1. Phương pháp đổi biến số là gì?
Phương pháp đổi biến số là một trong những phương pháp được sử dụng rất nhiều lúc giải bài tập vì lúc sử dụng phương pháp này, việc xử lý bài toán sẽ trở nên thuần tuý hơn.
Một số công thức nguyên hàm được sử dụng lúc đổi biến số:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 2)^{3}$
Giải:
Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=-int_{1}^{0}x(1-x)^{19}dx$
Giải:
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và ví dụ
Để tìm nguyên hàm thông thường người ta sẽ sử dụng Hai phương pháp đổi biến số nguyên hàm sau: phương pháp đổi biến số loại Một và phương pháp biến đổi biến số loại 2.
2.1. Phương pháp đổi biến số loại 1
Để hương nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại Một ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = u(x)
Bước 2: Tính vi phân dt = u'(x)dx
Bước 3: Biểu thị f(x) và d(x) theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
Nếu hàm số:
$int(x)$ mang chứa $sqrt[n]{g(x)}$ đặt $t=sqrt[n]{g(x)} Leftrightarrow t^{n}=g(x) Rightarrow n.t^{n-1}dt=g'(x)dx$
Nếu hàm số:
$int(x)$ mang chứa $(ax+b)^{n}$ đặt $t=ax+b Rightarrow dt= adx$ hoặc $x=frac{t-b}{a}$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:
a) $int frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$
b) $int x^{3} sqrt{x^{2}+9}dx$
Giải:
2.2. Phương pháp đổi biến số loại 2
Để hương nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại Hai ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn phụ x = u(t)
Bước 2: Tìm vi phân dx = u'(t)dx
Bước 3: Biểu thị hàm số f(x) và d(x) theo t và dt.
Giả sử f(x)dx = g(t)dt
Bước 4: Tìm $I = int g(t)dt$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm:
a) $int xe^{x^{2}}dx$
b) $int frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}$
Giải:
3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
3.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng Một ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt t = u(x) đổi cận ta mang:
$x = a Rightarrow t = u(a) = a'$
Hoặc $x = b Rightarrow t = u(b) = b'$
Bước 2: Tìm vi phân dt = u'(x)dx
Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt
Bước 4: Tích phân $int^{b}_{a}f(x)dx=int^{b'}_{a'}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân sau đây:
a) $int^{frac{π}{2}}_{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$
b) $int^{efrac{π}{2}}_{0}frac{cos(Inx)}{x}dx$
Giải:
3.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng Hai ta thực hiện những bước sau:
Bước 1: Đặt x = u(t) đổi cận ta mang:
$x = a Rightarrow t = a'$ hoặc $x = b Rightarrow t = b'$
Bước 2: Tìm vi phân hai vế dx = u'(t)dt
Bước 3: Biến đổi $f(x)dx = f(u)(t)).u'(t)dt = g(t)dx$
Bước 4: Tính tích phân theo công thức $int^{b}_{a}f(x)dx = int^{b'}_{a'}g(t)dt$
Ví dụ: Tính tích phân: $I = int^{2}_{1}x^{2}sqrt{4-x^{2}}dx$
Giải:
4. Những bài tập về phương pháp đổi biến số hương nguyên hàm, tích phân
Để nắm chắc tri thức, những em hãy tham khảo những bài tập về phương pháp đổi biến số nguyên hàm, tích phân dưới đây nhé!
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $int frac{2sinx}{1+3cosx}dx$
Giải:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $int frac{In^{2}x-1}{xInx}dx$
Giải:
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $int xe^{x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $int frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$
Giải:
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $int frac{x}{(2x+1)^{3}}$
Giải:
Ví dụ 6: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}frac{1}{1+x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 7: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}sqrt{1-x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 8: Tính tích phân của $I=int_{0}^{1}x^{5}(1-x^{3})^{6}dx$
Giải:
Ví dụ 9: Tính tích phân $I=int^{0}_{-1}x^{2}(1-x)^{9}dx$
Giải:
Ví dụ 10: Tính tích phân $I=int^{1}_{0}(1+3x)(1+2x+3x^{2})^{10}dx$
Giải:
Trên đây là toàn bộ tri thức về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi biến số và những dạng bài thường gặp. Kỳ vọng rằng qua bài viết trên, những em mang thể tự tín làm bài tập lúc sử dụng phương pháp đổi biến số. Để học nhiều hơn tri thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!
- Những dạng tích phân hàm ẩn cơ bản và bài tập vận dụng
- Tích Phân Từng Phần: Phương Pháp Tính, Ví Dụ Và Bài Tập Minh Họa