21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học mang lời giải
Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Thầy giáo VietJack)
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận vecto làm vecto pháp tuyến
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(xo; yo; zo) và mang vecto pháp tuyến (A;B;C) ≠ 0→ :
A.(x- xo) + B( y- yo)+C( z- zo) =0
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; -1) và mang vecto pháp tuyến n→(2;3;4)
A. y – z + 1 = 0 B. 2x + y - z- 3= 0
C. 2x + 3y + 4z +1= 0 D. 2x- 3y - 4z - 1 = 0
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0;1; -1) và mang vecto pháp tuyến (2;3;4) mang phương trình là:
2( x- 0) + 3( y – 1) + 4( z + 1) = 0
Hay 2x + 3y + 4z + 1 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến n→(2;-3;1)
A. 2x - 3y+ z + 2 = 0 B. 2x - 3y + z + 3=0
C. 2x - 3y+ z = 0 D. 2x – 3y + z - 3= 0
Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
+ Mặt phẳng đi qua điểm M( 2; 1; 2) và mang vecto pháp tuyến mang phương trình là:
2( x – 2) -3( y- 1)+ 1( z – 2 ) = 0
Hay 2x -3y + z - 3= 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( - 2; 3; -1) và C( 0; 2; 1), gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G và vecto pháp tuyến n→(2;1;1)
A. 2x+ y+ z- 3= 0 B. 2x+ y- z+ 3=0
C. 2x+ z- 3= 0 D. 2x+ y- z- 6= 0
Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:
+ Mặt phẳng đi qua điểm G(0; 2; 1) và mang vecto pháp tuyến (2;1;1) mang phương trình là:
2( x- 0) + 1( y - 2) + 1.( z - 1) = 0
Hay 2x+ y+ z – 3= 0
Chọn A.
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) và song song với một mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz + D= 0.
1. Phương pháp giải
Cách 1:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→(A;B;C)
Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là (A;B;C)
Phương trình mặt phẳng (α):
A(x- xo) + B. (y – yo) + C( z- zo) = 0
Cách 2:
Mặt phẳng (α ) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) mang dạng:
Ax+ By + Cz + D’= 0
với D' ≠ D
Vì mặt phẳng (α) đi qua điểm M (xo; yo; zo) nên thay tọa độ điểm M vào
tìm đươc D’
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0.
A. x + 2y – 3z - 3= 0 B. x - 2y+ 3z + 5 = 0
C. x+ 2y - 3z +3 = 0 D. – x+ 2y + 10 = 0
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1;2-3) .
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( -1; 2; 0) và mang vecto pháp tuyến (1;2-3) nên mang phương trình:
1( x+1) + 2(y- 2) – 3( z- 0) = 0 hay x+ 2y – 3z – 3 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(0; -2;1) và B( 2; 0; 3). Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng Q: 2x + 5y +z - 10 =0
A. 2x+ 5y + z+ 2= 0 B. 2x+ 5y + z+ 3= 0
C. 2x+ 5y + z - 4= 0 D. 2x+ 5y + z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) mang vecto pháp tuyến (2;5;1)
Phương trình mặt phẳng (P) mang vecto pháp tuyến (2;5;1) và đi qua điểm M (1; -1; 2) là:
2( x- 1) + 5( y+ 1) + 1(z- 2) = 0 hay 2x + 5y + z + 1= 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong ko gian Oxyz, cho những điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4), D( -1; 2; -3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)
A. x+ y – z - 4= 0 B. x+ y +z+ 2= 0 C.x - y+ z+ 6= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
Ta mang:
Gọi là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta mang nên n→ cùng phương với [AB→, AC→]
Chọn (1;1;1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) mang vecto pháp tuyến (1;1;1)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (-1; 2; -3) và mang vecto pháp tuyến (1;1;1) là:
1( x+ 1) + 1( y – 2) + 1( z+ 3) = 0 hay x+ y + z + 2= 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong ko gian Oxyz, cho những điểm A (-2;1;3), B(1; 2; 4), C(2; -1;3), D(0; 0; -1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng (ABC)
A. x+ 2y+ z- 2= 0 B. x- 2y- 5z- 5= 0 C. x+ 2y- 5z- 9= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
Ta mang:
Gọi là một VTPT của mặt phẳng (ABC) ta mang nên n→ cùng phương với
Chọn (1;2;-5) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)
Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) mang VTPT (1; 2; -5).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua D (0; 0; -1) và mang vecto pháp tuyến là:
1. (x – 0)+ 2( y – 0) - 5( z+ 1) =0 hay x+ 2y – 5z – 5 = 0
Chọn D.
