Bài tập liên quan đến công thức diện tích, thể tích mặt nón hình nón khối nón có đáp án chi tiết

Bài tập liên quan tới công thức diện tích, thể tích mặt nón hình nón khối nón sở hữu đáp án

Dưới đây là bài tập trắc nghiệm liên quan tới công thức diện tích và thể tích của những hình nón sở hữu đáp án chi tiết

Bài tập 1: Diện tích xung quanh hình nón sở hữu bán kính đáy R = 3, chiều cao h = 4 bằng

A. 12$pi $ B. $6pi $ C. $15pi $ D. $9pi $

Lời giải chi tiết

Độ dài đường sinh $l=sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}=sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$

Vậy diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=pi Rl=15pi $. Chọn C

Bài tập 2: Cho hình nón (N) sở hữu bán kính đáy bằng 4, diện tích xung quanh bằng 20$pi $. Thể tích khối nón đã cho bằng

A. $4pi $ B. $8pi $ C. $20pi $ D. $16pi $

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, ta sở hữu $left{ begin{array}  {} R=4   {} {{S}_{xq}}=20pi   end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} R=4   {} pi Rl=20pi   end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} R=4   {} l=5 end{array} right.$

Lại sở hữu: ${{l}^{2}}={{h}^{2}}+{{R}^{2}}to h=sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}=3}$

Vậy thể tích khối nón (N) là ${{V}_{left( N right)}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{pi }{3}{{.4}^{2}}.3=16pi $

Chọn D

Bài tập 3: Cho hình nón (N) sở hữu diện tích xung quanh bằng $2pi $, diện tích toàn phần bằng $3pi $. Thể tích khối nón đã cho bằng

A. $frac{sqrt{3}}{3}pi $ B. $frac{sqrt{3}}{6}pi $ C. $frac{sqrt{6}}{6}pi $              D. $frac{sqrt{3}}{2}pi $

Lời giải chi tiết

Diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=pi Rl=2pi leftrightarrow Rl=2$

Diện tích toàn phần hình nón là ${{S}_{tp}}=pi Rl+pi {{R}^{2}}=3pi leftrightarrow Rl+{{R}^{2}}=3$

Do đó $left{ begin{array}  {} Rl=2   {} Rl+{{R}^{2}}=3 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} {{R}^{2}}=1   {} Rl=2 end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}  {} R=1   {} l=2 end{array} right.to h=sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón (N) là ${{V}_{left( N right)}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{pi }{3}{{.1}^{2}}.sqrt{3}=frac{sqrt{3}}{3}pi $

Chọn A

 

Bài tập 4: Cho hình nón (N) sở hữu góc ở đỉnh bằng 60°, độ dài đường sinh bằng 4. Thể tích khối nón đã cho bằng

A. $frac{4sqrt{3}pi }{3}$ B. $frac{8sqrt{3}pi }{3}$ C. $2sqrt{3}pi $              D. $frac{sqrt{3}pi }{2}$

Lời giải chi tiết

Vì góc ở đỉnh của hình nón bằng 60° $l=2R=4Rightarrow R=2$

Ta sở hữu ${{h}^{2}}+{{R}^{2}}={{l}^{2}}Rightarrow h=sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=sqrt{{{4}^{2}}-{{2}^{2}}}=2sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón đã cho là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{.2}^{2}}.2sqrt{3}=frac{8sqrt{3}pi }{3}$.

Chọn B.

 

Bài tập 5:  Trong ko gian, cho tam giác AC vuông tại A, AB = a và AC = a$sqrt{3}$. Độ dài đường sinh l của hình nón nhận được lúc quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng

A. $l=a$ B. $l=asqrt{2}$ C. $l=asqrt{3}$ D. $l=2a$

Lời giải chi tiết

Kỹ năng vẽ hìnhTam giác quay quanh cạnh nào thì cạnh đó là trục, động thời chính là chiều cao của hình nón 

Quay tam giác ABC xung quanh trục AB, ta được hình nón sở hữu chiều cao h = AB = a, bán kính đáy $R=AC=asqrt{3}$ (hình vẽ bên)

Do đó, độ dài đường sinh là $l=sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=2a$.

