Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây
Sách giải toán 7 Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Tập luyện (trang 77) giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác:
Trả lời nghi vấn Toán 7 Tập Hai Bài 4 trang 65: Hãy vẽ một tam giác và tất cả những đường trung tuyến của nó.
Lời giải
Ta vẽ ΔABC và 3 đường trung tuyến AM, BN, CP
Trong đó : M, N, P tuần tự là trung điểm BC, AC, AB
Trả lời nghi vấn Toán 7 Tập Hai Bài 4 trang 65: Quan sát tam giác vừa cắt (trên đó đã vẽ ba đường trung tuyến). Cho biết: Ba đường trung tuyến của tam giác này với cùng đi qua một điểm hay ko ?
Lời giải
Ba đường trung tuyến của tam giác này với cùng đi qua một điểm
Trả lời nghi vấn Toán 7 Tập Hai Bài 4 trang 66: Dựa vào hình 22, hãy cho biết:
•AD với là đường trung tuyến của tam giác ABC hay ko ?
•Những tỉ số bằng bao nhiêu ?
Lời giải
•AD với là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vì trên hình 22 ta thấy, D là trung điểm BC
(BD = CD = 4 đơn vị độ dài)
•Dựa vào hình vẽ ta thấy:
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 23 (trang 66 SGK Toán 7 tập 2): Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH.
Trong những khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
Lời giải:
+ G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH.
Theo tính chất đường trung tuyến
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 24 (trang 66 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong những đẳng thức sau:
a) MG = … MR; GR = … MR; GR = … MG
b) NS = … NG; NS = … GS; NG = … GS
Lời giải:
Hình vẽ cho ta biết hai đường trung tuyến MR và NS cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác MNP
Vì vậy ta điền số như sau:
– Ta chứng minh:
G là trọng tâm của tam giác MNP và MR và NS là hai đường trung tuyến.
Nên theo tính chất đường trung tuyến ta với
Ta với
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 25 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Biết rằng: Trong một tam giác vuông. Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC với hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải:
ΔABC vuông tại A với BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pitago)
⇒ BC2 = 32 + 42 = 25 ⇒ BC = 5 (cm)
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM là trung tuyến.
Vì theo đề bài: trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Tập luyện (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2)
Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh định lí:
Lời giải:
Giả sử ΔABC cân tại A với hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN.
Ta với: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A)
⇒ AM = AN.
Xét ΔABM và ΔACN với:
AM = AN
AB = AC
Góc A chung
⇒ ΔABM = ΔCAN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng).
(Còn một số cách chứng minh khác, nhưng do giới hạn tri thức lớp 7 nên mình xin sẽ ko trình bày.)
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Tập luyện (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2)
Bài 26 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh định lí:
Lời giải:
Giả sử ΔABC cân tại A với hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN.
Ta với: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A)
⇒ AM = AN.
Xét ΔABM và ΔACN với:
AM = AN
AB = AC
Góc A chung
⇒ ΔABM = ΔCAN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng).
(Còn một số cách chứng minh khác, nhưng do giới hạn tri thức lớp 7 nên mình xin sẽ ko trình bày.)
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Tập luyện (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2)
Bài 27 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên:
Lời giải:
Giả sử ΔABC với hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.
⇒ G là trọng tâm của tam giác
Mà BM = CN (theo gt) ⇒ GB = GC ⇒ GM = GN.
Xét ΔGNB và ΔGMC với :
GN = GM (cmt)
GB = GC (cmt)
⇒ ΔGNB = ΔGMC (c.g.c) ⇒ NB = MC.
Lại với AB = 2.BN, AC = 2.CM (do M, N là trung điểm AC, AB)
⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A.
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Tập luyện (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2)
Bài 27 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên:
Lời giải:
Giả sử ΔABC với hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.
⇒ G là trọng tâm của tam giác
Mà BM = CN (theo gt) ⇒ GB = GC ⇒ GM = GN.
Xét ΔGNB và ΔGMC với :
GN = GM (cmt)
GB = GC (cmt)
⇒ ΔGNB = ΔGMC (c.g.c) ⇒ NB = MC.
Lại với AB = 2.BN, AC = 2.CM (do M, N là trung điểm AC, AB)
⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A.
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Tập luyện (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2)
Bài 28 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.
b) Những góc DIE và góc DIF là những góc gì?
c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI.
Lời giải:
a) Xét ΔDEI và ΔDFI với:
DI là cạnh chung
DE = DF (gt)
IE = IF (I là trung điểm EF)
⇒ ΔDEI = ΔDFI (c.c.c)
b) Vì ΔDEI = ΔDFI
c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = EF/2 = 5cm.
Ta với : ⇒ ΔDIE vuông tại I
Theo định lý Pitago trong tam giác vuông DIE ta với :
DE2 = DI2 + EI2 ⇒ DI2 = DE2 – EI2 = 132 – 52 = 144 ⇒ DI =12 (cm).
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Tập luyện (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2)
Bài 29 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:
GA = GB = GC
Vận dụng định lí ở bài tập 26.
Lời giải:
Gọi trung điểm BC, CA, AB tuần tự là M, N, P.
Lúc đó AM, BN, CP đồng quy tại trọng tâm G.
Ta với: ∆ABC đều suy ra:
+ ∆ABC cân tại A ⇒ BN = CP (theo chứng minh bài 26).
+ ∆ABC cân tại B ⇒ AM = CP (theo chứng minh bài 26).
⇒ AM = BN = CP (1)
Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:
Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.
Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Tập luyện (trang 67 sgk Toán 7 Tập 2)
Bài 30 (trang 67 SGK Toán 7 tập 2): Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.
a) So sánh những cạnh của tam giác BGG’ với những đường trung tuyến của tam giác ABC.
b) So sánh những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với những cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Gọi trung điểm BC, CA, AB tuần tự là M, N, P.
⇒ AM, BN, CP là những đường trung tuyến, G là trọng tâm của ΔABC
Theo tính chất đường trung tuyến của tam giác ta với:
GB = 2/3.BN (1)
GA = 2/3.AM, mà GA = GG’ (do G là trung điểm của AG’) ⇒ GG’ = 2/3.AM (2)
GM=1/2.AG, mà AG=GG’ ⇒ GM=1/2.GG’ ⇒ M là trung điểm của GG’ hay GM = GM’ .
Xét ΔGMC và ΔG’MB với:
GM = G’M (chứng minh trên)
MC = MB
⇒ ΔGMC = ΔG’MB (c.g.c)
⇒ GC = G’B (hai cạnh tương ứng).
Mà CG = 2/3.CP (tính chất đường trung tuyến) ⇒ G’B = 2/3.CP (3)
Từ (1), (2), (3) ta với : GG’ = 2/3.AM , GB = 2/3.BN, G’B = 2/3.CP.
b) Gọi I, K tuần tự là trung điểm của BG, BG’.
* M là trung điểm GG’⇒ BM là đường trung tuyến ΔBGG.
Mà M là trung điểm BC ⇒ BM = ½ .BC (4)
Xét ΔIGG’ và ΔNGA với:
IG = GN (chứng minh trên)
GG’ = GA (Vì G là trung điểm AG’)
⇒ ΔIGG’ = ΔNGA (c.g.c)
⇒ G’I = AN (hai cạnh tương ứng)
Mà GC = BG’ (chứng minh phần a))
⇒ Nên PG = BK.
ΔGMC = ΔG’MB (chứng minh câu a)
Xét ΔPGB và ΔKBG với:
PG = BK (chứng minh trên)
BG chung
⇒ ΔPGB = ΔKBG (c.g.c)
⇒ PB = GK (hai cạnh tương ứng)