba trong bài viết này.

Hi vọng những tri thức trong bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hứa gặp lại những bạn trong những bài viết tiếp theo !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn


--- Cập nhật: 22-01-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước từ website vietjack.com cho từ khoá bài tập giải phương trình bậc 3.



Cách giải phương trình bậc ba với một nghiệm cho trước

A. Phương pháp giải

Bài toán: Cho phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), biết phương trình với một nghiệm x 0, tìm những nghiệm còn lại của phương trình

Cách giải:

- Nếu x = x 0 là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì

ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).f(x)

- Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x - x 0).

- Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, lúc đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - x 0). (ax2 + Bx + C) = 0

để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta với thể sử dụng sơ đồ Hooc-ne sau

Lúc đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x - x 0).(ax2 + Bx + C)

Ví dụ 1: Tìm những nghiệm của phương trình  x3 + x2 = 12 (1), biết x = Hai là một nghiệm của phương trình

Giải

Phương trình (1) ⇔ x3+x2-12 = 0

Vì x = Hai là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (x3 + x2 – 12) chia cho

(x – 2). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:

Vậy x3 + x2 – 12 =  (x – 2).( x2 + 3x + 6)

Xét phương trình:  x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Xét phương trình:  x2 + 3x + 6 = 0 với ∆ = 32  - 4.1.6 = -15 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Vây phương trình với nghiệm duy nhất  x = 2

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:  (x - 2)(x2 + mx+ m2 – 3) = 0 (1) với đúng Hai nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình https://www.wolframalpha.com/ với Một nghiệm x = Hai nên để phương trình (1) với đúng Hai nghiệm thì phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước phải với nghiệm kép khác Hai hoặc với Hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

+ TH1: phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước với nghiệm kép khác 2 ⇔  phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước với

∆ = 0 và x = Hai ko là nghiệm của Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước

+ TH2: phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước với Hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2

Thay x = Hai vào phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước ta được:

Với m = -Một thì phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước trở thành: x2-x-2 = 0

Phương trình này với a – b + c = 0 nên với Hai nghiệm  x = -1, x = 2

Suy ra m = -Một thỏa mãn

Vậy m = -1, m = 2, m = -Hai là những trị giá cần tìm

B. Bài tập

Câu 1: Tính tổng những nghiệm của phương trình, biết x = -3 là một nghiệm của phương trình

Giải

Vì x = -3 là một nghiệm của phương trình nên ta lấy đa thức (2x3 + x2 – 13x + 6)chia cho (x + 3). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia

Vậy 2x3 + x2 – 13x + 6 =  (x + 3).(2x2 - 5x + 2)

Xét phương trình  x + 3 = 0 ⇔ x = -3

Vậy tổng những nghiệm của phương trình là:

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình  (x - 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 (1) với 3 nghiệm phân biệt

Giải

Phương trình (1)

Phương trình https://www.wolframalpha.com/ với Một nghiệm  x = Một nên để phương trình (1) với 3 nghiệm phân biệt  thì phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước phải với Hai nghiệm phân biệt khác  x = 1

Vậy với  thì phương trình với 3 nghiệm phân biệt

Đáp án là B

Câu 3: Tìm m để phương trình  (2x - 1)(x2 – mx + 3m - 5) = 0 (1) với đúng Một nghiệm

A. 1 < m < 8

B. 2 < m < 10

C. m = 4

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình https://www.wolframalpha.com/ với Một nghiệm  nên để phương trình (1) với đúng Một nghiệm thì phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước phải với nghiệm kép  hoặc vô nghiệm

+ TH1: phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước với nghiệm kép

Thay  vào phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước ta được:

+ TH2: phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước vô nghiệm ⇔ ∆ < 0

Vậy 2 < m < 10 là những trị giá cần tìm

Đáp án là B

Câu 4: Tìm m để phương trình  (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 (1) với 3 nghiệm phân biệt và tổng những nghiệm bằng 3

A. m = 1

B. m = 6

C. Ko tồn tại m

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình https://www.wolframalpha.com/ với Một nghiệm x1 = -1 nên để phương trình (1) với 3 nghiệm thì phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước phải với Hai nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -1

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước nên x2 + x3  = -2m

Tổng những nghiệm của phương trình (1) là: x1 + x2 + x3 = -1 – 2m = 3 ⇔ m = -2

m = -Hai ko thỏa mãn điều kiện  nên loại

Vậy ko với trị giá nào của m thỏa mãn đề bài

Đáp án là C

Câu 5: Tìm m để phương trình  (x + 2)(x2 – 2(m-1)x + m2 – 3m) = 0 (1) với 3 nghiệm phân biệt và tích những nghiệm bằng 4

A. m = 1

B. m = 1, m = 2

C. m = 2

D. m = 0

Giải

Phương trình (1)

Phương trình https://www.wolframalpha.com/ với Một nghiệm x1 = -2 nên để phương trình (1) với 3 nghiệm thì phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước phải với Hai nghiệm phân biệt x2, x3 khác x1 = -2

Điều này xảy ra

Vì x2, x3 là hai nghiệm của phương trình Cách giải phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước nên x2. x3  = m2 - 3m

Tích những nghiệm của phương trình (1) là:

Vậy với m = 1, m = Hai thì phương trình (1) với nghiệm thỏa mãn yêu cầu đặt ra

Đáp án đúng là B

Câu 6: Biết rằng phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 được đưa về phương trình

(x -3)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính B + C

A. -5

B. -4

C. -6

D. -3

Giải

Sử dụng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 4x2 + x + 6 cho x – 3

Vậy x3 - 4x2 + x + 6 =  (x - 3).(x2 - x - 2)

Suy ra phương trình x3 – 4x2 + x + 6 = 0 ⇔ (x - 3).(x2 - x - 2) = 0

Vậy B = -Một và C = -2 ⇒ B + C = -1 – 2 = -3

Đáp án D

Câu 7: Biết rằng phương trình x3 – 5x2 - 2x + 24 = 0 được đưa về phương trình (x - 4)(x2 + Bx + C) = 0. Hãy tính tích những nghiệm của phương trình x2 + Bx + C = 0 nếu với

A. -6

B. -7

C. -8

D. -9

Giải

Sử dụng sơ đồ Hooc-ne chia đa thức x3 – 5x2 - 2x + 24 cho x – 4

Vậy x3 - 5x2 - 2x + 24 =  (x - 4).(x2 - x - 6)

Suy ra phương trình x2 + Bx + C = 0 là phương trình  x2 - x – 6 = 0

Theo Vi-et tích những nghiệm của phương trình là

Đáp án A

  • Phương pháp giải phương trình trùng phương cực hay
  • Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu hay, chi tiết
  • Phương pháp giải phương trình đưa về dạng tích cực hay
  • Cách giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ cực hay

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Nhà băng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 với đáp án




--- Cập nhật: 22-01-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Cách giải phương trình bậc 3 và bài tập ứng dụng từ website tailieure.com cho từ khoá bài tập giải phương trình bậc 3.

Cách giải phương trình bậc 3 sẽ được nhắc chi tiết trong bài viết này. Như chúng ta đã biết, khác hoàn toàn với phương trình hàng đầu và phương trình bậc hai đã được giới thiệu từ trước. Thì phương trình bậc ba với khá nhiều điểm khác như số nghiệm và cả về độ đẹp của những nghiệm nữa. Tùy vào những hệ số mà ta với những phương pháp khác nhau.

TẢI XUỐNG ↓

Phương pháp tổng quát

Bất kể loại phương trình nào đều với phương pháp riêng để tiến hành giải. Hay còn gọi là những công thức tổng quát. Riêng phương trình bậc ba chúng ta sẽ tìm hiểu thông qua 3 hướng tiếp cận dựa vào mối liên hệ giữa những hệ số như sau:

Phương pháp phân tích thành nhân tử

Đây là phương pháp khá thuần tuý tuy nhiên điều kiện của phương trình phải là với nghiệm đẹp. Nghiệm đẹp ở đây với thể là số nguyên hoặc là phân số. Sau lúc tìm được nhân tử chung thứ nhất thì việc còn lại chỉ là giải một phương trình bậc hai vô cùng thuần tuý

Lúc một phương trình bậc 3 [a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0] với nghiệm [x=r] thì cứng cáp nó sẽ xuất hiện nhân tử [left( xr right)]. Sau lúc tìm được nghiệm chung, ta tiến hành phân tích thành nhân tử qua những bước sau:

Bước 1: Tìm nghiệm thuần tuý của phương trình. Đối với những bài toán này thường với nghiệm khá thuần tuý như 0,1,2,3. Nếu phức tạp hơn một tí thì với thể sử dụng máy tính casio để nhẩm nghiệm với chức năng solve.

Bước 2: Sau lúc với nghiệm, ta tiến hành phép phân tích phân tử bằng cách chia tách những hệ số, sơ đồ hoocne hoặc phương pháp đồng nhất thức đều được cả.

Phương pháp Cardano

Phương pháp thiên về việc đặt ẩn phụ và khá phức tạp. Tuy nhiên lợi thế của phương pháp này là khắc phục hầu hết những bài tập phương trình bậc ba mà ko cần quan tâm tới hệ số cũng như kết quả nghiệm xấu hay là đẹp. Đây là phương pháp giải được cho là tổng quát nhất và cũng khá là phức tạp:

Xét phương trình bậc 3: [{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0] (1)

Đặt [x=yfrac{a}{3}] thì phương trình (1) luôn biến đổi về dạng chính tắc là [{{y}^{3}}+py+q=0] trong đó:

  • [p=bfrac{{{a}^{2}}}{3}]
  • [q=c+frac{2{{a}^{3}}9ab}{27}]

Trường hợp này ta chỉ xét [p,qne 0] còn trường hợp bằng 0 thì sẽ đưa về dạng thuần tuý hơn rất nhiều.

Phương pháp lượng giác hóa

Một phương trình bậc ba, nếu với nghiệm thực, lúc trình diễn dưới dạng căn thức sẽ liên quan tới số phức. Vì vậy ta thường sử dụng phương pháp lượng giác hoá để tìm một cách trình diễn khác thuần tuý hơn, dựa trên hai hàm số cos và arcos.

Bài tập giải phương trình bậc 3 trong đề thi học trò giỏi

Dưới đây là tổng hợp một số phương trình bậc 3 trong những đề thi học trò giỏi đã diễn ra. Tuy những bài toán ko xuất hiện ở dạng trực quan: “hãy giải phương trình bậc 3 sau?” mà chúng sẽ suất hiện dưới dạng một bài toán tổng hợp. Lồng ghép với những bài toán đại số khác để tạo thành một bài toán to.

Vậy là chúng ta vừa tìm hiểu xong 3 cách giải phương trình bậc 3 cùng một số ví dụ rất hay về chuyên đề này. Để vận dụng một cách linh hoạt, những phương pháp thường kết  hợp nhau hoặc loại trừ nhau. Với nhiều bài thích hợp sử dụng  phương pháp này nhưng cũng với nhiều bài ko thích hợp sử dụng. Do đó, chúng ta cần phải với hướng đi xác thực ngay lúc gặp những phương trình bậc 3 trong đề thi. Cuối cùng thì chúc những em học tốt nhé.

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *