Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại Một cực hay
Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp đổi biến - Cô Nguyễn Phương Anh (Thầy giáo VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) sở hữu đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử sở hữu thể viết f(x) = g(u(x)) u'(x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên đoạn [α;β]. Lúc đó, ta sở hữu
Tín hiệu nhận diện và cách tính tính phân:
| Tín hiệu | Mang thể đặt | Ví dụ | |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| 5 | |||
| 6 | |||
| 7 | |||
| 8 | |||
| 9 |
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Bài 2: Tính tích phân
Hướng dẫn:
Bài 3: Tính tích phân
Hướng dẫn:
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính tích phân
Bài 2: Tính tích phân
Bài 3: Tính tích phân
Bài 4: Tính tích phân
Bài 5: Tính tích phân
Bài 6: Tính tích phân
Bài 7: Tính tích phân
Bài 8: Tính tích phân
Bài 9: Tính tích phân
Bài 10: Tính tích phân
Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Thầy giáo VietJack)
- Dạng 6: Tính tích phân bằng khái niệm và tính chất
- Trắc nghiệm tính tích phân bằng khái niệm và tính chất
- Dạng 7: Tính tích phân từng phần
- Trắc nghiệm tính tích phân từng phần
- Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1
- Dạng 9: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
- Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
- Dạng 10: Tính tích phân hàm chứa dấu trị giá tuyệt đối
- Trắc nghiệm tính tích phân hàm chứa dấu trị giá tuyệt đối
- Dạng 11: Tính tích phân hàm số hữu tỉ
- Trắc nghiệm tính tích phân hàm số hữu tỉ
- Dạng 12: Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng
- Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng
- Dạng 13: Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay
- Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay
Nhà băng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán sở hữu đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa sở hữu đáp án chi tiết
- Sắp 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý sở hữu đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh sở hữu đáp án
- Kho trắc nghiệm những môn khác
--- Cập nhật: 15-03-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết. từ website tuhoc365.vn cho từ khoá bài tập tích phân đổi biến số sở hữu lời giải.
Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn sở hữu đáp án.
Phương pháp đổi biến số với hàm ẩn
Chú ý tính chất: $intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)}dx=intlimits_{a}^{b}{fleft( t right)}dt=intlimits_{a}^{b}{fleft( u right)}du$ (tích phân ko phụ thuộc vào biến).
Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn sở hữu Lời giải chi tiết
| Bài tập 1: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{0}^{6}{fleft( x right)}dx=12.$ Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dx.$ A. $I=6.$ B. $I=36.$ C. $I=2.$ D. $I=4.$ |
Lời giải chi tiết
Ta sở hữu: $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dx=frac{1}{3}intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dleft( 3x right)xrightarrow{t=3x}frac{1}{3}intlimits_{0}^{6}{fleft( t right)}dt=frac{1}{3}intlimits_{0}^{6}{fleft( x right)}dx=frac{12}{3}=4.$ Chọn D.
| Bài tập 2: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $left[ -1;+infty right)$ và $intlimits_{0}^{3}{fleft( sqrt{x+1} right)}dx=8.$ Tính $I=intlimits_{1}^{2}{x.fleft( x right)}dx$ A. $I=2.$ B. $I=8.$ C. $I=4.$ D. $I=16.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=sqrt{x+1}Rightarrow {{t}^{2}}=x+1Rightarrow 2tdt=dx$ và đổi cận $left{ begin{matrix} x=0Rightarrow t=1 x=3Rightarrow t=2 end{matrix} right..$
Lúc đó $I=intlimits_{0}^{3}{fleft( sqrt{x+1} right)dx=2}intlimits_{1}^{2}{t.fleft( t right)dt=8}Rightarrow intlimits_{1}^{2}{t.fleft( t right)dt=4Rightarrow intlimits_{1}^{2}{x.fleft( x right)dx=4.}}$ Chọn C.
| Bài tập 3: Cho $intlimits_{4}^{9}{frac{fleft( sqrt{x} right)dx}{sqrt{x}}=a}$ và $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dx=b$. Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{3}{fleft( x right)}dx$ theo a và b. A. $I=frac{a}{2}+2b.$ B. $I=2a+b.$ C. $I=2left( a+b right).$ D. $I=frac{a+b}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta sở hữu: $intlimits_{4}^{9}{frac{fleft( sqrt{x} right)dx}{sqrt{x}}=}intlimits_{4}^{9}{2fleft( sqrt{x} right)d}left( sqrt{x} right)xrightarrow{t=sqrt{x}}intlimits_{2}^{3}{2fleft( t right)dt=aRightarrow }intlimits_{2}^{3}{2fleft( t right)dt=frac{a}{2}}$
Do đó $intlimits_{2}^{3}{2fleft( x right)dx=frac{a}{2}}.$
Lại sở hữu: $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dx=frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dleft( 2x right)xrightarrow{u=2x}frac{1}{2}intlimits_{0}^{2}{fleft( u right)}dleft( u right)=frac{1}{2}intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=b$
Do đó $intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=2bRightarrow intlimits_{0}^{3}{fleft( x right)}dx=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx+intlimits_{2}^{3}{fleft( x right)}dx=2b+frac{a}{2}.$ Chọn A.
