Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay giúp bạn giải những bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác:
Bài 2.Một trang 46 Sách bài tập Hình học 12: Một hình nón tròn xoay sở hữu đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và sở hữu góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng α
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.
b) Gọi I là một điểm trên phố cao DO của hình nón sao cho . Tính diện tích tiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.
Lời giải:
a) Gọi r là bán kính của đường tròn đáy.
Ta sở hữu OA = r = l.cosα (với O là tâm của đường tròn đáy và A là một điểm trên phố tròn đó).
Ta suy ra: Sxq = πrl = πl2cosα
Khối nón sở hữu chiều cao h = DO = lsinα. Do đó thể tích V của khối nón được tính theo công thức
Vậy :
b) Tiết diện qua I và vuông góc với trục hình nón là một hình tròn bán kính r’
với
Gọi s là diện tích của tiết diện và S là diện tích của đáy hình tròn ta sở hữu:
trong đó S = πr2 = πl2cos2α
Vậy diện tích của tiết diện đi qua điểm I và vuông góc với trục hình nón là: s = k2S = k2πl2cos2α
Bài 2.Hai trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Một hình nón tròn xoay sở hữu tiết diện qua trục là một tam giác vuông cân sở hữu cạnh bằng a.
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón đó.
b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Tính diện tích tiết diện được tạo nên.
Lời giải:
a) Tiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân cạnh a nên hình nón sở hữu đường sinh l = a,
sở hữu bán kính đáy
và sở hữu chiều cao
Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình nón, ta sở hữu:
Gọi S là diện tích đáy của hình nón, ta sở hữu
Vậy diện tích toàn phần của hình nón đã cho là:
Hình nón sở hữu thể tích là:
b) Xét mặt phẳng (DAM) đi qua đỉnh D tạo với mặt phẳng đáy một góc 600, cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và M. Từ tâm O của đường tròn đáy ta vẽ OH ⊥ AM, do vậy H là trung điểm của đoạn AM. Ta sở hữu AM ⊥ (DOH) vì AM ⊥ OH và AM ⊥ DO.
Vậy ∠DHO = 60o và
hay
Gọi SΔ DAM là diện tích tiết diện cần tìm, ta sở hữu: SΔ DAM = AH.DH
Mà
Vậy
Bài 2.3 trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều sở hữu những cạnh bên bằng a và sở hữu góc giữa những mặt bên và mặt phẳng đáy là α. Hình nón đỉnh S sở hữu đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình nón đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α .
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của cạnh BC và O là tâm của tam giác đều ABC. Theo giả thiết ta sở hữu SA = SB = SC = a và ∠SIO = α. Đặt OI = r, SO = h, ta sở hữu AO = 2r và
Do đó a2 = r2tan2α + 4r2 = r2(tan2α + 4)
Vậy
Hình nón nội tiếp sở hữu đường sinh là :
Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC là:
Bài 2.4 trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD sở hữu chiều cao SO = h và góc ∠SAB = α (α > 450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và sở hữu đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.
Lời giải:
Gọi r là bán kính đáy của hình nón ta sở hữu OA = r, SO = h và SA = SB = SC = SD = l là đường sinh của hình nón.
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta sở hữu:
(2) ⇒ r = √2lcosα
(1) ⇒ l2 = h2 + 2l2cos2α
⇒ h2 = l2(1 − 2cos2α)
Do đó
Bài 2.5 trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Chứng minh rằng trong một khối nón tròn xoay, góc ở đỉnh là góc to nhất trong số những góc được tạo nên bởi hai đường sinh của khối nón đó.
Lời giải:
Xét hai đường sinh SA , SB tùy ý của hình nón. Vẽ đường kính AC của đường tròn đáy. Ta sở hữu góc ASC là góc ở đỉnh của hình nón. Hai tam giác ASC và ASB sở hữu hai cặp cạnh bằng nhau vì chúng cùng là đường sinh của hình nón.
Ta sở hữu cạnh AC ≥ AB nên ∠ASC ≥ ∠ASB. Đó là điều cần chứng minh.
Bài 2.6 trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Cho khối nón sở hữu bán kính đáy r = 12 cm và sở hữu góc ở đỉnh là α = 120o. Hãy tính diện tích của tiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
Lời giải:
Theo giả thiết ta sở hữu góc ở đỉnh của hình nón là ∠ASB = α = 120o. Gọi O là tâm của đường tròn đáy. Ta sở hữu: ∠ASO = 60o.
và
với l là độ dài đường sinh của hình nón.
