Các dạng bài tập Hình nón, khối nón chọn lọc, có đáp án




Các dạng bài tập Hình nón, khối nón chọn lọc, có đáp án

Phần Hình nón, khối nón Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 50 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào để theo dõi các dạng bài Hình nón, khối nón hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Tất tần tật về Mặt nón – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

  • Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay Xem chi tiết
  • Lý thuyết Hình nón, khối nón Xem chi tiết
  • Dạng 1: Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón Xem chi tiết
  • Dạng 2: Thiết diện của hình nón Xem chi tiết
  • Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay Xem chi tiết
  • Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay Xem chi tiết
  • Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải Xem chi tiết

Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

    + Diện tích xung quanh: Sxq = πRl

    + Diện tích đáy (hình tròn): Sđ = πR2

    + Diện tích toàn phần hình tròn: S = Sđ + Sxq = π.r.l+πr2

    + Thể tích khối nón:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.

Hướng dẫn:

Xét tam giác SOA có: h=SO=3a;r=AO=4a

Diện tích xung quanh: Sxq=πRl=π.4a.5a=20πa2

Diện tích toàn phần: Stp= πRl+πR2=20πa2+25πa2=45πa2

Thể tích của hình nón là:

Bài 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh của hình nón

Hướng dẫn:

Xét tam giác SOA vuông tại O có:

Diện tích xung quanh:

Bài 3: Một khối nón có thể tích bằng 30 π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

là thể tích của khối nón ban đầu

⇒ Thể tích của khối nón lúc sau là:

Cách xác định Thiết diện của hình nón

A. Phương pháp giải & Ví dụ

– Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

– Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Hướng dẫn:

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.

Sxq = πRl = π.a.2a = 2πa2

Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.

Hướng dẫn:

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB

⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2

Thể tích khối nón là:

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện

Hướng dẫn:

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

    + ∆SAB vuông cân tại S

    + Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Ta có:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón

1. Phương pháp giải

Cho hình nón (H) có bán kính đường tròn đáy là R và độ dài đường sinh là l.

+ Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:
Sxq = πR.l

+ Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện đáy:
Stp = πR.l + πR2

+ Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích hình tròn đáy và chiều cao:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600.Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón lần lượt là?

Hướng dẫn giải:

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là
= 600 .

Trong tam giác vuôn SAO, ta có:

Diện tích xung quanh hình nón là:
Sxq = πRl = π. .a√2 = πR2

Thể tích của khối nón tròn xoay
(đvtt)

Chọn A

Ví dụ 2. Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3 , góc ở đỉnh là 1200. Tính thể tích của khối nón đó theo a.

A.    B. πa3    C.    D. 2πa3

Hướng dẫn giải:

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy.

Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính là:

Do góc ở đỉnh là 1200 nên

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:
SO = = a

Do đó chiều cao hình nón là h = SO= a.

Vậy thể tích khối nón là
V = πr2h = π.3a2.a = πa3

Chọn B.

Ví dụ 3. Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa2 . Thể tích khối nón là:

A.    B.    C. 2πa3    D. √2πa3

Hướng dẫn giải:

Ta có độ dài đường sinh là l = 2a .

Do diện tích xung quanh là 2πa2 nên :

Sxq = π.R.l = 2πa2 ⇒ R = = a

Chiều cao của hình nón là:
h = = √3a

Thể tích của khối nón là
V = πR2h = π.a2.√3 =

Chọn A.

  • Tổng hợp lý thuyết Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
  • Chuyên đề: Mặt cầu
  • Chuyên đề: Hình trụ
  • Chuyên đề: Hình nón, khối nón

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
  • Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
  • Kho trắc nghiệm các môn khác




— Cập nhật: 26-01-2023 — edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Bài tập liên quan đến công thức diện tích, thể tích mặt nón hình nón khối nón có đáp án chi tiết từ website tuhoc365.vn cho từ khoá bài tập hình nón có lời giải.

Bài tập liên quan đến công thức diện tích, thể tích mặt nón hình nón khối nón có đáp án

Dưới đây là bài tập trắc nghiệm liên quan đến công thức diện tích và thể tích của các hình nón có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R = 3, chiều cao h = 4 bằng

A. 12$pi $ B. $6pi $ C. $15pi $ D. $9pi $

Lời giải chi tiết

Article post on: edu.dinhthienbao.com

Độ dài đường sinh $l=sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}=sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$

Vậy diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=pi Rl=15pi $. Chọn C

Bài tập 2: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 4, diện tích xung quanh bằng 20$pi $. Thể tích khối nón đã cho bằng

A. $4pi $ B. $8pi $ C. $20pi $ D. $16pi $

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có $left{ begin{array}  {} R=4   {} {{S}_{xq}}=20pi   end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} R=4   {} pi Rl=20pi   end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} R=4   {} l=5 end{array} right.$

Lại có: ${{l}^{2}}={{h}^{2}}+{{R}^{2}}to h=sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}=3}$

Vậy thể tích khối nón (N) là ${{V}_{left( N right)}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{pi }{3}{{.4}^{2}}.3=16pi $

Chọn D

Bài tập 3: Cho hình nón (N) có diện tích xung quanh bằng $2pi $, diện tích toàn phần bằng $3pi $. Thể tích khối nón đã cho bằng

A. $frac{sqrt{3}}{3}pi $ B. $frac{sqrt{3}}{6}pi $ C. $frac{sqrt{6}}{6}pi $              D. $frac{sqrt{3}}{2}pi $

Lời giải chi tiết

Diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=pi Rl=2pi leftrightarrow Rl=2$

Diện tích toàn phần hình nón là ${{S}_{tp}}=pi Rl+pi {{R}^{2}}=3pi leftrightarrow Rl+{{R}^{2}}=3$

Do đó $left{ begin{array}  {} Rl=2   {} Rl+{{R}^{2}}=3 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{R}^{2}}=1   {} Rl=2 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} R=1   {} l=2 end{array} right.to h=sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón (N) là ${{V}_{left( N right)}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{pi }{3}{{.1}^{2}}.sqrt{3}=frac{sqrt{3}}{3}pi $

Chọn A

 

Bài tập 4: Cho hình nón (N) có góc ở đỉnh bằng 60°, độ dài đường sinh bằng 4. Thể tích khối nón đã cho bằng

A. $frac{4sqrt{3}pi }{3}$ B. $frac{8sqrt{3}pi }{3}$ C. $2sqrt{3}pi $              D. $frac{sqrt{3}pi }{2}$

Lời giải chi tiết

Vì góc ở đỉnh của hình nón bằng 60° $l=2R=4Rightarrow R=2$

Ta có ${{h}^{2}}+{{R}^{2}}={{l}^{2}}Rightarrow h=sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=sqrt{{{4}^{2}}-{{2}^{2}}}=2sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón đã cho là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{.2}^{2}}.2sqrt{3}=frac{8sqrt{3}pi }{3}$.

Chọn B.

 

Bài tập 5:  Trong không gian, cho tam giác AC vuông tại A, AB = a và AC = a$sqrt{3}$. Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng

A. $l=a$ B. $l=asqrt{2}$ C. $l=asqrt{3}$ D. $l=2a$

Lời giải chi tiết

Kỹ năng vẽ hìnhTam giác quay quanh cạnh nào thì cạnh đó là trục, động thời chính là chiều cao của hình nón 

Quay tam giác ABC xung quanh trục AB, ta được hình nón có chiều cao h = AB = a, bán kính đáy $R=AC=asqrt{3}$ (hình vẽ bên)

Do đó, độ dài đường sinh là $l=sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=2a$.

Chọn D.

