Tích Phân Hàm Ẩn: Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

1. Tích phân hàm ẩn là gì?

Trong chương trình toán 12, những bạn học trò sẽ được làm quen với dạng bài về tích phân hàm ẩn. Vậy chúng ta hiểu tích phân hàm ẩn là gì? Hãy cùng đi tìm hiểu về khái niệm của bài toán này nhé. 

Tích phân hàm ẩn chính là dạng tích phân mà hàm số sẽ bị ẩn đi. Hàm số đó sẽ ko được trình diễn dưới dạng là một công thức. Tích phân hàm ẩn được suy ra từ tính chất nguyên hàm của hàm số: 

$int f'(x)dx - f(x) + C$

Trong công thức trên, chúng ta chưa biết hệ số tự do C, sẽ biết f'(x) (hàm số bị ẩn ở trong f'(x)) nhưng sẽ biết một vài trị giá của f(x). Bài toán yêu cầu ta tính một vài trị giá khác nào đó của f(x).

Để làm được dạng toán tích phân hàm ẩn, ta sở hữu thể sử dụng hai cách như sau:

  • Nếu hàm số đã cho sở hữu tích phân trên đoạn [a;b] thì ta sử dụng công thức tích phân để tính trị giá. 

  • Sử dụng những tính chất và khái niệm của nguyên hàm để xác định f(x) + C. Sau đó để xác định hệ số tự do C, ta sử dụng những trị giá đã biết của f(x). Tiếp theo ta sẽ tính những trị giá cần tìm. 

2. Những dạng tích phân hàm ẩn cơ bản và ví dụ

Dưới đây là một số dạng tích phân hàm ẩn thường gặp trong quá trình làm bài tập đi kèm với những ví dụ vận dụng. 

2.1. Dạng 1: Vận dụng những quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp

1. Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’

    Nếu $f(x) . g(x)' = h(x)$ thì $f(x) . g(x) int h(x)dx$

2. Nếu u = u(x) và v = v(x) thì $(frac{u}{v})' = frac{u'v - uv'}{v^{2}}$ với $v neq 0$

    Nếu $(frac{f(x)}{g(x)})' = h(x)$ thì $frac{f(x)}{g(x)} = int h(x)dx$

    Nếu $[sqrt{f(x)}]′ = h(x)$  thì $f(x) = int h(x) dx$

4. Nếu u = u(x) thì $(e^{u})' = u' . e^{u}$

    Nếu $(e^{f(x)})' = g(x)$ thì $e^{f(x)} = int g(x)dx$

5. Nếu u = u(x) nhận trị giá dương trên K thì $[ln⁡u]′ = frac{u'}{u}$ trên K.

    Nếu [ln⁡(f(x))]′ = g(x) thì $ln(f(x)) = int g(x)dx$

Giải:

Từ giả thiết chúng ta sở hữu $x(4 - f’(x)) = f(x) - Một Rightarrow xf’(x) + f(x) = 4x + 1$

Lại sở hữu $f(1) = 3 Rightarrow C = 0 Rightarrow f(x) = 2x + Một Rightarrow f(2) = 5$

Ví dụ 2: Hàm số f(x) sở hữu đạo hàm liên tục trên $(-1, +propto)$. Hàm số thỏa mãn $2f(x) + (x^{2} - 1)f'(x) = frac{x^{3} + 2x^{2} + x}{sqrt{x^{3}+3}} forall x epsilon (-1, +propto)$. Tính f(0).

Giải: 

Lại sở hữu

thỏa mãn $forall x epsilon (-1,+propto)$ nên thay x = Một vào

ta sở hữu C = 2

$Rightarrow frac{x-1}{x+1}, f(x) = sqrt{x^{2} + 3} - 2$. Do đó $f(0) = 2 - sqrt{3}$

2.2. Dạng 2: Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến dạng 1: Cho $int_{a}^{b} u'(x) . f[u(x)]dx$. Tính $int{f(x)dx}$.

Hoặc cho hàm $int_{a}^{b} f(x)dx$. Tính $int_{a}^{b} u'(x) . f[u(x)]dx$.

Phương pháp đổi biến dạng 2: Tính $int_{a}^{b} f(x)dx$ , biết hàm số f(x) thỏa mãn $A . f(x) + B . u’ . f(u) + C . f(a + b - x) - g(x)$
Phương pháp đổi biến dạng 3: Đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phương trình hai ẩn sau đó suy ra hàm số f(x)
Phương pháp đổi biến dạng 4: Cho $f(x) . f(a + b - x) = k^{2}$. Lúc này $I = int_{a}^{b} frac{dx}{k+f(x)} = frac{b - a}{2k}$
Phương pháp đổi biến dạng 5: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn g [f(x)=x] và g(t) là hàm đơn điệu. Tính tích phân $I = int_{a}^{b} f(x)dx$

Ví dụ 1: Tính $int_{0}^{2} f(2x)dx$. Biết $int_{0}^{4} f(x)dx = 16$

Giải:

Xét tích phân $int_{0}^{2} f(2x)dx$. Đặt $2x = t Rightarrow dx = frac{1}{2}dt$. Lúc x = 0 thì t = 0, lúc x = Hai thì t = 4

Do đó:

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên R, thỏa mãn điều kiện $int_{1}^{16} frac{f(sqrt{x})}{sqrt{x}}dx = 6$ và $int{0}{frac{pi}{2}} f(sinx)cosx dx = 3$. Hãy tìm tích phân $int_{0}^{4}f(x)dx$

Giải: 

Xét: $I= int_{1}^{16} frac{f(sqrt{x})}{sqrt{x}}dx = 6$, đặt $sqrt{x} = t Rightarrow frac{dx}{2sqrt{x}} = dt$

Đổi cận: x = 1

$Rightarrow t = 1, x = 16 Rightarrow t = 4$ nên $I = 2int_{1}^{4}f(t)dt = 6 Rightarrow int_{1}^{4}f(t)dt - frac{6}{2} = 3$

$J = int_{0}^{frac{pi}{2}}f(sinx)cosxdx = 3$, đặt $sin x = u Rightarrow cosxdx = du$

Đổi cận:

$x=0 Rightarrow u = 0, x = frac{pi}{2} = 1 Rightarrow J = int_{0}^{1}f(u)du = 3$

$I = int_{0}^{4}f(x)dx = int_{0}^{1}f(x)dx + int_{1}^{4}f(x)dx = 3+ 3 = 6$

2.3. Dạng 3: Phương pháp từng phần

Phương pháp tích phân từng phần với hàm ẩn thường vận dụng cho những bài toán mà trong giả thiết hoặc kết luận sở hữu một trong những tích phân sau: $int_{a}^{b}$

$u(x) . f′(x)dx$ hoặc $int_{a}^{b}u'(x) . f(x)dx$

Ví dụ 1: Hàm số f(x) thỏa mãn $int_{0}^{1}(x+1)f'(x)dx = 10$. Và sở hữu $2f(1) - f(0) = 2$. Vậy $I = int_{0}^{1}f(x)dx$ bằng bao nhiêu?

Giải:

$A = int_{0}^{1}(x+1)f'(x)dx$. Đặt $u = x + Một Rightarrow du = dx, dv = f'(x)$, chọn $v = f(x)$

$A = (x + 1) . f(x)|_{0}^{1} - int_{0}^{1}f(x)dx = 2f(1) - f(0) - int_{0}^{1}f(x)dx = 2 - int_{0}^{1}f(x)dx = 10 Rightarrow int_{0}^{1} f(x)dx = -8$ 

2.4. Dạng 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Bài toán tích phân liên quan tới biểu thức f’(x)+p(x).f(x)=h(x)

Ví dụ 1: Tính trị giá của f(1) biết hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 4 và f(x) + f’(x) = x3, $forall x epsilon R$

Giải:

Từ giả thiết chúng ta sở hữu: 

$e^{x}f(x) + e^{x}f'(x) = x^{3}e^{x} Rightarrow [e^{x}f(x)]' = x^{3}e^{x} Rightarrow e^{x}f(x) = int x^{3}e^{x}dx$

$Rightarrow e^{x} f(x) = x^{3} e^{x} - 3int x^{2} e^{x}dx = x^{3} e^{x} - 3x^{2}e^{x} + 6int xe^{x}dx = x^{3} e^{x} - 3x^{2} e^{x} +6(x - 1)e^{x} + C$

$f(0) = 4 Rightarrow C=10 Rightarrow f(x) = x^{3} -3^{2} + 6x - 6 + frac{10}{e^{x}} Rightarrow f(1) = -2 + frac{10}{e}$

Ví dụ 2:

Tính $A = int_{0}^{1}f(x)dx$ biết f(x) thỏa mãn 

$f(1) = frac{9}{e}$ và $f'(x) + 3x^{2}f(x) = (15x^{4} + 12x)e^{-x^{3}}$, với mọi x thuộc R

Giải:

3. Một số bài tập vận dụng tính tích phân hàm ẩn từ cơ bản tới tăng và phương pháp giải

Bài tập tích phân hàm ẩn sở hữu đầy đủ từ dạng cơ bản tới tăng, đòi hỏi những bạn học trò cần nắm chắc tri thức để vận dụng vào bài tập. Cùng theo dõi một số bài tập vận dụng về tích phân hàm ẩn cùng lời giải để hiểu bài thật tốt nhé.

Bài 1: Hàm số f(x) thỏa mãn $f(2)=frac{-2}{9}. f’(x)=2x[f(x)]^{2}, forall x epsilon R$. Tính trị giá của f(1).

Giải: 

$f'(x) = 2x[f(x)]^{2} Rightarrow frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}} = 2x Rightarrow int_{1}^{2} frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}dx = int_{1}^{2}2xdx = 3 Leftrightarrow -frac{1}{f(x)}mid _{1}^{2} = 3$

$Leftrightarrow f(1) = frac{-2}{3}$

Bài 2: Hàm số f(x) thỏa mãn $f(2)=frac{-1}{3}. f’(x)=x[f(x)]^{2}, forall x epsilon R$. Tính trị giá của f(1)

Giải:

$f'(x) = x[f(x)]^{2} Rightarrow frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}} = x Rightarrow int_{1}^{2} frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}dx = int_{1}^{2}2xdx = frac{3}{2} Leftrightarrow -frac{1}{f(x)}mid _{1}^{2} = 3 Leftrightarrow f(1) = frac{-2}{3}$ 

Bài 3: $int_{2}^{5}f(x)dx = 10$. Tính $int_{5}^{2}[2 - 4f(x)]dx$

Giải:

$int_{5}^{2}[2-4f(x)]dx = 2int_{5}^{2}dx - 4int_{5}^{2}f(x)dx = -2x|_{2}^{5} + 4int_{2}^{5}f(x)dx = -2.(5 - 2) + 4 . 10 = 34$

Bài 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và F(x) là nguyên hàm của f(x). Biết F(0) = 3 và $int_{0}^{9}f(x)dx = 9$. Tính F(9)

Giải:

Bài 5: Cho hàm số f(x) xác định trên R ngoại trừ 0, thỏa mãn $f’(x) = frac{1}{x^{3} + x^{5}}$. f(-2) = b và f(1) = a. Tính f(-1) + f(2)

Giải:

Mang: $f’(-x)=frac{1}{(-x)^{3}+(-x)^{5}}=frac{1}{x^{3}+x^{5}}=-f(x)$ nên f'(x) là hàm số lẻ

$int_{-2}^{2} f'(x)dx = 0 Leftrightarrow int_{-2}^{-1}f'(x)dx = -int_{1}^{2}f'(x)dx$
$f(-1) - f(-2)=-f(2)+f(1)Rightarrow f(-1) - f(2)=f(-2)+f(1)=a+b$

Bài 6: Cho hàm số $G(x) = int_{0}^{x}t.cos(x-t)dt$. Tính $G’(frac{pi}{2})$

Giải:

Bài 7: Cho hàm số y=f(x) sở hữu đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện:

Tính $int_{0}^{1}f(x - 1)dx$

Giải:

Lấy đạo hàm theo hàm số y

Bài 8: Cho hàm số f(x) xác định trên R ngoại trừ 1. $f’(x) = frac{1}{x - 1}, f(2) = 2018, f(0) = 2017$. Tính $f(3) - f(-1)$

Giải:

Đặc trưng, thầy Trung đã sở hữu bài giảng về tích phân hàm ẩn cực nhanh với tip giải 10s, những em đừng bỏ lỡ video bài giảng của thầy dưới đây nhé!

Trên đây là toàn bộ tri thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ những dạng bài tập về tích phân hàm ẩn. Kỳ vọng rằng sau bài viết những em học trò sẽ sở hữu thể vận dụng công thức để giải những bài tập một cách tiện lợi. Để học và ôn tập tri thức toán lớp 12 ôn thi đại học, hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

  • Cách tính tích phân hàm lượng giác chi tiết và bài tập
  • Công thức nguyên hàm Inx và cách giải những dạng bài tập
  • Công thức và cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *