Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn có đáp án chi tiết.

Bài tập tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn mang đáp án.

Phương pháp đổi biến số với hàm ẩn

Chú ý tính chất: $intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)}dx=intlimits_{a}^{b}{fleft( t right)}dt=intlimits_{a}^{b}{fleft( u right)}du$ (tích phân ko phụ thuộc vào biến).

Bài tập trắc nghiệm tính tích phân đổi biến số với hàm ẩn mang Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta mang: $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dx=frac{1}{3}intlimits_{0}^{2}{fleft( 3x right)}dleft( 3x right)xrightarrow{t=3x}frac{1}{3}intlimits_{0}^{6}{fleft( t right)}dt=frac{1}{3}intlimits_{0}^{6}{fleft( x right)}dx=frac{12}{3}=4.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=sqrt{x+1}Rightarrow {{t}^{2}}=x+1Rightarrow 2tdt=dx$ và đổi cận $left{ begin{matrix}   x=0Rightarrow t=1     x=3Rightarrow t=2  end{matrix} right..$

Lúc đó $I=intlimits_{0}^{3}{fleft( sqrt{x+1} right)dx=2}intlimits_{1}^{2}{t.fleft( t right)dt=8}Rightarrow intlimits_{1}^{2}{t.fleft( t right)dt=4Rightarrow intlimits_{1}^{2}{x.fleft( x right)dx=4.}}$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta mang: $intlimits_{4}^{9}{frac{fleft( sqrt{x} right)dx}{sqrt{x}}=}intlimits_{4}^{9}{2fleft( sqrt{x} right)d}left( sqrt{x} right)xrightarrow{t=sqrt{x}}intlimits_{2}^{3}{2fleft( t right)dt=aRightarrow }intlimits_{2}^{3}{2fleft( t right)dt=frac{a}{2}}$

Do đó $intlimits_{2}^{3}{2fleft( x right)dx=frac{a}{2}}.$

Lại mang: $intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dx=frac{1}{2}intlimits_{0}^{1}{fleft( 2x right)}dleft( 2x right)xrightarrow{u=2x}frac{1}{2}intlimits_{0}^{2}{fleft( u right)}dleft( u right)=frac{1}{2}intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=b$

Do đó $intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=2bRightarrow intlimits_{0}^{3}{fleft( x right)}dx=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx+intlimits_{2}^{3}{fleft( x right)}dx=2b+frac{a}{2}.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta mang: $intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right).cos 3xdx=}frac{1}{3}intlimits_{0}^{frac{pi }{6}}{fleft( sin 3x right).dleft( sin 3x right)}xrightarrow{t=sin 3x}frac{1}{3}intlimits_{0}^{1}{fleft( t right).dt=}frac{1}{3}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right).dx=}1$

$Rightarrow intlimits_{0}^{1}{fleft( x right).dx=}3$

Lại mang: $intlimits_{0}^{ln 2}{{{e}^{x}}.fleft( {{e}^{x}} right)}dx=intlimits_{0}^{ln 2}{fleft( {{e}^{x}} right)}dleft( {{e}^{x}} right)xrightarrow{u={{e}^{x}}}intlimits_{1}^{2}{fleft( u right)}du=intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)}dx=3$

Do đó $I=intlimits_{0}^{2}{fleft( x right)}dx=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx+intlimits_{1}^{2}{fleft( x right)}dx=3+3=6.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

$A=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{cot xf}left( {{sin }^{2}}x right)dx=intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}}{frac{cos x}{sin x}f}left( {{sin }^{2}}x right)dx$

Đặt $t={{sin }^{2}}xRightarrow dt=2sin xcos xdx,$ đổi cận suy ra $A=intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{fleft( t right)}{2t}dt}=1Rightarrow intlimits_{frac{1}{2}}^{1}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=2.$

Mặt khác $B=intlimits_{1}^{16}{frac{fleft( sqrt{x} right)}{x}}dx=1xrightarrow{u=sqrt{x}}intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( u right)}{{{u}^{2}}}}2uduRightarrow B=2intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( u right)}{u}}du=1Rightarrow intlimits_{1}^{4}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=frac{1}{2}$

Xét $I=intlimits_{frac{1}{8}}^{1}{frac{fleft( 4x right)}{x}}dxxrightarrow{v=4x}I=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( v right)}{frac{v}{4}}}.frac{dv}{4}=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( v right)}{v}}dv=intlimits_{frac{1}{2}}^{4}{frac{fleft( x right)}{x}}dx=A+B=frac{5}{2}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta mang $intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dx=}-intlimits_{0}^{1}{sin left( 1-x right)dleft( 1-x right)}xrightarrow{t=1-x}-intlimits_{1}^{0}{sin tdt=}intlimits_{0}^{1}{sin tdt=}intlimits_{0}^{1}{sin xdx}.$

$intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dx=}2intlimits_{0}^{pi }{sin frac{x}{2}dfrac{x}{2}=}2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin udu=}2intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{sin xdx}.$

$frac{1}{2}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)cos 2xdx}=frac{1}{4}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( sin 2x right)dleft( sin 2x right)=}frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{fleft( v right)dv=}frac{1}{4}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}.$

$2intlimits_{1}^{2}{x.fleft( {{x}^{2}}+Một right)dx}=intlimits_{1}^{2}{fleft( {{x}^{2}}+Một right)dleft( {{x}^{2}}+Một right)}=intlimits_{1}^{5}{fleft( z right)dz}=intlimits_{1}^{5}{fleft( x right)dx}.$

Số khẳng định đúng là 2. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $x=tan tRightarrow dx=frac{1}{{{cos }^{2}}t}dt.$ Đổi cận $left| begin{matrix}   x=0Rightarrow t=0     x=1Rightarrow t=frac{pi }{4}  end{matrix} right.$

Lúc đó $intlimits_{0}^{1}{frac{{{x}^{2}}fleft( x right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{{{tan }^{2}}t.fleft( tan t right)}{{{tan }^{2}}t+1}.}frac{1}{{{cos }^{2}}t}dt=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}t.fleft( tan t right)dt=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}x.fleft( tan x right)dx=}b$

Suy ra $intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)dx}+intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{{{tan }^{2}}x.fleft( tan x right)dx=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{left( 1+{{tan }^{2}}x right).fleft( tan x right)dx}$

$=intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{fleft( tan x right)dx}{{{cos }^{2}}x}=}intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{fleft( tan x right)dleft( tan x right)=}intlimits_{0}^{1}{fleft( u right)du=}intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)dx}.$

Do đó $I=intlimits_{0}^{1}{fleft( x right)}dx=a+b.$ Chọn A.