 

Bài tập 6: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC = 60°, BC = 4a. Thể tích khối nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AC bằng

A. $frac{4sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$ B. $frac{8sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$ C. $frac{8sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{9}$              D. $frac{4sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{9}$

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A, có $sin Ahat{B}C=frac{AC}{BC}Rightarrow AC=2asqrt{3}$

Và $AB=sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=sqrt{{{left( 4a right)}^{2}}-{{left( 2asqrt{3} right)}^{2}}}=2a$

Quay tam giác ABC xung quanh trục AC, ta được hình nón có chiều cao $h=AC=2asqrt{3}$, bán kính đáy $R=AB=2a$ (hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối nón cần tìm là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{8sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn B

Bài tập 7: Trong không gian, cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Gọi H là trung điểm của BC. Thể tích của khối nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH bằng

A. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{9}$ B. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{2}$ C. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$              D. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{6}$

Lời giải chi tiết

Quay tam giác ABC quanh trục AH, ta được hình nón có chiều cao $h=AH=asqrt{3}$, bán kính đáy $R=BH=frac{BC}{2}=a$(hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn C

Bài tập 8: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3a, BC = 5a. Thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục BC bằng

A. $frac{36pi {{a}^{3}}}{5}$ B. $frac{48pi {{a}^{3}}}{25}$ C. $frac{16pi {{a}^{3}}}{5}$              D. $frac{48pi {{a}^{3}}}{5}$

Lời giải chi tiết

 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

Tam giác ABC vuông tại A, có $AC=sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=4a$

Suy ra $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}=frac{1}{{{left( 3a right)}^{2}}}+frac{1}{{{left( 4a right)}^{2}}}Rightarrow AH=frac{12a}{5}$

Quay tam giác ABC quanh trục BC, ta được hai hình nón có chiều cao lần lượt là ${{h}_{1}}=BH,{{h}_{2}}=CH$ và bán kính đáy R = AH (hình vẽ bên)

Source: edu.dinhthienbao.com

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$

$=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}{{h}_{1}}+frac{1}{3}pi {{R}^{2}}{{h}_{2}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} right)=frac{1}{3}pi .A{{H}^{2}}.BC=frac{48pi {{a}^{3}}}{5}$

Chọn D. 

Bài tập 9: Trong không gian, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục AD bằng

A. $frac{7pi {{a}^{3}}}{3}$ B. $frac{5pi {{a}^{3}}}{3}$ C. $frac{4pi {{a}^{3}}}{3}$              D. $frac{8pi {{a}^{3}}}{3}$

Lời giải chi tiết

Quay hình thang ABCD quanh trục AD, ta được khối nón cụt có hai bán kính đáy lần lượt là ${{R}_{1}}=AB,{{R}_{2}}=CD$và chiều cao h = AD

Công thức tính thể tích nón cụt $$ được phát triển từ công thức thể tích tổng quát của khối có hai đáy song song

Vậy thể tích cần tính là $V=frac{1}{3}pi a.left[ {{a}^{2}}+{{left( 2a right)}^{2}}+a.2a right]=frac{7pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn A.

Bài tập 10: Trong không gian, cho hình thang ABCD có AB//CD và AB = AD = BC =a, CD = 2a. Thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục AB bằng

A. $frac{5pi {{a}^{3}}}{3}$ B. $pi {{a}^{3}}$ C. $frac{5pi {{a}^{3}}}{4}$              D. $frac{5pi {{a}^{3}}}{2}$

Lời giải chi tiết

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay có thể tích V tạo bởi hai khối:

l        Khối trụ tròn xoay có chiều cao h = CD = MN =2a và bán kính đường tròn đáy $R=DN=sqrt{D{{A}^{2}}-N{{A}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{2}$( như hình vẽ bên ).

l        Thể tích khối trụ trên trừ đi thể tích 2.Vcủa hai khối nón có chiều cao ${{h}_{2}}=frac{a}{2}$và bán kính đường tròn đáy $R=DN=frac{asqrt{3}}{2}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}-2.{{V}_{2}}=pi .2a.frac{3{{a}^{2}}}{4}-frac{2}{3}.pi .frac{a}{2}.frac{3{{a}^{2}}}{4}=frac{5}{4}pi {{a}^{3}}$

Chọn C

Bài tập 11: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miêng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miệng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Thể tích của mỗi cái phễu bằng

A. $frac{8sqrt{2}pi }{3}$lít B. $frac{16sqrt{2}pi }{3}$lít C. $frac{1600sqrt{2}pi }{3}$lít              D. $frac{32sqrt{2}pi }{3}$lít

Lời giải chi tiết

Khi quấn hình quạt để tạo thành một hình nón, ta được

l        Đường sinh hình nón bằng bán kính hình quạt $l=R=60cm$

l        Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung hình quạt $C=2pi r=frac{1}{3}.2pi .60Rightarrow r=20$

Do đó, chiều cao của hình nón là $h=sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=sqrt{{{60}^{2}}-{{20}^{2}}}=40sqrt{2}cm$

Vậy thể tích của mỗi cái phễu là $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{.20}^{2}}.40sqrt{2}=frac{1600sqrt{2}pi }{3}c{{m}^{2}}=frac{16sqrt{2}pi }{3}$lít.

Chọn B.

Bài tập 12: Có một miếng tôn hình tam giác đều ABC cạnh 3 dm (như hình vẽ).

Gọi K là trung điểm của BC. Người ta dùng compa có tâm là A và bán kính AK vạch ra cung tròn MN (M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB và AC) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó. Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho cạnh AM và AN’ trùng nhau thành một cái phếu hình nón không đáy với đỉnh A. Tính thể tích V của cái phễu.

A. $V=frac{sqrt{141}.pi }{64}d{{m}^{3}}$ B. $V=frac{sqrt{105}.pi }{64}d{{m}^{3}}$ C. $V=frac{3sqrt{3}.pi }{32}d{{m}^{3}}$              D. $V=frac{3pi }{64}d{{m}^{3}}$

Lời giải chi tiết

Độ dài đường sinh của phễu là ${{l}_{N}}=AM=AK=frac{3sqrt{3}}{2}$

Độ dài cung MN là $ell =frac{60}{360}.2pi .AK=frac{1}{3}pi .frac{3sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}pi }{2}left( dm right)$

Bán kính đáy của phễu là $r=frac{ell }{2pi }=frac{sqrt{3}}{4}$ suy ra $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}.sqrt{ell _{N}^{2}-{{r}^{2}}}=frac{sqrt{105}pi }{64}left( d{{m}^{3}} right)$

 Chọn B.

Bài tập 13: Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính AB = AD = 4 dm (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó AB trùng với AD). Chiều cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là

A. 3,872 dm B. 3,874 dm C. 3,871 dm D. 3,873 dm

Lời giải chi tiết

Chu vi của đáy hình nón có độ dài bằng cung BD.

Độ dài cung BDlà: $l=frac{1}{4}.left( 2pi .4 right)=2pi $. Suy ra bán kính đường tròn đáy hình nón là : $r=frac{2pi }{2pi }=1$

Độ dài đường sinh của hình nón là $ell =4dmRightarrow h=sqrt{{{ell }^{2}}-{{r}^{2}}}=3,873dm$.

Chọn D.

Bài tập 14: Từ một tấm kim loại dẻo hình quạt (như hình vẽ) có bán kính R= 13 và chu vi hình quạt là $P=12pi $, người ta gò tấm kim loại đó thành những chiếc phễu hình nón theo hai cách:

Cách 1: Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu.

Cách 2: Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu.

Gọi V1 là thể tích của cái phễu ở cách 1, V2 là tổng thể tích của  hai cái phễu ở cách 2. Tính tỉ số $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$

A. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{sqrt{133}}{sqrt{160}}$ B. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{2sqrt{133}}{sqrt{160}}$              C. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{2sqrt{160}}{sqrt{133}}$              D. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{sqrt{5}}{2}$

Lời giải chi tiết

Theo cách 1 ta có: Độ dài đường sinh của hình nón là: $ell =13$, chu vi đáy $r=frac{12pi }{2pi }=6$

Khi đó thể tích của chiếc phễu là: ${{V}_{1}}=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}sqrt{{{ell }^{2}}-{{h}^{2}}}=12pi sqrt{133}$

Theo cách 2 ta có: Độ dài đường sinh của hình nón là: $ell =13$, chu vi đáy mỗi phễu là: $r=frac{6pi }{2pi r}Rightarrow r=3$

Khi đó tổng thể tích của hai chiếc phễu là: ${{V}_{2}}=frac{2}{3}pi {{r}^{2}}sqrt{{{ell }^{2}}-{{h}^{2}}}=24pi sqrt{10}$

Quy ra $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{sqrt{133}}{2sqrt{10}}=frac{2sqrt{133}}{sqrt{160}}$

Chọn D.

Via @: edu.dinhthienbao.com

Bài tập 15: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $frac{1}{3}$ chiều cao của phễu. Hỏi nêu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm

A. 0,5 cm B. 0,3 cm C. 0,188 cm D. 0,216 cm

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của phễu là R, chiều cao của phễu là h = l5 em

Vì chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng $frac{1}{3}h$

Suy ra bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là $frac{1}{3}R$

Thể tích phễu và thể tích nước lần lượt là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=5pi {{R}^{2}},{{V}_{1}}=frac{1}{3}pi {{left( frac{R}{3} right)}^{2}}.frac{h}{3}=frac{5}{27}pi {{R}^{2}}$

Do đó, thể tích phần khối nón không chứa nước là ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=5pi {{R}^{2}}-frac{5}{27}pi {{R}^{2}}=frac{130}{27}pi {{R}^{2}}Rightarrow frac{{{V}_{2}}}{V}=frac{26}{27}$

Gọi h’ và r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước

$frac{h’}{h}=frac{r}{R}Rightarrow frac{{{V}_{2}}}{V}=frac{h{{‘}^{3}}}{{{h}^{3}}}=frac{h{{‘}^{3}}}{{{15}^{3}}}=frac{26}{27}to h’=5sqrt[3]{26}$

Vậy chiều cao cần tính là ${{h}_{o}}=h-h’=15-5sqrt[3]{26}=0,188cm$

Chọn C.

Bài tập 16: Bạn Hùng có một tấm bìa hình tròn như vẽ bên dưới, Hùng muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó bạn Hùng phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?

A. $frac{2sqrt{3}pi }{3}$ B. $frac{2sqrt{6}pi }{3}$ C. $frac{sqrt{3}pi }{2}$              D. $frac{sqrt{3}pi }{6}$

Lời giải chi tiết

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của hình nón

Thể tích khối nón là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{pi }{3}{{R}^{2}}.sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}$

Ta có: ${{R}^{4}}left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)=4.frac{{{R}^{2}}}{2}.frac{{{R}^{2}}}{2}.left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)le 4.frac{{{left( frac{{{R}^{2}}}{2}+frac{{{R}^{2}}}{2}+{{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)}^{3}}}{27}=frac{4{{l}^{6}}}{27}$

Do đó ${{R}^{2}}.left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)le sqrt{frac{4{{l}^{6}}}{27}}=frac{2sqrt{3}{{l}^{3}}}{9}Rightarrow Vle frac{2sqrt{3}pi {{l}^{3}}}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi$frac{{{R}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{R}^{2}}Leftrightarrow {{l}^{2}}=frac{3}{2}{{R}^{2}}Leftrightarrow l=frac{Rsqrt{6}}{2}$                            (1)

Hình nón nhận được là có đường sinh l = OA, chu vi đáy là độ dài cung AB

Vì $x=widehat{AOB}Rightarrow $độ dài cung $AB=OAtimes x=lxRightarrow 2pi R=lxRightarrow x=frac{2pi R}{l}$            (2)

Từ (1), (2) suy ra $x=2pi .frac{R}{l}=2pi .frac{2}{sqrt{6}}=frac{2sqrt{6}pi }{3}$.

Chọn B.

Bài tập 17: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, kí hiệu A là đường thắng vuông góc với AB tại B. Trên nửa đường tròn lấy điểm E di động, tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E và cắt tia đối của tia AB tại D và cắt ∆ tại C (như hình vẽ dưới). Khi quay tam giác BCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay có thể tích nhỏ nhất là ?

A. $frac{8pi {{R}^{3}}}{27}$ B. $frac{8sqrt{3}pi {{R}^{3}}}{9}$ C. $frac{8pi {{R}^{3}}}{3}$              D. $frac{8pi {{R}^{3}}}{9}$.

Lời giải chi tiết

Tam giác OBC vuông tại B, có $tan widehat{BOC}=frac{BC}{BO}Rightarrow BC=R.tan alpha $

Ta có $widehat{BCD}=2left( {{90}^{o}}-alpha  right)Rightarrow BD=BC.tan left( {{180}^{o}}-2alpha  right)=-BC.tan 2alpha $.

Khi quay tam giác BCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay có thể tích là

$V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h-frac{pi }{3}.B{{C}^{2}}.BD=-frac{pi }{3}.B{{C}^{2}}.tan 2alpha =frac{2pi }{3}.{{R}^{3}}.frac{{{tan }^{4}}alpha }{{{tan }^{2}}alpha -1}ge frac{8pi {{R}^{3}}}{3}$

Vì ${{tan }^{4}}alpha ge 4left( {{tan }^{2}}alpha -1 right)Leftrightarrow {{left( {{tan }^{2}}alpha -2 right)}^{2}}ge 0;forall alpha in left( {{45}^{o}};{{90}^{o}} right)$. Vậy ${{V}_{min }}=frac{8pi {{R}^{3}}}{3}$

Chọn C.


— Cập nhật: 26-01-2023 — edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Bài tập hình nón – tính diện tích và thể tích hình nón (có lời giải) từ website hoctot.hocmai.vn cho từ khoá bài tập hình nón có lời giải.

I. Lý thuyết cơ bản về hình nón

1. Khái niệm về hình nón

Hình nón (hay còn gọi là khối nón, khối tròn xoay) hiểu đơn nhất là hình được tạo ra khi quay một tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định.

Hình minh họa:

2. Công thức hình nón

Đường cao: h

Bán kính đáy: r

Đường sinh: l

Diện tích xung quanh hình nón

Trong đó:

  • Sxq: diện tích xung quanh
  • π: hằng số Pi, với Pi 3,14
  • r: bán kính đáy hình nón
  • l: đường sinh hình nón (SB trong hình minh họa là đường sinh)

Diện tích toàn phần hình nón

Trong đó:

  • Stp: diện tích toàn phần
  • Sxq: diện tích xung quanh
  • Sđ: diện tích đáy
  • Π: hằng số Pi, với Pi3,14
  • r: bán kính đáy hình nón
  • l: đường sinh hình nón

Thể tích hình nón

Trong đó:

  • V là thể tích hình nón
  • π là hằng số Pi, với Pi xấp xỉ bằng 3,14
  • r là bán kính đáy hình nón
  • h là đường cao hình nón

II. Bài tập về hình nón

Bài 1:Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích bằng 2?

  1. S = 2√2π 
  2. S = 4π 
  3. S = 2π 
  4. S = 4√2π 

Tam giác OAB vuông cân, diện tích tam giác OAB bằng 2

1/2 OA^2 = 2

OA = OB = 2

AB = √(2^2 +2^2) = 2√2

h = R = AB/2 = √2

Suy ra Sxq = 2√2π

Bài 2: Hình nón có đường sinh l = 2a và hợp với góc đáy bằng 60 độ. Hình nón có diện tích toàn phần bằng bao nhiêu?

  1. 4πa^2
  2. 3πa^2
  3. 2πa^2
  4. πa^2

Theo giả thiết:

SA = 1 = 2a vào góc SAO = 60 độ

Suy ra: R = OA = SA.cos60 = a

Stp = πRl + πR^2 = 3πa^2

Bài 3: Tính diện tích xung quanh của một hình nón, biết rằng hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a√2, góc có đỉnh bằng 60 độ.

  1. 4πa^2
  2. 3πa^2
  3. 2πa^2
  4. πa^2

Theo giả thiết:

OA = a√2 vào góc OSA = 30 độ

Suy ra, độ dài đường sinh là:

L = SA = OA/sin30 = 2a√2

Vậy diện tích xung quanh bằng:

Sxq = πRl = 4πa^2

Bài 4: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = a√3. Tam giác ABC quay quanh trục AB sẽ tạo ra một hình nón. Tính đường sinh l của hình nón đó.

  1. 1 = a
  2. 1 = a√2
  3. 1 = a√3
  4. 1 = 2a

Từ giả thiết ta có hình nón có đỉnh B, tâm đường tròn đáy là A, bán kính đáy là AC = a√3 và chiều cao hình nón là AB = a

Suy ra độ dài đường sinh của hình nón là:

1 = BC = √(AB^2 + AC ^2) = 2a

Bài 5: Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120 độ. Tính Stp của hình nón.

  1. π(3 + √3)
  2. 2πa^2(3 + √3)
  3. 6πa^2
  4. πa^2(3 + 2√3)

Ta đặt: Đỉnh S, tâm của đáy là O, thiết diện qua trục là SAB. Theo giả thiết, ta có SA = 2a và góc ASO = 60 độ.

Vì tam giác SAO vuông tại O nên ta có:

OA = SA.sin60 = a√3

Vậy diện tích toàn phần:

Stp = πRl + πR^2 = πOA.SA + πOA^2 = πa^2(3 + 2√3)

Bài 6: Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Cho một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu, đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho đoạn SH = 3a/2. Đường sinh l của hình nón dài bao nhiêu?

  1. 1 = a
  2. 1 = a√2
  3. 1 = a√3
  4. 1 = 2a

Gọi điểm đối xứng của S qua tâm O là S’, điểm bất kỳ trên đường tròn đáy của hình nón là A.

Tam giác SAS’ có góc SAS’ bằng 90 độ và đường cao AH nên: SA^2 = SH.SS’

Suy ra SA = a√3

Bài 7: Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Cho hình chóp nội tiếp hình nón, có đỉnh S và đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Tính tan của nửa góc ở đỉnh của hình nón.

  1. (h√2)/2a
  2. (a√2)/2h
  3. (a√2)/h
  4. (h√2)/a

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc ASO, hình vuông ABCD cạnh a.

Suy ra OA = (a√2)/2

tanASO = OA/SO = (a√2)/2h

Bài 8:

Đặt một hình nón vào một hình lập phương (cạnh của hình lập phương bằng 1) (hình 93). Tính:

  1. a) Bán kính đáy của hình nón.
  2. b) Độ dài đường sinh.

Khái niệm hình cầu

Bài tập hình cầu

Bài tập hình trụ

Vậy là đã kết thúc chuỗi bài tập hình nón rồi, các em học sinh đã nhớ được hết công thức của hình nón và làm bài tập nhuần nhuyễn chưa nhỉ? HOCMAI mong rằng các em không ngừng nỗ lực trong học tập để không phụ lòng bố mẹ và thầy cô nhé. Để tham khảo thêm kiến thức bổ ích, các em có thể truy cập hoctot.hocmai.vn

Source: https://vietjack.com/toan-lop-12/hinh-non-khoi-non.jsp

Article post on: edu.dinhthienbao.com

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *



Close