1. Lý thuyết nhị thức niu tơn
1.1. Định lý triển khai nhị thức niu tơn
Trong chương trình toán giải tích lớp 11 đã học, triển khai nhị thức niu tơn(ngắn gọn là định lý nhị thức) là một định lý toán học về việc triển khai hàm mũ của tổng. Định lý triển khai một nhị thức bậc n thành một đa thức mang n+Một số hạng:
$left ( a+b right )^{n}=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$
Sở hữu $left ( C_{k}^{n} right )$ là số tổ hợp chập k của n phần tử ($0leqslant kleqslant n$). Ta mang định lý, số những tổ hợp chập k của n phần tử đã cho như sau:
$left ( C_{k}^{n} right )=frac{n!}{(n-k)!k!}=frac{(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}$
1.2. Công thức nhị thức niu tơn
1.2.1. Định lý
Với $forall nepsilon N^{*}$ với cặp số (a,b) ta mang:
1.2.2. Hệ quả
$left (1+xright)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+x^{n}C_{n}^{x}$
2. Những dạng toán nhị thức niu tơn
2.1. Cách tìm hệ số trong triển khai và tìm số hạng trong triển khai
Với dạng toán này, những em hãy sử dụng số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) của triển khai. Tiếp theo biến đổi để tách riêng phần biến và phần hệ số, sau đó kết hợp đề bài để xác định chỉ số k. Lưu ý số hạng gồm hệ số + phần biến.
2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cách tìm hệ số trong triển khai
VD1: Hệ số của $x^{31}$ trong triển khai $left ( x+frac{1}{x^{2}} right )^{40}$ là bao nhiêu?
Lời giải:
$left ( x+frac{1}{x^{2}} right )^{40}=sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{k}left ( frac{1}{x^{2}} right )^{40-k}=sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}$
Hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^{k}$ với k thỏa mãn điều kiện 3k - 80 = 31 ⇔ k=37
Vậy hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^{37}$ = 9880
VD2: Hệ số của $x^{3}$ trong triển khai nhị thức niu tơn $left ( x^{2}+frac{2}{x} right )^{12}$ là bao nhiêu?
Lời giải:
Ứng dụng công thức triển khai niu tơn ta mang:
2.1.2. Ví dụ về cách tìm số hạng trong triển khai
VD1: Tìm số hạng ko mang x trong triển khai của nhị thức sau: $left ( x+frac{1}{x} right )^{12}$ với $xneq 0$
Lời giải:
Số hạng tổng quát trong triển khai $left ( x+frac{1}{x} right )^{12}$ là $C_{12}^{k}x^{12-k}frac{1}{x}^{k}=C_{12}^{k}x^{12-2k}$
Số hạng ko mang x ứng với k thỏa mãn 12 - 2k = 0 ⇔ k=6
VD2: Số hạng ko chứa x trong triển khai: $left ( x-frac{2}{sqrt{x}} right )^{n}$ biết $A_{2}^{n}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6$
Lời giải:
VD3: Tìm số hạng chứa $x^{frac{10}{3}}$ trong triển khai của nhị thức niu tơn của $left ( xsqrt[3]{x}-frac{2}{x^{2}} right )^{10}$
Lời giải:
Ứng dụng công thức triển khai niu tơn ta mang:
2.2. Rút gọn đẳng thức, chứng minh biểu thức
Phương pháp:
Nhận xét bài toán từ đó chọn hàm số thích hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thường ta hay sử dụng những hàm cơ bản $left ( x+Một right )^{n},left ( 1+x right )^{n},left ( 1-x right )^{n},left ( x-Một right )^{n}$.
Triển khai nhị thức vừa tìm được và sử dụng những phép biến đổi đại số, giải tích để mang được dạng thích hợp với đề bài.
Chọn trị giá của x cho thích hợp để mang được biểu thức như để bài Thông thưởng ta chọn x là những số Một hay -1 (cũng mang thể $pm 2,pm 3$...).
Vậy ta mang được tổng hay mệnh đề cần được chứng minh.
2.2.1. Ví dụ về rút gọn đẳng thức
VD1: Tính tổng: $S=C_{3030}^{0}-2C_{3030}^{1}+2^{2}C_{3030}^{2}-2^{3}C_{3030}^{3}+...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$
Lời giải:
Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11 với a = 1, b= -Hai ta được:
$left(1-2right)^{3030}=C_{3030}^{0}1^{3030}-2C_{3030}^{1}1^{3029}+2^{2}C_{3030}^{2}1^{3028}-2^{3}C_{3030}^{3}1^{3027}+...+3^{3030}C_{3030}^{3030}$
VD2: Rút gọn biểu thức sau:
A= $2.1C_{n}^{2}-3.2C_{n}^{3}+...+n(n-1)(-1)C_{n}^{n}$
Lời giải:
2.2.2. Ví dụ chứng minh biểu thức
VD1: Chứng minh rằng: $C_{2001}^{0}+3^{2}C_{2001}^{2}+...+3^{2000}C_{2001}^{2000}=2^{2000}(2^{2001}-1)$
Lời giải:
$left ( 1+x right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}$
Cho n = 2001 và x = 3 ta được:
$4^{2021}=C_{2021}^{0}+3C_{2021}^{1}+...+3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (1)
Cho n = 2001 và x = -3 ta được:
$-2^{2021}=C_{2021}^{0}-3C_{2021}^{1}+...-3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (2)
(1) + (2) vế theo vế ta được:
$frac{1}{2}left ( 4^{2021}-2^{2021}right )=2^{2000}left ( 2^{2021}-Một right )=C_{2021}^{0}+3^{2}C_{2021}^{2}+...+3^{2000}C_{2021}^{2000}$
Điều phải chứng minh
VD2: Chứng minh rằng:
$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...=2^{n-1}$
Lời giải:
2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh hợp tổ hợp
Đối với dạng bài này, những em sử dụng những công thức tính số hoán vị, tổ hợp chỉnh hợp để biến đổi phương trình sau đó rà soát điều kiện của nghiệm và kết luận.
VD1: Tìm n biết $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15$
Lời giải:
Điều kiện $ngeqslant 2$
- $C_{n}^{1}=frac{n!}{1!(n-1)!}=frac{n}{1!}=n$
- $C_{n}^{2}=frac{n!}{2!(n-2)!}=frac{n(n-1)}{2!}=frac{n^{2}-n}{2}$
Giả thiết tương đương với:
$n+frac{n(n-1)}{2}=15Leftrightarrow n^{2}+n-30=0Leftrightarrow n=5$ hoặc $n=-6$ (loại)
VD2: Cho triển khai $left ( 1+2x right )^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$. Tìm số nguyên dương n biết $a_{0}+8a_{1}=2a_{2}=1$.
Lời giải:
Ứng dụng công thức triển khai niu tơn ta mang:
VD3: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: $C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n}=2^{2015}$
Lời giải:
Đặt:
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và những dạng bài tập của hệ thức nhị thức niu tơn. Để đạt được kết quả cao những em nên làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Kỳ vọng với bài viết này, những em học trò mang thể giải những bài tập từ cơ bản tới tăng thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần tri thức lớp 12 phục vụ ôn thi THPT QG, những em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!