| Bài tập 4: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right)}.cos 3xdx=1$ và $intlimits_{0}^{ln 2}{{{e}^{x}}.fleft( {{e}^{x}} right)}dx=3.$ Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx.$ A. $I=4.$ B. $I=5.$ C. $I=2.$ D. $I=6.$ |
Lời giải chi tiết
Ta sở hữu: $intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right).cos 3xdx=}frac{1}{3}intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right).dleft( sin 3x right)}xrightarrow{t=sin 3x}frac{1}{3}intlimits_{0}^{1}{fleft( t right).dt=}frac{1}{3}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right).dx=}1$
$Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right).dx=}3$
Lại sở hữu: $intlimits_{0}^{ln 2}{{{e}^{x}}.fleft( {{e}^{x}} right)}dx=intlimits_{0}^{ln 2}{fleft( {{e}^{x}} right)}dleft( {{e}^{x}} right)xrightarrow{u={{e}^{x}}}intlimits_{1}^{2}{fleft( u right)}du=intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)}dx=3$
Do đó $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx+intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)}dx=3+3=6.$ Chọn D.
| Bài tập 5: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{cot xf}left( {{sin }^{2}}x right)dx=intlimits_{1}^{16}{frac{fleft( sqrt{x} right)}{x}}dx=1.$ Tính tích phân $I=intlimits_{frac{1}{8}}^{1}{frac{fleft( 4x right)}{x}}dx.$ A. $I=3.$ B. $I=frac{3}{2}.$ C. $I=2.$ D. $I=frac{5}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
$A=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{cot xf}left( {{sin }^{2}}x right)dx=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{frac{cos x}{sin x}f}left( {{sin }^{2}}x right)dx$
Đặt $t={{sin }^{2}}xRightarrow dt=2sin xcos xdx,$ đổi cận suy ra $A=intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{fleft( t right)}{2t}dt}=1Rightarrow intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=2.$
Mặt khác $B=intlimits_{1}^{16}{frac{fleft( sqrt{x} right)}{x}}dx=1xrightarrow{u=sqrt{x}}intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( u right)}{{{u}^{2}}}}2uduRightarrow B=2intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( u right)}{u}}du=1Rightarrow intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=frac{1}{2}$
Xét $I=intlimits_{frac{1}{8}}^{1}{frac{fleft( 4x right)}{x}}dxxrightarrow{v=4x}I=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( v right)}{frac{v}{4}}}.frac{dv}{4}=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( v right)}{v}}dv=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=A+B=frac{5}{2}.$ Chọn D.
| Bài tập 6: Cho những khẳng định sau: (1). $intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dx=}intlimits_{0}^{1}{sin xdx}.$ (2). $intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dx=}intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin xdx}.$ (3). $intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx=frac{1}{2}}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)cos 2xdx}.$ (4). $intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)dx=}2intlimits_{1}^{2}{x.fleft( {{x}^{2}}+Một right)dx}.$ Số khẳng định đúng là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Ta sở hữu $intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dx=}-intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dleft( 1-x right)}xrightarrow{t=1-x}-intlimits_{1}^{0}{sin tdt=}intlimits_{0}^{1}{sin tdt=}intlimits_{0}^{1}{sin xdx}.$
$intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dx=}2intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dfrac{x}{2}=}2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin udu=}2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin xdx}.$
$frac{1}{2}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)cos 2xdx}=frac{1}{4}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)dleft( sin 2x right)=}frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{fleft( v right)dv=}frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}.$
$2intlimits_{1}^{2}{x.fleft( {{x}^{2}}+Một right)dx}=intlimits_{1}^{2}{fleft( {{x}^{2}}+Một right)dleft( {{x}^{2}}+Một right)}=intlimits_{1}^{5}{fleft( z right)dz}=intlimits_{1}^{5}{fleft( x right)dx}.$
Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.
| Bài tập 7: Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $mathbb{R}$ thỏa mãn $intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)}.dx=a$ và $intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}fleft( x right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=b.$ Tính tích phân $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx$ theo a và b. A. $I=a-b.$ B. $I=a+b.$ C. $I=frac{a}{b}.$ D. $I=a+b-1.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $x=tan tRightarrow dx=frac{1}{{{cos }^{2}}t}dt.$ Đổi cận $left| begin{matrix} x=0Rightarrow t=0 x=1Rightarrow t=frac{pi }{4} end{matrix} right.$
Lúc đó $intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}fleft( x right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{tan }^{2}}t.fleft( tan t right)}{{{tan }^{2}}t+1}.}frac{1}{{{cos }^{2}}t}dt=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}t.fleft( tan t right)dt=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}x.fleft( tan x right)dx=}b$
Suy ra $intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)dx}+intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}x.fleft( tan x right)dx=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left( 1+{{tan }^{2}}x right).fleft( tan x right)dx}$
$=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{fleft( tan x right)dx}{{{cos }^{2}}x}=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)dleft( tan x right)=}intlimits_{0}^{1}{fleft( u right)du=}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}.$
Do đó $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx=a+b.$ Chọn A.