Chọn D.

 

Bài tập 6: Trong ko gian, cho tam giác ABC vuông tại A, góc ABC = 60°, BC = 4a. Thể tích khối nón nhận được lúc quay tam giác ABC xung quanh trục AC bằng

A. $frac{4sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$ B. $frac{8sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$ C. $frac{8sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{9}$              D. $frac{4sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{9}$

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A, sở hữu $sin Ahat{B}C=frac{AC}{BC}Rightarrow AC=2asqrt{3}$

Và $AB=sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=sqrt{{{left( 4a right)}^{2}}-{{left( 2asqrt{3} right)}^{2}}}=2a$

Quay tam giác ABC xung quanh trục AC, ta được hình nón sở hữu chiều cao $h=AC=2asqrt{3}$, bán kính đáy $R=AB=2a$ (hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối nón cần tìm là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{8sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn B

Bài tập 7: Trong ko gian, cho tam giác ABC đều cạnh 2a. Gọi H là trung điểm của BC. Thể tích của khối nón nhận được lúc quay tam giác ABC xung quanh trục AH bằng

A. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{9}$ B. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{2}$ C. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$              D. $frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{6}$

Lời giải chi tiết

Quay tam giác ABC quanh trục AH, ta được hình nón sở hữu chiều cao $h=AH=asqrt{3}$, bán kính đáy $R=BH=frac{BC}{2}=a$(hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{sqrt{3}pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn C

Bài tập 8: Trong ko gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3a, BC = 5a. Thể tích khối tròn xoay nhận được lúc quay tam giác ABC xung quanh trục BC bằng

A. $frac{36pi {{a}^{3}}}{5}$ B. $frac{48pi {{a}^{3}}}{25}$ C. $frac{16pi {{a}^{3}}}{5}$              D. $frac{48pi {{a}^{3}}}{5}$

Lời giải chi tiết

 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

Tam giác ABC vuông tại A, sở hữu $AC=sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=4a$

Suy ra $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}=frac{1}{{{left( 3a right)}^{2}}}+frac{1}{{{left( 4a right)}^{2}}}Rightarrow AH=frac{12a}{5}$

Quay tam giác ABC quanh trục BC, ta được hai hình nón sở hữu chiều cao tuần tự là ${{h}_{1}}=BH,{{h}_{2}}=CH$ và bán kính đáy R = AH (hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$

$=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}{{h}_{1}}+frac{1}{3}pi {{R}^{2}}{{h}_{2}}=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} right)=frac{1}{3}pi .A{{H}^{2}}.BC=frac{48pi {{a}^{3}}}{5}$

Chọn D. 

Bài tập 9: Trong ko gian, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Thể tích khối tròn xoay nhận được lúc quay hình thang ABCD xung quanh trục AD bằng

A. $frac{7pi {{a}^{3}}}{3}$ B. $frac{5pi {{a}^{3}}}{3}$ C. $frac{4pi {{a}^{3}}}{3}$              D. $frac{8pi {{a}^{3}}}{3}$

Lời giải chi tiết

Quay hình thang ABCD quanh trục AD, ta được khối nón cụt sở hữu hai bán kính đáy tuần tự là ${{R}_{1}}=AB,{{R}_{2}}=CD$và chiều cao h = AD

Công thức tính thể tích nón cụt $$ được phát triển từ công thức thể tích tổng quát của khối sở hữu hai đáy song song

Vậy thể tích cần tính là $V=frac{1}{3}pi a.left[ {{a}^{2}}+{{left( 2a right)}^{2}}+a.2a right]=frac{7pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn A.

Bài tập 10: Trong ko gian, cho hình thang ABCD sở hữu AB//CD và AB = AD = BC =a, CD = 2a. Thể tích khối tròn xoay nhận được lúc quay hình thang ABCD xung quanh trục AB bằng

A. $frac{5pi {{a}^{3}}}{3}$ B. $pi {{a}^{3}}$ C. $frac{5pi {{a}^{3}}}{4}$              D. $frac{5pi {{a}^{3}}}{2}$

Lời giải chi tiết

Thể tích khối tròn xoay lúc quay hình thang ABCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay sở hữu thể tích V tạo bởi hai khối:

l        Khối trụ tròn xoay sở hữu chiều cao h = CD = MN =2a và bán kính đường tròn đáy $R=DN=sqrt{D{{A}^{2}}-N{{A}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{2}$( như hình vẽ bên ).

l        Thể tích khối trụ trên trừ đi thể tích 2.Vcủa hai khối nón sở hữu chiều cao ${{h}_{2}}=frac{a}{2}$và bán kính đường tròn đáy $R=DN=frac{asqrt{3}}{2}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}-2.{{V}_{2}}=pi .2a.frac{3{{a}^{2}}}{4}-frac{2}{3}.pi .frac{a}{2}.frac{3{{a}^{2}}}{4}=frac{5}{4}pi {{a}^{3}}$

Chọn C

Bài tập 11: Người thợ gia công của một hạ tầng chất lượng cao X cắt một miêng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ đó quấn và hàn ba mồm tôn đó để được ba loại phễu hình nón. Thể tích của mỗi loại phễu bằng

A. $frac{8sqrt{2}pi }{3}$lít B. $frac{16sqrt{2}pi }{3}$lít C. $frac{1600sqrt{2}pi }{3}$lít              D. $frac{32sqrt{2}pi }{3}$lít

Lời giải chi tiết

Lúc quấn hình quạt để tạo thành một hình nón, ta được

l        Đường sinh hình nón bằng bán kính hình quạt $l=R=60cm$

l        Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung hình quạt $C=2pi r=frac{1}{3}.2pi .60Rightarrow r=20$

Do đó, chiều cao của hình nón là $h=sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=sqrt{{{60}^{2}}-{{20}^{2}}}=40sqrt{2}cm$

Vậy thể tích của mỗi loại phễu là $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{.20}^{2}}.40sqrt{2}=frac{1600sqrt{2}pi }{3}c{{m}^{2}}=frac{16sqrt{2}pi }{3}$lít.

Chọn B.

Bài tập 12: Với một miếng tôn hình tam giác đều ABC cạnh 3 dm (như hình vẽ).

Gọi K là trung điểm của BC. Người ta sử dụng compa sở hữu tâm là A và bán kính AK vạch ra cung tròn MN (M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB và AC) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó. Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho cạnh AM và AN' trùng nhau thành một loại phếu hình nón ko đáy với đỉnh A. Tính thể tích V của loại phễu.

A. $V=frac{sqrt{141}.pi }{64}d{{m}^{3}}$ B. $V=frac{sqrt{105}.pi }{64}d{{m}^{3}}$ C. $V=frac{3sqrt{3}.pi }{32}d{{m}^{3}}$              D. $V=frac{3pi }{64}d{{m}^{3}}$

Lời giải chi tiết

Độ dài đường sinh của phễu là ${{l}_{N}}=AM=AK=frac{3sqrt{3}}{2}$

Độ dài cung MN là $ell =frac{60}{360}.2pi .AK=frac{1}{3}pi .frac{3sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}pi }{2}left( dm right)$

Bán kính đáy của phễu là $r=frac{ell }{2pi }=frac{sqrt{3}}{4}$ suy ra $V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}.sqrt{ell _{N}^{2}-{{r}^{2}}}=frac{sqrt{105}pi }{64}left( d{{m}^{3}} right)$

 Chọn B.

Bài tập 13: Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính AB = AD = 4 dm (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (lúc đó AB trùng với AD). Chiều cao của chiếc phễu sở hữu số đo sắp đúng (làm tròn tới 3 chữ số thập phân) là

A. 3,872 dm B. 3,874 dm C. 3,871 dm D. 3,873 dm

Lời giải chi tiết

Chu vi của đáy hình nón sở hữu độ dài bằng cung BD.

Độ dài cung BDlà: $l=frac{1}{4}.left( 2pi .4 right)=2pi $. Suy ra bán kính đường tròn đáy hình nón là : $r=frac{2pi }{2pi }=1$

Độ dài đường sinh của hình nón là $ell =4dmRightarrow h=sqrt{{{ell }^{2}}-{{r}^{2}}}=3,873dm$.

Chọn D.

Bài tập 14: Từ một tấm kim loại dẻo hình quạt (như hình vẽ) sở hữu bán kính R= 13 và chu vi hình quạt là $P=12pi $, người ta gò tấm kim loại đó thành những chiếc phễu hình nón theo hai cách:

Cách 1: Gò tấm kim loại ban sơ thành mặt xung quanh của một loại phễu.

Cách 2: Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai loại phễu.

Gọi V1 là thể tích của loại phễu ở cách 1, V2 là tổng thể tích của  hai loại phễu ở cách 2. Tính tỉ số $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$

A. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{sqrt{133}}{sqrt{160}}$ B. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{2sqrt{133}}{sqrt{160}}$              C. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{2sqrt{160}}{sqrt{133}}$              D. $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{sqrt{5}}{2}$

Lời giải chi tiết

Theo cách Một ta sở hữu: Độ dài đường sinh của hình nón là: $ell =13$, chu vi đáy $r=frac{12pi }{2pi }=6$

Lúc đó thể tích của chiếc phễu là: ${{V}_{1}}=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}sqrt{{{ell }^{2}}-{{h}^{2}}}=12pi sqrt{133}$

Theo cách Hai ta sở hữu: Độ dài đường sinh của hình nón là: $ell =13$, chu vi đáy mỗi phễu là: $r=frac{6pi }{2pi r}Rightarrow r=3$

Lúc đó tổng thể tích của hai chiếc phễu là: ${{V}_{2}}=frac{2}{3}pi {{r}^{2}}sqrt{{{ell }^{2}}-{{h}^{2}}}=24pi sqrt{10}$

Quy ra $frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=frac{sqrt{133}}{2sqrt{10}}=frac{2sqrt{133}}{sqrt{160}}$

Chọn D.

Bài tập 15: Một loại phễu sở hữu hình dáng nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng $frac{1}{3}$ chiều cao của phễu. Hỏi nêu bịt kín mồm phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 cm

A. 0,5 cm B. 0,3 cm C. 0,188 cm D. 0,216 cm

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của phễu là R, chiều cao của phễu là h = l5 em

Vì chiều cao nước trong phễu ban sơ bằng $frac{1}{3}h$

Suy ra bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là $frac{1}{3}R$

Thể tích phễu và thể tích nước tuần tự là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=5pi {{R}^{2}},{{V}_{1}}=frac{1}{3}pi {{left( frac{R}{3} right)}^{2}}.frac{h}{3}=frac{5}{27}pi {{R}^{2}}$

Do đó, thể tích phần khối nón ko chứa nước là ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=5pi {{R}^{2}}-frac{5}{27}pi {{R}^{2}}=frac{130}{27}pi {{R}^{2}}Rightarrow frac{{{V}_{2}}}{V}=frac{26}{27}$

Gọi h’ và r tuần tự là chiều cao và bán kính đáy của khối nón ko chứa nước

$frac{h'}{h}=frac{r}{R}Rightarrow frac{{{V}_{2}}}{V}=frac{h{{'}^{3}}}{{{h}^{3}}}=frac{h{{'}^{3}}}{{{15}^{3}}}=frac{26}{27}to h'=5sqrt[3]{26}$

Vậy chiều cao cần tính là ${{h}_{o}}=h-h'=15-5sqrt[3]{26}=0,188cm$

Chọn C.