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C ko thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương
1. Phương pháp giải
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C ko thẳng hàng.
1. Tìm tọa độ những vecto ,
2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là = [, ]
3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua Một điểm và mang vecto pháp tuyến = [, ]
Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) mang dạng là:
x/a + y/b + z/c = Một với a.b.c ≠ 0.
Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Lúc đó (P) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto , làm vecto chỉ phương
1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): = [, ]
2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)
A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0 B. 9x+ y- 3z – 7= 0
C. 9x- y- 3z- 11=0 D. 9x- y+ 3z- 10= 0
Hướng dẫn giải:
Gọi là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta mang nên n→ cùng phương với [AB→, AC→]
Chọn ( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là
9.( x – 1)+1.(y + 2) - 3( z - 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5; 4; 3) và cắt những tia Ox, Oy, Oz tại những điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
A. x+ y+ z - 12 = 0 B. x- y- z + 2= 0
C. x- y+ z – 4= 0 D. x+ y- z – 6= 0
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng (P) cắt những tia Ox, Oy, Oz tại những điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1
Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta mang:
Lúc đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = Một hay x+ y + z – 12 = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD mang phương trình là:
A. x+ 4y+ z- 27= 0 B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0
C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta mang: nên n→ cùng phương với [AB→, CD→].
Chọn = (10;9;5)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) mang vecto pháp tuyến n→ và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:
10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0
Chọn B.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai vecto (1;2;3) và (-2;1;0) làm vecto chỉ phương?
A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0 B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0
C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0 D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
Ta mang hai vecto (1;2;3) và (-2;1;0) là vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: n→ = [u→,v→] = (- 3; - 6; 5)
Mặt phẳng (P) nhận làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M( 2; -1; 2 ) nên phương trình mặt phẳng ( P) là:
-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0
Chọn B.
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và mặt phẳng (P) nhận vecto ( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?
A. 2x- 7y- 4z- 9= 0 B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0
C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0 D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0
Hướng dẫn giải:
+ Ta mang: AB→(0; 4; -7)
+ Lại mang mặt phẳng ( P) nhận vecto ( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương nên một vecto pháp tuyến của mp( P) là: = [;] = (-4; 14; 8)= -2( 2; -7; -4)
2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0
Chọn A.
Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (xo; yo; zo) và mang vecto pháp tuyến (A:B:C) là:
A(x – xo) + B( y – yo) + C(z- zo ) = 0
+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :
• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( vận dụng công thức trung điểm của đoạn thẳng).
• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận làm vecto pháp tuyến
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB?
A. 3x + 2y - z+ 6= 0 B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0
C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0 D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.
+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:
+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến mang phương trình là:
3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1). Gọi M là trung điểm của AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?
A. 2x + y +z+ 3= 0 B. 2x + y - z+ 3= 0
C. 2x – y – z - 3 = 0 D. 2x – y + z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OM.
+ Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là:
+ Mặt phẳng ( P) qua I và vecto pháp tuyến (2;-1;-1) mang phương trình là:
2.(x-1) - 1.(y+1/2) - 1.(z+1/2) = 0 hay 2x – y – z – 3= 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A( 1; 2; 0) và I( -2; 1; 1)
A. x + y- z+ 1= 0 B. 3x+ y- z+ 6= 0
C. 3x- y+ z- 1= 0 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB .
Phương trình mặt phẳng (P):
3( x+ 2) + 1( y-1) – 1(z- 1) = 0 hay 3x+ y – z+ 6= 0
Chọn B.
Dạng 5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(a; 0; 0) ; B( 0; b; 0) , C(0;0; c) với abc ≠ 0 mang phương trình: x/a + y/b + z/c = 1
+ Phương trình mặt phẳng mang dạng: x/a + y/b + z/c = Một cắt ba trục Ox; Oy;Oz tuần tự tại những điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x - y+ 2z - 4= 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn?
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ( P) cắt những trục tọa độ Ox; Oy; Oz tuần tự tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0) và C(0; 0; 2)
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong ko gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2; -1) và cắt những trục Ox; Oy; Oz tuần tự tại những điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Lúc đó mặt phẳng (P) mang phương trình:
A. 2x - y+ 2z + 3 = 0 B. 2x – y - 2z – 6 =0
C. 2x + y - 2z + 9 = 0 D. 2x+ y + 3z - 9 =0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , lúc đó mặt phẳng (P) phương trình mang dạng:
Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong ko gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm H(2; 1;1) và cắt những trục Ox, Oy, Oz tuần tự tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) mang phương trình là:
A. 2x+ y + z - 6= 0 B. 2x + y + z+ 6 = 0
C. 2x – y + z +6 = 0 D. 2x+ y - z + 6 = 0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , lúc đó mặt phẳng ( P) phương trình mang dạng:
Ta mang:
Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên
Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1
hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong ko gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 1; 1) và cắt chiều dương những trục Ox, Oy, Oz tuần tự tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao cho tứ diện OABC mang thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) mang phương trình là:
A. x – y - z- 3 = 0 B. x+ y+ z+ 3= 0
C. x+ y+ z - 3 = 0 D. x+ y – z+ 3 = 0
Hướng dẫn giải:
Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta mang: 1/a + 1/b + 1/c = 1.
Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c
Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :
⇔ a = b = c = 3
(P): x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0
Chọn C
Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
1. Phương pháp giải
+ Đường thẳng d: nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ phương.
Đường thẳng : nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ phương.
+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau:
Tìm vecto chỉ phương của d là
Vì d ⊥ (α) nên (α) mang vecto pháp tuyến là =
Vận dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua Một điểm và mang Một vecto pháp tuyến
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d:
A. 2x – z = 0 B. –y+ 2z= 0 C. x- y+ 2z= 0 D. x + z = 0
Hướng dẫn giải:
+Đường thẳng d mang vecto chỉ phương (2;0;-1)
+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) mang một vecto pháp tuyến là:
→= (2; 0; -1)
+ Lúc đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và mang vecto pháp tuyến là:
2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1) và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
A. 2x+ y – z - 3= 0 B. x+ 2y - 2z + 2 = 0
C. -2x + y + z - 4 = 0 D. x + y + z + 2 = 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng BC mang vecto chỉ phương = = (-2; 1;1).
Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) mang vecto pháp tuyến là = = (-2; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -Hai x + y+ z – 4= 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3; 0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc với đường thẳng (d): ?
A. 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0 B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0
C. 2x+ y+ 3z - 8=0 D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0
Hướng dẫn giải:
+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
+ Đường thẳng d mang vecto chỉ phương là: (2; 1; 3)
+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) mang VTPT là (2;1;3)
Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1); B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông góc với đường thẳng (d) : ?
A. 2x - 3y+ z- 10= 0 B. 3x- 4y+ z - 1= 0
C. 3x+ 4y - z + 3= 0 D. 4x- 3y+ 2z - 10= 0
Hướng dẫn giải:
+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:
+ Đường thẳng d mang vecto chỉ phương là: (3;-4;1)
.
+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) mang vecto pháp tuyến là : (3;-4;1)
Hay 3x – 4y + z- 1= 0
Chọn B.
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (β) .
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là
• Tìm vecto chỉ phương của Δ là
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là
• Lấy một điểm M trên Δ
• Vận dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và mang VTPT nα→
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10 = 0
A. x+ z = 0 B. x+ y +1= 0 C. y - z + 1= 0 D. x – y + 2z= 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và mang vecto chỉ phương (-1;2;1)
Mặt phẳng (Q) mang vecto pháp tuyến = (1;2;-1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vuông góc với (Q) nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
=[ , ]= ( - 4; 0; -4) = - 4(1; 0; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và mang VTPT (1; 0; 1) là:
1( x + 1) + 0( y - 2) + 1( z - 1) = 0 hay x+ z = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong ko gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z – 98= 0 mang phương trình là
A. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0 B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0
C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0 D.5x - 8y- 6z – 5 = 0
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng ∆ mang vecto chỉ phương là (2;2; -1) và đi qua điểm A( -1; 1; -3).
+ Mặt phẳng (α) mang vecto pháp tuyến là: ( 2; -1; 3)
+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) mang một vecto pháp tuyến là n→=[u∆→ ,nα→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)
Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong ko gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2; -1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng α mang phương trình là
A. x – 3y – 5z + 5 = 0 B. 3x - 4y – 5z = 0.
C. 3x - 4y – 5z – 2= 0 D. 3x+ 4y – 5z = 0
Hướng dẫn giải:
Ta mang đường thẳng AB nhận (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phương
Mặt phẳng (α) mang vecto pháp tuyến (2 ; -1 ; 2)
+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) mang một VTPT là n→ = [AB→ , nα→ ] = (-3; 4; 5) và đi qua A(3; 1; 1)
+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:
-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0
Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0
Chọn B.
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ'; (Δ; Δ' chéo nhau).
1. Phương pháp giải
Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là ;
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là = [, ]
Lấy Một điểm M trên phố thẳng ∆
Vận dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và mang Một vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0 B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0
C. 6x+ y- 2z+ 1= 0 D. 6x- y- 2z+ 4= 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và mang vecto chỉ phương u1→(0;-2;1)
Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) mang vecto chỉ phương u2→(1;2;2)
Ta mang: [u1→,u2→] = ( - 6; 1; 2)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta mang: nên → cùng phương với [u1→,u2→] . Chọn n→ ( -6; 1; 2)
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n→ (-6; 1; 2) mang phương trình là:
- 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z - 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy ko thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Mặt phẳng α chứa ∆1 và song song với đường thẳng ∆2 mang phương trình là
A. x+ 4y + 2z + 2 = 0 B. 3x – 2y + 2z – 6 = 0
C. 3x – 2y + 2z + 6 = 0 D. x+ 4y+ 2z - 2 = 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M (0; 1; -2) và mang vecto chỉ phương u1→ (2; 1; -2)
Đường thẳng d_2 đi qua điểm N (0; 0; 2) mang vecto chỉ phương u2→ (2; 2; -1)
Ta mang: [u1→, u2→] = (3; -2; 2)
Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta mang nên n→ cùng phương với [u1→, u2→] .Chọn n→ ( 3; -2; 2)
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (0; 1; -2) và nhận VTPT n→ ( 3; -2; 2) mang phương trình là:
3( x- 0) – 2( y – 1) + 2( z+ 2) = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( thấy ko thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 3x - 2y + 2z + 6 = 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng .Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’
A. x+ 3y - 2z - 24= 0 B. x+ 3y+ 2z - 24=0
C. x - 3y+ 2z + 12= 0 D. x - 3y - 2z - 1= 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và mang vecto chỉ phương u1→ (2; 0; -1)
Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) mang vecto chỉ phương u2→ (1; 1; -1)
Ta mang: [u1→, u2→] = (1; 3; 2)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta mang nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]. Chọn n→(1;3;2) .
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n→(1;3;2) mang phương trình là:
1( x -1) + 3( y -5) + 2( z- 4) = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0
Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy ko thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 3y + 2z – 24= 0.
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD mang phương trình là:
A. 10x+ 9y + 5z - 74= 0 B. 10x – 9y – 5z+ 2= 0
C. 10x - 9y + 5z + 56= 0 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta mang nên n→ cùng phương với [AB→, CD→] . Chọn n→ (10; 9; 5)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) mang VTPT n→ (10; 9; 5) và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:
10. (x – 5) + 9( y- 1)+ 5( z- 3) =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0
Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy ko thỏa mãn.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0
Chọn A.
Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm M ko thuộc d
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ . Lấy Một điểm N trên d, tính tọa độ vecto MN→
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u→, MN→]
• Vận dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua Một điểm và mang vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0 B. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0
C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0 D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và mang vecto chỉ phương u→(2;1; 2); AN→( - 5; 4; -2)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
n→ = [u→; AN→] = ( - 10; -6; 13) = - (10; 6; -13)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và chứa trục hoành mang phương trình là:
A. y= 0 B. y= 2 C. z= 2 D. x= 0
Hướng dẫn giải:
Trục hoành đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và mang vecto chỉ phương u→(1; 0; 0) ; OA→(0; 0; 2)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
n→ = [u→; OA→] = (0; -2; 0) = -2 (0; 1;0)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 0) + 1( y-0) + 0(z - 2) = 0 hay y = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua A( 1; 2; 3) và chứa đường thẳng d: Phương trình mặt phẳng (P) mang dạng 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a+ b+ c?
A. - 1 B. 3 C. 2 D. 5
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d đi qua điểm N(1; -1; -1) và mang vecto chỉ phương u→(2; 1; 3); AN→(0; -3; -4)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
n→ = [u→;AN→] = ( 5; 8; -6)
Phương trình mặt phẳng (P) là: 5( x- 1)+ 8( y-2) – 6( z- 3) = 0 hay 5x+ 8y- 6z – 3= 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; 1); B( 1; -2; 0) và C(2; 1; 2). Phương trình mặt phẳng ( P) mang dạng : 5x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?
A. 10 B. – 8 C. 6 D.12
Hướng dẫn giải:
+ Ta mang: AB→ (0; -4; -1); BC→ ( 1; 3; 2)
+ Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A; B và C nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
n→ = [AB→, BC→] = (- 5; -1; 4) = - ( 5; 1; -4)
5(x- 1) +1( y- 2) – 4( z- 1) = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0
Chọn D.
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Hai đường thẳng cắt nhau d và d’
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; u2→]
• Lấy Một điểm M trên d
• Vận dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua Một điểm và mang vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
mang phương trình là
A. (P): x+ y- z+ 2= 0 B. (P) : x- y- z+ 2= 0
C. (P) : x- z+ 2= 0 D. Ko tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M(-2; -1; 1) và mang vecto chỉ phương (2; 1; 1)
Đường thẳng d2 đi qua điểm N(-1; 0; 1) và mang vecto chỉ phương (1; -1; 2)
Ta mang: [,] = ( 3; -3; -3); (1; 1;0)
Do . [,] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
= [,] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
1( x+ 2) – 1( y+ 1) - 1( z- 1) = 0 hay x- y - z + 2= 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng mang dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?
A. 10 B. -11 C. 11 D. 8
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 12) và mang vecto chỉ phương (1; -1; -3)
Đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 2; 3) và mang vecto chỉ phương (-1; 2; 0)
Ta mang: [, ]= ( 6; 3; 1); ( 0; 3; -9)
Do . [, ] = 0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
= [, ] = (6; 3; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
6( x- 1)+ 3( y – 2) + 1( z- 3) =0 hay 6x + 3y + z – 15= 0
Chọn B
Ví dụ 3: Trong ko gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mang dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?. Gọi mặt phẳng (P) chứa d1 và d2. Tính khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) tới mặt phẳng (P)?
mang dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M(0; -2; 3) và mang vecto chỉ phương (2; 1; 3)
Đường thẳng d2 đi qua điểm N(2; -3; 3) và mang vecto chỉ phương (2; -1; 0)
Ta mang: [, ] =( 3; 6; -4); MN→ ( 2; -1; 0)
Do .[, ] = 3.2+ 6.(-1) + (-4). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
= [, ] = ( 3; 6; -4)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
3( x-0) + 6( y+2) – 4( z-3) = 0 hay 3x+ 6y – 4z+ 24= 0
Khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) tới mặt phẳng (P) là:
Chọn D.
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa Hai đường thẳng song song d và d’
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→;u2→ lấy M thuộc d; N thuộc d’
• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; MN→]
• Vận dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua Một điểm và mang Một vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
A. 6x+ 3y+ z-10= 0 B. 6x+ 3y+ z- 15 = 0
C. 6x- 3y+ z- 14= 0 D . Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -1;12) và mang vecto chỉ phương (1; -1; -3)
Đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2;3) và mang vecto chỉ phương (1; -1; -3)
Ta mang: [,] = (0; 0; 0); MN→(0;3; -9)
Do [,] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
= [,] = (18, 9, 3) = 3( 6; 3; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) mang vecto pháp tuyến (6; 3; 1) và đi qua điểm N (1; 2; 3) là:
6( x – 1)+ 3(y -2) +1(z – 3) = 0 hay 6x + 3y + z - 15 = 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong ko gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và đường thẳng
A. x+ 3x= 0 B. y+ 3z= 0 C. x+ 3y= 0 D. z= 0
Hướng dẫn giải:
Trục Oz đi qua điểm O (0; 0; 0) và mang vecto chỉ phương (0; 0; 1).
Đường thẳng d đi qua điểm N (3; -1;5) và mang vecto chỉ phương ( 0; 0; 2)
Ta mang: [, ] = (0; 0; 0); ON→ = (3; -1; 5)
Do [, ] = (0; 0; 0) nên đường thẳng Oz và d song song.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) mang một vecto pháp tuyến là
= [, ] = (1; 3; 0)
Phương trình mặt phẳng (P) mang VTPT (1; 3; 0) và đi qua điểm O (0; 0; 0) là: x+ 3y = 0
Chọn C.
Ví dụ 3: Trong ko gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1); B( 0; 4; - 2) và chứa đường thẳng d:
A. 7x + y + 3z+ 2= 0 B. 7x - 6y+ z- 10= 0
C. 7x - y + 3z- 16= 0 D. 7x - y + z + 10= 0
Hướng dẫn giải:
+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 0; 1; -1) và mang vecto chỉ phương ( 1; 2; -3).
Vecto (1; 2; -3); (1; -1; -2)
+ Ta mang: [; ] = (0; 0; 0)
Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau.
Mặt phẳng (P) chứa A(-1; 2; 1), nhận vecto = [; ] = ( - 7; -1; -3) = -( 7; 1;3) làm VTPT
7( x+ 1) + 1( y-2) + 3( z- 1)= 0 hay 7x+ y + 3z + 2= 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong ko gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi mặt phẳng (P) chứa d1và d2. Biết mặt phẳng (P) mang phương trình dạng: x+ ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?
A. 8 B. - 5 C. 12 D. -3
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d1 đi qua điểm M( 0;1;2) và mang vecto chỉ phương (2; -3; 1)
Đường thẳng d2 đi qua điểm N( 1;2; 0) và mang vecto chỉ phương (2; -3; 1)
Ta mang: [; ] =(0; 0; 0); MN→ (1; 1; -2)
Do [; ] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên (P) mang VTPT là
= [; ] = (5; 5;5) chọn ( 1; 1; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) là:
1( x- 0) + 1( y- 1) + 1( z-2) = 0 hay x + y + z - 3= 0
Chọn D.
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng tăng - Cô Nguyễn Phương Anh (Thầy giáo VietJack)
- 4 dạng bài tập về Hệ tọa độ trong ko gian trong đề thi Đại học mang lời giải
- 21 dạng Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học mang lời giải (Phần 2)
- 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học mang lời giải
- 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học mang lời giải (phần 2)
- 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học mang lời giải
Nhà băng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán mang đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa mang đáp án chi tiết
- Sắp 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý mang đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh mang đáp án
- Kho trắc nghiệm những môn khác