--- Cập nhật: 15-03-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Tính Tích Phân, Nguyên Hàm Bằng Phương Pháp Đổi Biến Số Và Bài Tập Trắc Nghiệm từ website vuihoc.vn cho từ khoá bài tập tích phân đổi biến số sở hữu lời giải.
1. Phương pháp đổi biến số là gì?
Phương pháp đổi biến số là một trong những phương pháp được sử dụng rất nhiều lúc giải bài tập vì lúc sử dụng phương pháp này, việc xử lý bài toán sẽ trở nên thuần tuý hơn.
Một số công thức nguyên hàm được sử dụng lúc đổi biến số:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 2)^{3}$
Giải:
Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=-int_{1}^{0}x(1-x)^{19}dx$
Giải:
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và ví dụ
Để tìm nguyên hàm thông thường người ta sẽ sử dụng Hai phương pháp đổi biến số nguyên hàm sau: phương pháp đổi biến số loại Một và phương pháp biến đổi biến số loại 2.
2.1. Phương pháp đổi biến số loại 1
Để hương nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại Một ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = u(x)
Bước 2: Tính vi phân dt = u'(x)dx
Bước 3: Biểu thị f(x) và d(x) theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
Nếu hàm số:
$int(x)$ sở hữu chứa $sqrt[n]{g(x)}$ đặt $t=sqrt[n]{g(x)} Leftrightarrow t^{n}=g(x) Rightarrow n.t^{n-1}dt=g'(x)dx$
Nếu hàm số:
$int(x)$ sở hữu chứa $(ax+b)^{n}$ đặt $t=ax+b Rightarrow dt= adx$ hoặc $x=frac{t-b}{a}$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:
a) $int frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$
b) $int x^{3} sqrt{x^{2}+9}dx$
Giải:
2.2. Phương pháp đổi biến số loại 2
Để hương nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại Hai ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ x = u(t)
Bước 2: Tìm vi phân dx = u'(t)dx
Bước 3: Biểu thị hàm số f(x) và d(x) theo t và dt.
Giả sử f(x)dx = g(t)dt
Bước 4: Tìm $I = int g(t)dt$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm:
a) $int xe^{x^{2}}dx$
b) $int frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}$
Giải:
3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
3.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng Một ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt t = u(x) đổi cận ta sở hữu:
$x = a Rightarrow t = u(a) = a'$
Hoặc $x = b Rightarrow t = u(b) = b'$
Bước 2: Tìm vi phân dt = u'(x)dx
Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt
Bước 4: Tích phân $int^{b}_{a}f(x)dx=int^{b'}_{a'}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân sau đây:
a) $int^{frac{π}{2}}_{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$
b) $int^{efrac{π}{2}}_{0}frac{cos(Inx)}{x}dx$
Giải:
3.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng Hai ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt x = u(t) đổi cận ta sở hữu:
$x = a Rightarrow t = a'$ hoặc $x = b Rightarrow t = b'$
Bước 2: Tìm vi phân hai vế dx = u'(t)dt
Bước 3: Biến đổi $f(x)dx = f(u)(t)).u'(t)dt = g(t)dx$
Bước 4: Tính tích phân theo công thức $int^{b}_{a}f(x)dx = int^{b'}_{a'}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân: $I = int^{2}_{1}x^{2}sqrt{4-x^{2}}dx$
Giải:
4. Những bài tập về phương pháp đổi biến số hương nguyên hàm, tích phân
Để nắm chắc tri thức, những em hãy tham khảo những bài tập về phương pháp đổi biến số nguyên hàm, tích phân dưới đây nhé!
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $int frac{2sinx}{1+3cosx}dx$
Giải:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $int frac{In^{2}x-1}{xInx}dx$
Giải:
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $int xe^{x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $int frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$
Giải:
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $int frac{x}{(2x+1)^{3}}$
Giải:
Ví dụ 6: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}frac{1}{1+x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 7: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}sqrt{1-x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 8: Tính tích phân của $I=int_{0}^{1}x^{5}(1-x^{3})^{6}dx$
Giải:
Ví dụ 9: Tính tích phân $I=int^{0}_{-1}x^{2}(1-x)^{9}dx$
Giải:
Ví dụ 10: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}(1+3x)(1+2x+3x^{2})^{10}dx$
Giải:
Trên đây là toàn bộ tri thức về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi biến số và những dạng bài thường gặp. Kỳ vọng rằng qua bài viết trên, những em sở hữu thể tự tín làm bài tập lúc sử dụng phương pháp đổi biến số. Để học nhiều hơn tri thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!
- Những dạng tích phân hàm ẩn cơ bản và bài tập vận dụng
- Tích Phân Từng Phần: Phương Pháp Tính, Ví Dụ Và Bài Tập Minh Họa