Bài tập 16: Bạn Hùng sở hữu một tấm bìa hình tròn như vẽ bên dưới, Hùng muốn biến hình tròn đó thành một loại phễu hình nón. Lúc đó bạn Hùng phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ ko đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt sử dụng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu to nhất?

A. $frac{2sqrt{3}pi }{3}$ B. $frac{2sqrt{6}pi }{3}$ C. $frac{sqrt{3}pi }{2}$              D. $frac{sqrt{3}pi }{6}$

Lời giải chi tiết

Gọi R, h tuần tự là bán kính đáy, chiều cao của hình nón

Thể tích khối nón là $V=frac{1}{3}pi {{R}^{2}}h=frac{pi }{3}{{R}^{2}}.sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}$

Ta sở hữu: ${{R}^{4}}left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)=4.frac{{{R}^{2}}}{2}.frac{{{R}^{2}}}{2}.left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)le 4.frac{{{left( frac{{{R}^{2}}}{2}+frac{{{R}^{2}}}{2}+{{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)}^{3}}}{27}=frac{4{{l}^{6}}}{27}$

Do đó ${{R}^{2}}.left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} right)le sqrt{frac{4{{l}^{6}}}{27}}=frac{2sqrt{3}{{l}^{3}}}{9}Rightarrow Vle frac{2sqrt{3}pi {{l}^{3}}}{27}$

Dấu bằng xảy ra lúc$frac{{{R}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{R}^{2}}Leftrightarrow {{l}^{2}}=frac{3}{2}{{R}^{2}}Leftrightarrow l=frac{Rsqrt{6}}{2}$                            (1)

Hình nón nhận được là sở hữu đường sinh l = OA, chu vi đáy là độ dài cung AB

Vì $x=widehat{AOB}Rightarrow $độ dài cung $AB=OAtimes x=lxRightarrow 2pi R=lxRightarrow x=frac{2pi R}{l}$            (2)

Từ (1), (2) suy ra $x=2pi .frac{R}{l}=2pi .frac{2}{sqrt{6}}=frac{2sqrt{6}pi }{3}$.

Chọn B.

Bài tập 17: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, kí hiệu A là đường thắng vuông góc với AB tại B. Trên nửa đường tròn lấy điểm E di động, tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E và cắt tia đối của tia AB tại D và cắt ∆ tại C (như hình vẽ dưới). Lúc quay tam giác BCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay sở hữu thể tích nhỏ nhất là ?

A. $frac{8pi {{R}^{3}}}{27}$ B. $frac{8sqrt{3}pi {{R}^{3}}}{9}$ C. $frac{8pi {{R}^{3}}}{3}$              D. $frac{8pi {{R}^{3}}}{9}$.

Lời giải chi tiết

Tam giác OBC vuông tại B, sở hữu $tan widehat{BOC}=frac{BC}{BO}Rightarrow BC=R.tan alpha $

Ta sở hữu $widehat{BCD}=2left( {{90}^{o}}-alpha  right)Rightarrow BD=BC.tan left( {{180}^{o}}-2alpha  right)=-BC.tan 2alpha $.

Lúc quay tam giác BCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay sở hữu thể tích là

$V=frac{1}{3}pi {{r}^{2}}h-frac{pi }{3}.B{{C}^{2}}.BD=-frac{pi }{3}.B{{C}^{2}}.tan 2alpha =frac{2pi }{3}.{{R}^{3}}.frac{{{tan }^{4}}alpha }{{{tan }^{2}}alpha -1}ge frac{8pi {{R}^{3}}}{3}$

Vì ${{tan }^{4}}alpha ge 4left( {{tan }^{2}}alpha -Một right)Leftrightarrow {{left( {{tan }^{2}}alpha -Hai right)}^{2}}ge 0;forall alpha in left( {{45}^{o}};{{90}^{o}} right)$. Vậy ${{V}_{min }}=frac{8pi {{R}^{3}}}{3}$

Chọn C.

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *