Tích phân hàm ẩn: Lý thuyết & bài tập vận dụng [Kèm tài liệu]

Bài viết giúp bạn tìm hiểu khái niệm tích phân hàm ẩn, phân loại và một số bài tập mẫu thường gặp trong những đề thi. Từ đó giúp bạn cũng cố tri thức tích phân và thuần thục nhiều dạng bài khác nhau.

Khái niệm tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi và ko được cho dưới dạng một công thức. Để tính được tích phân hàm ẩn, những bạn cần phân dạng chuẩn xác và ứng dụng những công thức thích hợp để khắc phục bài toàn một cách nhanh chóng nhất.

Phân dạng tích phân hàm ẩn

Dạng 1: Ứng dụng những quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp

Lý thuyết & phương pháp giải

Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’.

Nếu [f(x). g(x)]’ = h(x) thì f(x). g(x) = ∫h(x) dx.

Bài tập vận dụng

Dạng 2: Phương pháp đổi biến

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 1

Lý thuyết & phương pháp

Cho , tính . Hoặc cho , tính .

Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t = u(x) và lưu ý cho học trò tích phân của hàm số thì ko phụ thuộc vào biến số.

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 2

Lý thuyết & phương pháp

Tính , biết hàm số f(x) thỏa mãn: A.f(x) + B.u’. f(u) + C.f (a + b – x) = g(x).

Đối với loại bài tập này, trước lúc lấy tích phân hai vế ta cần chú ý rằng:

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong những hệ số A, B, C.

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì

Với thì

Với thì

Học trò sở hữu thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.

Bài tập vận dụng

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 3

Lý thuyết & Phương pháp

Tuần tự đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phương trường hai ẩn (trong đó sở hữu ẩn f(x) để suy ra hàm số f(x) (nếu u(x) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v(x)).

Những kết quả đặc thù:

Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A² ≠ B² lúc đó

Hệ quả Một của

:

Hệ quả Hai của

: với g(x) là hàm số chẵn.

Bài tập vận dụng

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 4

Lý thuyết & phương pháp

Bài toán: Cho f(x). f (a + b – x) = k², lúc đó

Chứng minh

Đặt và x = a ⇒ t = b; x = b ⇒ t = a.

Lúc đó:

Bài tập vận dụng

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 5

Lý thuyết & phương pháp

Bài toàn: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn g [f(x)] = x và g(t) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên ℝ. Hãy tính tích phân ”

Cách giải:

Đặt y = f(x) ⇒ x = g(y) ⇒ dx = g’(y) dy

Đổi cận

Suy ra

Bài tập vận dụng

Dạng 3: Phương pháp từng phần

Lý thuyết & phương pháp

Tích phân từng phần với hàm ẩn thường ứng dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận sở hữu một trong những tích phân sau:

hoặc

Bài tập vận dụng

Dạng 4: Phương trình vi phân tiếp tuyến cấp 1

Lý thuyết & phương pháp

Bài toán 1: Bài toán tích phân liên quan tới biểu thức f’(x) + p(x). f(x) = h(x)

Tìm P(x) = ∫p(x)dx

Nhân hai vế với ta được

Lấy tích phân hai vế ta được f(x) e^p(x) ∫q(x) e^p(x)dx. Từ đó suy ra f(x).

Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan tới biểu thức f’(x) + f(x) = h(x)

Phương pháp

Nhân hai vế với e^x ta được e^x. f’(x) + e^x. f(x) = e^x. h(x) ⇔ [e^x. f(x)]’ = e^x. h(x)

Suy ra e^x. f(x) = ∫e^x. h(x)dx

Từ đây ta tiện dụng tính được f(x)

Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan tới biểu thức f’(x) – f(x) = h(x)

Phương pháp

Nhân hai vế với e^–x ta được e^–x. f’(x) – e^–x. f(x) = e^–x. h(x) ⇔ [e^–x. f(x)]’ = e^–x. h(x)

Suy ra e^–x. f(x) = ∫e^–x. h(x)dx

Từ đây ta tiện dụng tính được f(x)

Bài tập vận dụng

Tài liệu tích phân hàm ẩn

Mục lục tài liệu

• Dạng 1: Ứng dụng những quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp
• Dạng 2: Phương pháp đổi biến (5 dạng)
• Dạng 3: Phương pháp từng phần
• Dạng 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1