Vậy
Lúc sở hữu hai đường sinh vuông góc với nhau ta sở hữu tam giác vuông sở hữu diện tích là l2/2. Do đó, diện tích của tiết diện là:
Bài 2.7 trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Cho mặt phẳng (P). Gọi A là một điểm nằm trên (P) và B là một điểm nằm ngoài (P) sao cho hình chiếu H của B trên (P) ko trùng với A. Một điểm M chạy trên mặt phẳng (P) sao cho góc ∠ABM = ∠BMH. Chứng minh rằng điểm M xoành xoạch nằm trên một mặt trụ xoay sở hữu trục là AB.
Lời giải:
Giải sử ta sở hữu điểm M thuộc mặt phẳng (P) thỏa mãn những điều kiện của giả thiết đã cho. Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Hai tam giác vuông BIM và MHB bằng nhau vì sở hữu cạnh huyền chung và một cặp góc nhọn bằng nhau. Do đó MI = BH ko đổi. Vậy điểm M xoành xoạch nằm trên mặt trụ trục AB và sở hữu bán kính bằng BH.
Bài 2.8 trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Cho mặt trụ xoay(ℑ) và một điểm S nhất thiết nằm ngoài (ℑ) . Một đường thẳng d thay đổi xoành xoạch đi qua S cắt (ℑ) tại A và B. Chứng minh rằng trung điểm I của đoạn thẳng AB xoành xoạch nằm trên một mặt trụ xác định.
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với trục của mặt trụ (ℑ). Mặt phẳng (P) cắt (ℑ) theo một đường tròn tâm O. Ta hãy xét một vị trí của đường thẳng d. Gọi A, B là giao điểm của d với (ℑ) và I là trung điểm của đoạn AB. Chiếu A, B, I theo phương vuông góc với mặt phẳng (P) ta được những điểm theo thứ tự là A’ , B’ , I’ thẳng hàng với S, trong đó A’, B’ nằm trên phố tròn tâm O trong mặt phẳng (P) và I’ là trung điểm của đoạn A’B’. Do đó điểm I’ xoành xoạch nằm trên phố tròn đường kính SO trong mặt phẳng (P) và đường thẳng II’ vuông góc với (P). Ta suy ra đường thẳng II’ nằm trên mặt trụ (ℑ′) chứa đường tròn đường kính SO nằm trong (P) và sở hữu trục song song với trục của mặt trụ (ℑ) .
Tất nhiên, điểm I chỉ nằm trong phần mặt trụ (ℑ′) thuộc miền trong của mặt trụ (ℑ)
Bài 2.9 trang 47 Sách bài tập Hình học 12: Một khối trụ sở hữu bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng r√3.
Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30o.
a) Tính diện tích của tiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
b) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
Lời giải:
a) Từ A và B dựng những đường sinh AA’ và BB’ ta sở hữu tiết diện qua AB và song song với trục là hình chữ nhật AA’BB’. Góc giữa AB và trục chính là góc ∠ABB′ . Do đó ∠ABB′ = 30o. Vậy
Do đó diện tích tứ giác AA’BB’ là SAA′BB′ = AB′. BB′ = r.r√3 = r2√3
b) Góc giữa hai bán kính đáy OA và O’B là ∠AOB′ và ∠A′O′B
Vì AB’ = r nên AOB’ là tam giác đều , do đó ∠AOB′=60o
c) Mặt phẳng (ABB’) chứa AB và song song với trục OO’ của hình trụ. Gọi H là trung điểm của AB’. Ta sở hữu OH ⊥(ABB′). Đường thẳng qua H song song với OO’ cắt AB tại I. Dựng IK // HO cắt OO’ tại K. Ta chứng minh được IK là đoạn vuông góc chung của AB và OO’.
Ta sở hữu: IK = HO =
Bài 2.10 trang 48 Sách bài tập Hình học 12: Một hình trụ sở hữu những đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và sở hữu đường cao h = r√2. Gọi A là một điểm trên phố tròn tâm O và B là một điểm trên phố tròn tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng những mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này.
b) Gọi (α) là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’ và mặt phẳng (α).
c) Chứng minh rằng (α) xúc tiếp với mặt trụ trục OO’ sở hữu bán kính bằng dọc theo một đường sinh.
Lời giải:
a) Vì trục OO’ vuông góc với những đáy nên OO′ ⊥ OA; OO′ ⊥ O′B. Vậy những tam giác AOO’ và BO’O vuông tại O và O’.
Theo giả thiết ta sở hữu AO ⊥ O′B mà AO ⊥ OO′ ⇒ AO ⊥ (OO′B). Do đó, AO ⊥ OB nên tam giác AOB vuông tại O. Tương tự, ta chứng minh được tam giác AO’B vuông tại O’. Thể tích hình chóp OABO’ là:
Hay
b) Ta sở hữu (α) là (ABB’). Vì OO’ // (α) nên khoảng cách giữa OO’ và (α) bằng khoảng cách từ O tới (α). Dựng OH ⊥ AB′ ta sở hữu OH ⊥ (α).
Vậy khoảng cách cần tìm là
c) Đường tròn tâm O sở hữu bán kính bằng xúc tiếp với AB’ tại H là trung điểm của AB’. Do đó mặt phẳng (α) song song với trục OO’ chứa tiếp tuyến của đường tròn đáy, nên (α) xúc tiếp với mặt trụ dọc theo một đường sinh, với mặt trụ sở hữu trục OO’ và sở hữu bán kính đáy bằng .
Bài 2.11 trang 48 Sách bài tập Hình học 12: Một hình trụ sở hữu bán kính đáy bằng 50 cm và sở hữu chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
b) Một đoạn thẳng sở hữu chiều dài 100 cm và sở hữu hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó tới trục hình trụ.
Lời giải:
a) Ta sở hữu công thức Sxq = 2πrl với r = 50 cm , l = 50 cm.
Do đó Sxq = 2π.50.50 = π.5000(cm2) và V = πr2h = 125000.π(cm3)
b) Giả sử đoạn thẳng AB sở hữu điểm mút A nằm trên phố tròn đáy tâm O’ . Theo giả thiết ta sở hữu: AB = 100 cm. Giả sử IK là đoạn vuông góc chung của trục OO’ và đoạn AB với I thuộc OO’ và K thuộc AB. Chiếu vuông góc đoạn AB xuống mặt phẳng đáy chứa đường tròn tâm O’ , ta sở hữu A’ , H , B tuần tự là hình chiếu của A, K, B.
Vì KI ⊥ OO′ nên IK // mp(O’BA’) , do đó O’H // IK và O’H = IK.
Ta suy ra O′H ⊥ AB và O′H ⊥ AA′. Vậy O′H ⊥ A′B
Xét tam giác vuông AA’B ta sở hữu
Vậy
Bài 2.12 trang 48 Sách bài tập Hình học 12: Hình chóp tam giác đều S.ABC sở hữu SA = SB = SC = a và sở hữu góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng α. Tính diện tích xung quanh của hình trụ sở hữu đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và sở hữu chiều cao bằng chiều cao của hình chóp. Những mặt bên SAB , SBC , SCA cắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?
Lời giải:
Theo giả thiết ta sở hữu tam giác đáy ABC là tam giác đều.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC và O là tâm của tam giác đều ABC. Theo giả thiết ta sở hữu SA = a. Đặt OI = r , SO = h , ta sở hữu AO = 2r và ∠SIA = α.
Do đó
Vậy a2 = r2tan2α + 4r2 = r2(tan2α + 4)
Ta suy ra
Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình trụ ta sở hữu công thức Sxq = 2πrl trong đó
và
Vậy
Những mặt bên SAB, SBC , SCA là những phần của ba mặt phẳng ko song song với trục và cũng ko vuông góc với trục nên chúng cắt mặt phẳng xung quanh của hình trụ theo những cung elip. Những cung này sở hữu hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) tạo nên đường tròn đáy của hình trụ.
Nghi vấn và bài tập chương 2:
– Thế nào là một mặt tròn xoay? Tìm trong thực tế một ví dụ về mặt tròn xoay.
– Khái niệm hình nón, hình trụ. Trong thực tế một ví dụ về hình nón, hình trụ
Lời giải:
– Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Lúc quay mặt phẳng (P) xung quanh trục Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay gọi là mặt trụ tròn xoay và được gọi tắt là mặt trụ.
– Hình trụ là hình giới bạn bởi mặt trụ và hai đường tròn bằng nhau, là giao tuyến của mặt trụ và Hai mặt phẳng vuông góc với trục.
Hình trụ là hình tròn xoay lúc sinh bởi bốn cạnh của hình một hình chữ nhật lúc quay xung quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó.
– Lúc quay một tam giác vuông góc AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA nhất thiết thì được một hình nón.
+ Cạnh OC tạo nên đáy của hình nón, là một hình nón tâm O.
+ Cạnh AC quét lên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của nó được gọi là một đường sinh, chẳng hạn AD là một đường sinh .
+ A là đỉnh và AO là đường cao của hình nón.