Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số-Chinh phục giải tích 12

Mục tiêu bài học Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Sau lúc học xong những bài học này, những bạn nhỏ cần nắm được những tri thức, kĩ năng sau:

  • Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số: tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
  • Biết cách phân loại những dạng đồ thị hàm số.
  • Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của những hàm số bậc ba.
  • Biết cách phân loại những dạng đồ thị những hàm số trên.

Lý thuyết cần nắm bài Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Sau đây là những lý thuyết trọng tâm nhất được soạn, giúp những bạn nắm vững bài học và tạo nền tảng giúp bé ứng dụng giải những bài tập:

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên

  • Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm;

+ Tìm những điểm tại đó đạo hàm bằng  0 hoặc ko xác định;

+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

  • Tìm điểm cực trị.
  • Tìm những giới hạn tại vô cực, những giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu với).
  • Lập bảng biến thiên.

3. Dựa vào bảng biến thiên và những yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Chú ý: 

  • Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
  • Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc thù là tọa độ những giao điểm của đồ thị với những trục.
  • Nên lưu ý tới tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chuẩn xác.

II. Khảo sát một số hàm đơn thức và phân thức

1. Hàm số bậc ba  y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y=x3+3x2−4

Giải

(1) Tập xác định: D=R

 (2) Sự biến thiên

  • Chiều biến thiên

Trên những khoảng (−∞;−2) và (0;+∞) ,  y′ dương nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng (−2;0) âm nên hàm số nghịch biến.

  • Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x=−2; yCD=y(−2)=0

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; yCT=y(0)=−4

  • Những giới hạn tại vô cực
  • Bảng biến thiên

(3) Đồ thị

Ta với:  x3+3x2−4=0⇔ x=−2; x=1

Vậy (−2;0)  và (1;0)  là những giao điểm của đồ thị với trục Ox.

Vì y(0)=−4 nên  (−4;0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.

Chú ý: Đồ thị hàm số đã cho với tâm đối xứng là điểm I(−1;−2) . Hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình y′′=0

III. Sự tương giao giữa những đồ thị

1. Giao điểm của hai đồ thị

  • Giả sử hàm số y=f(x) với đồ thị là  C1 và hàm số  y=g(x) với đồ thị là  C2
  • Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là ta giải phương trình f(x)=g(x)
  • Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị.

2. Sự xúc tiếp của hai đường cong

  • Giả sử hàm số  y=f(x) với đồ thị là C1  và hàm số  y=g(x) với đồ thị là  C2
  • Hai đường cong  C1 và C2 xúc tiếp nhau lúc và chỉ lúc hệ phương trình:

với nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

Những bạn với thể tham khảo video hướng dẫn bài học dưới đây!

Hướng dẫn giải bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Phần bài tập trong sách giáo khoa rất sát với lý thuyết nên những bạn phấn đấu hoàn thành hết nhé!

Bài Một trang 43 sách giáo khoa giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số bậc ba sau:

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định: R

Sự biến thiên:

Trên những khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ âm nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng (-1; 1), y’ dương nên hàm số đồng biến.

Cực trị:

Hàm đạt cực đại tại x =1 ; y = y (1) = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1-;  yCT = y(-1) = 0.

Những giới hạn tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Vậy (-1; 0) và (2; 0) là những giao điểm của đồ thị với trục Ox.

y(0) = Hai nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

b) Tập xác định: R.

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: y’ =  + 8x+4

Cực trị

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Vậy, (0; 0) và (-2; 0) là những giao điểm của đồ thị với trục Ox.

y(0) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Toạ độ một số điểm: (-3; -3); (-1; -1).

c) TXĐ : R

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Vậy, hàm số đồng biến trên R

Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

Những giới hạn tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Vậy, (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Ox.

y(0) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Đồ thị với tâm đối xứng là điểm với hoành độ là nghiệm của phương trình: y” = 0

Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12)

Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số bậc bốn sau:

Lời giải:

a) Hàm số y = -x4 + 8x2 – 1.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = -4x3 + 16x = -4x(x2 – 4)

y’ = 0 ⇔ -4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2

Trên những khoảng (-2; 0) và (2; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = Hai và x = -2 ; yCĐ = 15

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)4 + 8(-x)2 – 1 = -x4 + 8x2 – 1 = y(x)

⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; 10).

b) Hàm số y = x4 – 2x2 + 2.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1)

y’ = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên những khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

Đồ thị hàm số với hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số với điểm cực đại là: (0; 2)

3) Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).

+ Đồ thị hàm số:

c) Hàm số 

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ y’ = 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1)

y’ = 0 ⇔ 2x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên những khoảng (-∞; 0).

Đồ thị hàm số với điểm cực đại là: (0; -3/2).

3) Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục tung tại điểm 

d) Hàm số y = -2x2 – x4 + 3.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = -4x – 4x3 = -4x(1 + x2)

y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x2) = 0 ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên những khoảng (0; +∞).

Đồ thị hàm số với điểm cực đại là: (0; 3).

3) Đồ thị:

+ Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3).

Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị những hàm số phân thức:

Lời giải:

a) Hàm số 

1) Tập xác định: D = R {1}

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ x = Một là tiệm cận đứng.

⇒ y = Một là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -3)

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Đồ thị nhận (1; 1) là tâm đối xứng.

b) Hàm số

1) Tập xác định: D = R {2}

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ x = Hai là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = -Một là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -1/4)

+ Giao với Ox: (1/2; 0)

+ Đồ thị hàm số nhận (2; -1) là tâm đối xứng.

số 

Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12)

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của những phương trình sau:

a) x3 – 3x2 + 5 = 0 ;

b) -2x3 + 3x2 – 2 = 0 ;

c) 2x2 – x4 = -1

Lời giải:

a) Xét y = f(x) = x3 – 3x2 + 5 = 0 (1)

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2)

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại Một điểm duy nhất.

⇒ phương trình x3 – 3x2 + 5 = 0 chỉ với Một nghiệm duy nhất.

b) Xét hàm số y = f(x) = -2x3 + 3x2 – 2.

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = -6x2 + 6x = -6x(x – 1)

y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại Một điểm duy nhất

⇒ phương trình f(x) = 0 với nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình -2x3 + 3x2 – 2 = 0 chỉ với một nghiệm.

Lời kết

Bài học khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số đã khép lại tại đây. Kỳ vọng với bài giảng chi tiết, dễ hiểu trên, những bạn đã nắm vững được tri thức và ứng dụng được linh hoạt trong tình huống thực tế. Ngoài ra, những bạn với thể truy cập vào trang web Toppy. Với nhóm giảng viên tâm huyết, nhiệt tình, Toppy luôn sẵn sàng viện trợ lúc con gặp bất kì khó khăn nào trong học tập. Chúc những bạn luôn học tập tốt!

  • Tổng hợp lý thuyết về hàm số
  • Hàm số y = ax + b – Tổng hợp lý thuyết và những dạng bài liên quan
  • Hàm số – Hướng dẫn giải bài tập
  • Tri thức về những tập hợp số – Những dạng bài tập cơ bản 

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *