Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng bao gồm một số dạng bài với những phương pháp giải chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu. Những bài tập dưới đây mang tính cốt lõi và đặc trưng cho từng dạng, giúp định hướng tư duy cho những em lúc gặp những bài tập tăng, mang tính phân hóa cao từ đó lúc vào trắc nghiệm những em biết cách làm nhanh những thắc mắc liên quan tới chủ đề này.

TẢI XUỐNG↓

BÀI 2: Cho tứ diện ABCD sở hữu Hai mặt ABC và BCD là Hai tam giác cân sở hữu chung đáy BC. I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh: BC ⊥mp(ADI).
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. CM: AH ⊥ mp(BCD)

Giải:

a) Chứng minh BC ⊥ mp(ADI):

ΔABC và ΔDBC cân và I là trung điểm BC nên:
BC ⊥ AI
BC ⊥ DI

⇒ BC ⊥ (ADI)

b) Chứng minh AH ⊥ mp(BCD):
Ta sở hữu: * ID ⊥AH(gt) (1)
* BC ⊥(ADI) (cmt)
⇒BC ⊥AH và  AH ⊂ (ADI) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ mp(BCD)

BÀI 3: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu đáy ABCD là hình thoi và sở hữu SA = SB =SC = SD

Chứng minh rằng:

a) SO ⊥ mp(ABCD), với O là giao điểm của AC và BD.

b) AC ⊥ mp(SBD) và BD ⊥ mp(SAC).

c) Gọi I và J tuần tự là trung điểm của những cạnh BA, BC. CM: IJ ⊥ (SBD).

Giải

a) CM: SO  mp(ABCD):
Ta sở hữu: ΔSAC và ΔSBD cân tại S (gt)

⇒SO ⊥ AC và SO ⊥ BD

⇒ SO ⊥ mp(ABCD)

b) *CM: AC ⊥ mp(SBD)

Ta sở hữu: AC ⊥ BD (Hai đường chéo của hình thoi) và AC ⊥SO (cmt)
⇒AC ⊥ mp(SBD)
c) IJ ⊥ (SBD):

Ta sở hữu: IJ // AC (IJ là đ. trung bình ΔABC)
Mà: AC ⊥ mp(SBD) ( cmt)
⇒ IJ ⊥ mp(SBD)

BÀI 4:Cho tứ diện OABC sở hữu 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mp(ABC). C/minh: a) H là trực tâm tam giác ABC.

                                    b) 1/ OH² = 1/ OA² + 1/OB² + 1/OC²

Giải:

a) CM: H là trực tâm ΔABC:

Ta sở hữu: OA ⊥OB  và OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ (OBC)⇒ OA ⊥ BC   (1)

OH ⊥ mp(ABC) ⇒ OH ⊥ BC (2)
Từ (1)& (2) ⇒ BC ⊥ (AOH)
⇒ BC ⊥ AH
C/m tương tự ta được: AB ⊥ CH
Suy ra: H là trực tâm ΔABC.
b) CM: 1/ OH² = 1/ OA² + 1/OB² + 1/OC²

Gọi I là giao điểm của AH và BC.
Ta sở hữu: ♥ OA ⊥ mp(OBC) ⇒ OA ⊥OI
⇒ΔAOI vuông tại O, sở hữu OH là đường cao nên: 1/ OH² = 1/ OA² + 1/ OI² ( 3)
♥  BC ⊥(AOH) ⇒ BC ⊥ OI
⇒ΔBOC vuông tại O, sở hữu OI là đường cao nên: 1/ OI² = 1/ OB² + 1/ OC² (4)

Từ 3 & 4 ⇒ 1/ OH² = 1/ OA² + 1/OB² + 1/OC²

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, sở hữu đáy là hình thoi ABCD và sở hữu cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi I và K là Hai điểm lấy trên Hai cạnh SB và SD sao cho SI/SB = SD/ SD.

Chứng minh:
a) BD ⊥ SC
b) IK ⊥ mp(SAC)

Giải : 
a) BD ⊥ SC

BD ⊥ AC (Hai đường chéo hình thoi)
BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)
⇒ BD ⊥ (SAC)
⇒ BD ⊥ SC

b) IK ⊥ (SAC):

Ta sở hữu: SI/SB = SD/ SD⇒ IK // BD

Mà BD ⊥ (SAC)  ⇒ IK ⊥ (SAC)

Ra thêm 1) Cho tứ diện ABCD. CMR nếu AB ⊥ CD, AC ⊥ BD thì BC ⊥AD.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD).
Suy ra BH và CH tuần tự là hình chiếu của AB và AC trên mp(BCD).

Ta sở hữu:*CD ⊥ AB ⇒CD ⊥ BH (Đlí 3 đường vuông góc)
*BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ CH (Đlí 3 đường vuông góc)
Vậy H là trực tâm tam giác BCD.
Suy ra: BC ⊥ DH
Mà DH là hình chiếu của AD trên mp(BCD) nên BC⊥AD.

BÀI 2:
Cho hình chóp S.ABCD sở hữu đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H và K tuần tự là trung điểm của những cạnh AB và AD.
a) Chứng minh rằng: SH ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.

Hướng dẫn:

a) CM: SH ⊥(ABCD):
♦Tiêu dùng đl đảo đl Pitago cm: BC ⊥ SB
♦BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông)
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥SH (1)
Mặt khác: AB ⊥SH (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SH ⊥ (ABCD

b) CM AC ⊥ SK và CK ⊥ SD:

♦ CM AC ⊥ SK

Ta sở hữu:  HK // DB và  AC⊥  DB⇒ HK ⊥AC (1)

SH ⊥ (ABCD) và  AC ⊂ (ABCD) ⇒SH ⊥AC (2)
Từ (1) & (2) ⇒ AC ⊥(SHK)
⇒ AC ⊥SK

♦ CM CK ⊥ SD:

Ta cm được: CK ⊥ DH (1)
SH⊥ (ABCD) và  CK ⊥ (ABCD)⇒ CK ⊥ SH (2)
Từ (1) & (2) ⇒ CK ⊥ SD.

Bài tập về nhà

Dưới đây là một số bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, các em sở hữu thể làm ở nhà để  sở hữu thêm nhiều tri thức nhé.

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam
giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I và J tuần tự là trung
điểm của AB và CD.
a) Tính những cạnh của tam giác SIJ.
b) Chứng minh SI ⊥ (SCD) và SJ ⊥ (SAB).
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh: SH ⊥ AC.

Cảm ơn những em đã xem và tải tài liệu bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Chúng tôi mong rằng những bài tập này sẽ hữu ích với những em trong việc tìm hiểu hình học ko gian. Ngoài ra những em cần phải làm thật nhiều bài  tập để sở hữu thêm tri thức cũng như tập phản xạ nhé.

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *