Phương pháp phần tử hữu hạn FEM

1/ FEM là gì ?

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), là một phương pháp số sắp đúng để giải những bài toán về kỹ thuật và vật lí toán học.Những vấn đề được quan tâm bao gồm phân tích kếtcấu, truyền nhiệt, lưu chất, truyền khối và điện thế.

Phương pháp giải tích cho bài toán thường đòi hỏi giải pháp cho bài toán trị giá biên cho phương trình vi phân từng phần. Phương thức phần tử hữu hạn xây dựng kết quả bài toán trong một hệ phương trình đại số. Phương thức này đưa ra những trị giá sắp đúng của những ẩn tại một số phần tử rời rạc trên miền xác định.[1] Để giải bài toán, chia nhỏ nó thành nhiều miền con (phần tử), đơn thuần hơn được gọi là những phần tử hữu hạn. Những phương trình đơn thuần mô phỏng hóa những phần tử hữu hạn này sau đó được tập hợp thành một hệ phương trình to hơn mô phỏng hóa toàn bộ vấn đề.Sau đó, FEM sử dụng những phương pháp biến đổi từ phép tính những biến thể để giải hệ phương trình này sẽ tìm được những trị giá của hàm xấp xỉ tại những điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ hoàn toàn được xác định trên mỗi một phần tử.

Nghiên cứu hoặc phân tích hiện tượng với FEM thường được gọi là phân tích phần tử hữu hạn (FEA).

1.1/ Lịch sử ra đời và phát triển

Phương pháp phần tử hữu hạn bắt nguồn từ sự cần thiết phải khắc phục những bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng ko. Nó được khởi đầu và phát triển bởi A. Hrennikoff [4] và R. Courant [5] vào đầu những năm 1940. Một nhà tiên phong khác là Ioannis Argyris. Ở Liên Xô, sự ra đời của ứng dụng thực tế của phương pháp này thường được nhắc tới với tên của Leonard Oganesyan. [6] Ở Trung Quốc, vào những năm 1950 và đầu những năm 1960, dựa trên tính toán những dự án đập, K. Feng đã đề xuất một phương pháp số với hệ thống để giải những phương trình vi phân từng phần. Phương pháp này được gọi là phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên nguyên tắc biến đổi, đó là một phát minh độc lập khác của phương pháp phần tử hữu hạn. Mặc dù những phương pháp tiếp cận được sử dụng bởi những người tiên phong này là khác nhau, họ đều với chung một quan niệm: chia lưới của một miền liên tục thành một tập hợp những tên miền con rời rạc, thường được gọi là những phần tử.

Hrennikoff rời rạc hóa miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong lúc Courant chia lưới tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần (PDEs) nó được phát sinh từ bài toán xoắn của một hình trụ. Đóng góp của Courant tà tà một bước tiến, từ kết quả trước đó cho những PDE được phát triên bởi Rayleigh, Ritz và Galerkin.

Phương pháp phần tử hữu hạn chính thức phát triển trong những năm 1960 và 1970 bởi sự mở rộng của JH Argyris với đồng nghiệp tại Đại học Stuttgart, RW Clough với đồng nghiệp tại UC Berkeley, OC Zienkiewicz với đồng nghiệp Ernest Hinton, Bruce Irons và những người khác tại Đại học Swansea, Philippe G. Ciarlet tại Đại học Paris 6 và Richard Gallagher cùng với những đồng nghiệp tại Đại học Cornell. Nhiều sự phát minh mới đã được đưa ra trong những năm này với sự với sẵn của những phần mềm mở với gái trị. NASA tài trợ phiên bản gốc của NASTRAN, UC Berkeley triển khai Chương trình Phần tử hữu hạn SAP IV một cách rộng rãi. Tại Na Uy, Det Norske Veritas (nay là DNV GL) đã phát triển Sesam vào năm 1969 để sử dụng trong phân tích tàu thủy. Một hạ tầng toán học nghiêm nhặt cho phương pháp phần tử hữu hạn được phân phối vào năm 1973 bằng việc xuất bản Strang và Fix. Phương pháp này đã được khái quát hóa để mô phỏng hóa lượng to phương pháp vật lý trong nhiều ngành kỹ thuật khác nhau, ví dụ như điện từ, truyền nhiệt và động lực học chất lỏng.

2/ Ứng dụng

Một loạt những chuyên ngành thuộc ngành nghề kĩ thuật cơ khí (như ngành hàng hông, cơ khí, ô tô,..) thường sử dụng FEM tích hợp trong thiết kế và phát triển sản phẩm. Một số phần mềm FEM hiện đại bao gồm những thành phần cụ thể như môi trường làm việc nhiệt, điện từ, chất lỏng và cấu trúc. Trong một mô phỏng cấu trúc, FEM giúp rất nhiều trong việc tạo ra độ cứng và ứng suất và cũng như trong việc tránh trọng lượng, vật liệu và giá thành.

FEM cho phép hình dung chi tiết về những cấu trúc uốn cong hoặc xoắn, chỉ ra sự phân bố ứng suất và chuyển vị. Phần mềm FEM phân phối một loạt những tùy chọn mô phỏng để kiểm soát sự phức tạp của cả mô phỏng hóa và phân tích của một hệ thống. Tương tự, mức độ mong muốn về độ chuẩn xác cần thiết và những yêu cầu về thời kì tính toán liên quan với thể được quản lý đồng thời để khắc phục hầu hết những ứng dụng kỹ thuật. FEM cho phép toàn bộ những thiết kế được xây dựng, tinh luyện và tối ưu hóa trước lúc thiết kế được sản xuất.

FEM đã cải thiện đáng kể những tiêu chuẩn thiết kế kĩ thuật và phương pháp, quá trình thiết kế trong nhiều ứng dụng của công nghiệp. Làm giảm đáng kể thời kì để đưa một sản phẩm từ khái niệm vào sản xuất. Tóm lại lợi ích lúc sử dụng FEM gồm độ chuẩn xác cao, hiểu rõ những thông số thiết kế quan yếu, tạo mẫu ảo, ít tốn phần cứng, chu trình thiết kế nhanh hơn, ít tốn kém hơn, tăng năng suất và doanh thu.

3/ Những khái niệm cơ bản

Chia nhỏ những miền liên tục thành những miền con rời rạc với một số ưu điểm:

Trình diễn chuẩn xác hình học phức tạp
Bao hàm những tính chất vật liệu ko giống nhau
Thuận lợi trình diễn giải pháp cụ thể
Ghi lại phản ứng cục bộ

Một công việc tiêu biểu trong phương pháp này bao gồm phân chia miền của vấn đề thành một tập hợp những tên miền phụ, với mỗi tên miền phụ được trình diễn bằng một tập hợp những phương trình phần tử cho bài toán gốc, sau đó (2) hệ thống kết hợp lại tất cả những phương trình phần tử vào một hệ phương trình tuyến tính cho phép tính cuối cùng. Hệ phương trình tuyến tính đã biết cách giải, và với thể được tính toán từ những trị giá ban sơ của bài toán gốc để với được một câu trả lời bằng số.

Trong bước trước nhất ở trên, những phương trình phần tử là những phương trình đơn thuần mà xấp xỉ so với phương trình phức tạp ban sơ được nghiên cứu, trong đó những phương trình ban sơ thường là phương trình vi phân từng phần (PDE). Để giảng giải sự xấp xỉ đó, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) thường được giới thiệu như một trường hợp đặc trưng của phương pháp Galerkin. Quá trình này trong tiếng nói toán học là để xây dựng một tích phân của tích số bên trong của số dư và hàm trọng số và thiết lập tích phân bằng 0. Nói một cách đơn thuần, nó là một phương pháp tránh sai số xấp xỉ bằng cách gắn những hàm thử nghiệm vào PDE. Phần còn lại là lỗi do những hàm thử nghiệm gây ra, và những hàm trọng số là những hàm xấp xỉ đa thức dự trù số dư. Quá trình loại bỏ tất cả những dẫn xuất ko gian từ PDE, do đó xấp xỉ PDE cục bộ với:

Một tập hợp những phương trình đại số cho những vấn đề trạng thái ổn định
Một tập hợp những phương trình vi phân thông thường cho những vấn đề nhất thời

Những phương trình này là những phương trình phần tử. Chúng là tuyến tính nếu PDE cơ bản là tuyến tính và trái lại. Những phương trình đại số phát sinh trong những bài toán trạng thái ổn định được giải bằng phương pháp đại số tuyến tính số, trong lúc những phương trình vi phân thường phát sinh trong những vấn đề tạm thời được khắc phục bằng tích phân số bằng những kỹ thuật tiêu chuẩn như phương pháp Euler hoặc phương pháp Runge-Kutta.

Trong bước (2) ở trên, một hệ phương trình tuyến tính được tạo ra từ những phương trình phần tử thông qua việc chuyển đổi những tọa độ từ những nút cục bộ của những tên miền phụ sang những nút toàn cục của miền. Sự chuyển đổi ko gian này bao gồm những điều chỉnh định hướng thích hợp như được ứng dụng liên quan tới hệ tọa độ tham chiếu. Quá trình này thường được thực hiện bởi phần mềm FEM bằng cách sử dụng dữ liệu tọa độ được tạo ra từ những tên miền phụ.

FEM được hiểu rõ nhất từ ứng dụng thực tế của nó, được gọi là phân tích phần tử hữu hạn (FEA). FEA được ứng dụng trong kỹ thuật như là một phương tiện tính toán để thực hiện phân tích kỹ thuật. Nó bao gồm việc sử dụng kỹ thuật tạo lưới để phân chia một miền phức tạp thành những phần tử nhỏ, cũng như việc sử dụng chương trình phần mềm được mã hóa bằng thuật toán FEM. Lúc ứng dụng FEA, vấn đề phức tạp thường là một hệ vật lý với hạ tầng dựa vào phương trình chùm Euler-Bernoulli, phương trình nhiệt, hoặc phương trình Navier-Stokes thể hiện trong cả hai phương trình tích phân hoặc PDE, trong lúc chia nhỏ phần tử của vấn đề phức tạp đại diện cho những khu vực khác nhau trong hệ thống vật lý.

FEM là lựa chọn tốt để phân tích những bài toán trên những miền phức tạp (như ô tô, đường ống dẫn dầu,…), lúc miền thay đổi (như trong một phản ứng trạng thái với biên thay đổi), lúc độ chuẩn xác kì vọng thay đổi trên toàn bộ miền hoặc lúc giải pháp thiếu độ mịn. Mô phỏng FEA phân phối một nguồn tài nguyên với trị giá lúc chúng loại bỏ trường hợp tạo và thử nghiệm những mẫu thử cứng cho những tình huống độ trung thực cao khác nhau. Ví dụ, trong một mô phỏng tai nạn ở phía trước với thể tăng độ chuẩn xác dự đoán trong những khu vực “quan yếu” như mặt trước của xe và giảm nó ở phía sau của nó (do đó làm giảm giá thành của mô phỏng). Một ví dụ khác là ứng dụng trong dự đoán thời tiết, nơi quan yếu hơn để với những dự đoán chuẩn xác về việc phát triển những hiện tượng phi tuyến cao (chẳng hạn như lốc xoáy nhiệt đới trong khí quyển, hoặc xoáy trong đại dương) thay vì những khu vực tương đối yên tĩnh.

4/ Thảo luận khoa học

4.1/ Cấu trúc của những phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số cho lời giải xấp xỉ của những bài toán trong toán học, tức là thường được phát biểu một cách với hệ thống để nêu chuẩn xác tình trạng của một số khía cạnh trong thực tế của vật lý.

Một phương pháp phần tử hữu hạn được đặc trưng bởi một công thức biến đổi, một sự rời rạc hóa, hoặc nhiều thuật toán giải pháp và những trật tự hậu xử lý.

Ví dụ cho công thức biến đổi là phương pháp Galerkin, phương pháp Galerkin gián đoạn, phương pháp hỗn hợp, …

Sự rời rạc hóa được khái niệm gồm một tập hợp những bước được xác định rõ ràng gồm:

Tạo ra những phần tử hữu hạn
Khái niệm hàm hạ tầng trên những phần tử tham chiếu (hàm hình dạng)
Ánh xạ tham chiếu những phần tử lên lưới

Ví dụ về sự rời rạc hóa là h-version, p-version, hp-version, x-FEM, phân tích đẳng hình học,…Mỗi phương pháp rời rạc hóa đều với một số thuận lợi và bất lợi. Tiêu chuẩn hợp lí trong việc lựa chọn phương pháp rời rạc hóa là để đạt được hiệu suất tối ưu cho tập hợp rộng nhất của những mô phỏng trong một mô phỏng cụ thể.

Sở hữu hai loại thuật toán giải pháp rộng:

Khắc phục trực tiếp
Lặp đi lặp lại

Những thuật toán này được thiết kế để khai thác ma trận thưa phụ thuộc vào sự lựa chọn của công thức biến đổi và sự rời rạc hóa.

Thủ tục sau xử ký được thiết kế để trích xuất dữ liệu cần thiết từ giải pháp phần tử hữu hạn, Để tạo ra yêu cầu của việc xác minh sự chuẩn xác của giải pháp, những nhà xử lý cần phải phân phối một ước lỗi chuẩn về mặt vấn đề đang được quan tâm. Lúc những lỗi xấp xỉ to hơn những gì được coi là chấp nhận được thì việc lọc phải được thay đổi bằng trật tự thích ứng tự động hoặc theo ý của nhà phân tích. Sở hữu một số bộ xử lý rất hiệu quả phân phối cho phương pháp siêu tập kết.

4.2/ Những vấn đề minh họa P1 và P2

Minh họa việc sử dụng PPPTHH từ hai ví dụ mà phương pháp chung với thể là ngoại suy. Xem như người đọc đã thân thuộc với đại số tuyến tính:

P₁ là bài toán một chiều

Sử dụng bài toán một chiều, tại đây, hàm f được xác định bởi u và u một hàm ẩn của x, u’’ là đạo hàm cấp Hai của u theo x

P₂ là bài toán hai chiều

Miền Ω là một miền đơn liên mở trong mặt phẳng (x,y), với biên ∂Ω rất “đẹp” (ví dụ: một đa tạp trơn hoặc một đa giác), {displaystyle u_{xx}}u_xx và u_yy {displaystyle u_{yy}} là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và y.

Ở ví dụ P1, với thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ thực hiện được trong ko gian một chiều và ko thể giải được trong ko gian với hơn hai chiều hoặc trong bài toán u + u’’ = f. Chính vì lý do này mà chúng ta sẽ phát triển phát triển FEM cho trường hợp P1 và phác họa tổng quát của FEM cho trường hợp P2.

Lời giải gồm hai bước, nó phản ánh hai bước chủ yếu phải thực hiện để giải một bài toán biên bằng FEM. Ở bước trước nhất, chúng ta sẽ trình diễn lại bài toán biên trong dạng sắp đúng của nó hoặc dạng biến phân. Rất ít hoặc ko với máy tính được sử dụng để thực hiện bước này, việc này được làm bằng tay ở trên giấy. Bước thứ hai là rời rạc hóa, dạng sắp đúng được rời rạc trong một ko gian hữu hạn chiều. Sau bước thứ hai này, chúng ta sẽ với biểu thức cụ thể cho toàn bộ bài toán nhưng lời giải của bài toán trong ko gian hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải sắp đúng của bài toán biên. Bài toán trong ko gian hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính.

4.3/ Công thức yếu

Bước trước nhất là chuyển đổi P1 và P2 thành công thức yếu tương đương của chúng.

Công thức yếu của P₁

Nếu u giải P₁ thì đối với bất kỳ hàm trơn v nào thỏa mãn điều kiện chuyển vị, v=0 lúc x=0 và x=1, ta với:

Trái lại, nếu u với u(0)=u(1)=0 thì thỏa mãn (1) cho hàm trơn v(x) sau đó ta với thể thấy là u sẽ giải được P1. Thử tiện dụng hơn đối với hai lần hàm khả vi u (định lí trị giá trung bình), nhưng cũng với thể được chứng minh theo phương phân bố.

Khái niệm một hàm mới bằng cách sử dụng tích hợp theo những phần ở bên tay phải của (1):

Với v(0)=v(1)=0

Công thức yếu của P₂

Nếu lấy tích phân từng phần bằng công thức Green, ta với thể giải được P2 bằng u, nếu khái niệm cho bất kỳ v

Trong đó, được định tức thị gradient và “.” là dấu chấm trong mặt phẳng hai chiều. Một lần nữa với thể quay về làm tích số trên ko gian thích hợp của hàm vi phân một lần của bằng ko trên . Chúng ta giả thiết rằng . Biển diễn được sự tồn tại và tính duy nhất của giải pháp,

4.3/ Sự rời rạc hóa

P1 và P2 đã sẵn sàng để được cụ thể hóa, dẫn tới một bài toán phụ phổ biến (3). Ý tưởng cơ bản là thay thế bài toán tuyến tính:

Tìm sao cho

Với một phiên bản hữu hạn chiều:

Tìm sao cho

trong đó V là một ko gian con hữu hạn chiều của . Sở hữu nhiều sự lựa chọn với thể cho V (một khả năng dẫn tới phương pháp quang đãng phổ). Tuy nhiên, đối với phương thức phần tử hữu hạn, chúng ta lấy V để là một ko gian của những hàm đa thức từng phần.

Cho bài toán P1

Lấy khoảng(0,1), chọn trị giá n của x với: và khái niệm V bằng: v liên tục, là tuyến tính, cho k=0,…n,a

Trong đó, ta khái niệm x₀=0 và x_n+1=1. QUan sát những hàm trong V ko khác biệt theo khái niệm cơ bản của phép tính. Thật vậy, nếu thì đạo hàm ko được xác định tại bất kì điểm nào ngoài x=x_k, k=1,…n. Tuy nhiên, đạo hàm tồn tại ở mọi trị giá khác của x và với thể sử dụng đạo hàm này cho mục đích tích phân theo từng phần.

Cho bài toán P2

Chúng ta cần V là một tập những hàm của . Trong hình bên phải, chúng tôi đã minh họa một hình tam giác của một vùng đa giác 15 trong mặt phẳng (bên dưới), và một hàm tuyến tính từng mẩu (trên, màu) của đa giác này là tuyến tính trên mỗi tam giác của phép đạc tam giác; ko gian V sẽ bao gồm những hàm tuyến tính trên mỗi tam giác của phép đạc tam giác đã chọn.

Kỳ vọng rằng lúc lưới tam giác bên dưới trở nên mịn hơn thì lời giải của bài toán rời rạc theo ý nghĩa nào nó sẽ xấp xỉ với đáp án của bài toán trị giá biên ban sơ P2.Để đo độ mịn của lưới này, phép đạc tam giác được lập chỉ mục bởi một thông số với trị giá thực với trị giá rất nhỏ. Thông số này sẽ liên quan tới kích thước của tam giác to nhất hoặc trung bình trong tam giác. Lúc ta chỉnh phép đạc tam giác , ko gian của những hàm tuyến tính liên kết V phải thay đổi theo h. Vì lí do này, thường đọc V_h thay vì V trong tài liệu.

Chọn một hạ tầng

Để hoàn thành việc rời rạc hóa, chúng ta phải chọn một hạ tầng của V. Trong trường hợp một chiều, cho mỗi điểm kiểm soát x_k, chúng tôi sẽ chọn hàm tuyến tính từng phần v_k trong V của trị giá Một tại x_k và 0 tại mọi x_j, j khác k

Cho k=1,…n; hạ tầng này là một hàm tăng. Đối với trường hợp hai chiều, chọn lại một hàm hạ tầng v_k trên mỗi đỉnh x_k của tam giác hai chiều . Hàm v_k là hàm đơn thuần của V với trị giá là Một tại x_k và 0 tại mỗi x_j,j khác k.

Tùy thuộc vào người sử dụng, từ “phần tử” trong “phương thức phần tử hữu hạn” nhắc tới những tam giác trong miền, hàm cơ bản tuyến tính từng phần hoặc cả hai. Vì vậy, ví dụ, một người sử dụng quan tâm tới những ngành nghề mặt cong với thể thay thế những hình tam giác bằng hình tròn, và do đó với thể mô tả những yếu tố như là curvilinear. Mặt khác, một số tác giả thay thế “tuyến tính từng phần ” bằng “bậc hai từng phần” hoặc thậm chí “đa thức từng phần”. Người sử dụng sau đó với thể nói “phần tử bậc cao hơn” thay vì “đa thức bậc cao”. Phương thức phần tử hữu hạn ko bị giới hạn trong tam giác (hoặc tứ diện trong 3-d, hoặc đơn vị bậc cao hơn trong ko gian đa chiều), nhưng với thể được khái niệm trên những tên miền phụ tứ giác (lục giác, lăng kính, hoặc kim tự tháp trong 3-d, vv). Những hình dạng bậc cao hơn (những phần tử đường cong) với thể được xác định bằng những hình đa thức và thậm chí ko đa thức (ví dụ như hình elip hoặc hình tròn).

Ví dụ về những phương pháp sử dụng những hàm hạ tầng đa thức bậc cao hơn là hp-FEM và spectral FEM.

Những triển khai tăng hơn (phương pháp phần tử hữu hạn thích ứng) sử dụng một phương pháp để thẩm định chất lượng của những kết quả (dựa trên lý thuyết ước tính lỗi) và sửa đổi lưới trong giải pháp nhằm đạt được giải pháp sắp đúng trong một số giới hạn từ giải pháp ‘chuẩn xác’ vấn đề. Lưới thích ứng với thể sử dụng những kỹ thuật khác nhau, phổ biến nhất là:

Những nút chuyển động (r-adaptivity)
Tinh luyện (và ko tinh luyện) những phần tử (h-adaptivity)
Thay đổi thứ tự của những hàm hạ tầng (p-adaptivity)
Sự kết hợp của những tính năng trên (hp-adaptivity).

Một vài tương trợ hạ tầng

Ưu điểm chính của sự lựa chọn hạ tầng này là những tích bên trong

Sẽ bằng 0 với hầu hết j, k. Ma trận chứa (v_j,v_k) trong (j,k) được gọi là ma trận Gramian. Trong trường hợp Một chiều, v_k được xác định từ . Sau đây, hàm lấy tích phân của (v_j,v_k) và (v_j,v_k) là y hệt nhau lúc và đều bằng 0.

Biểu mẫu của bài toán ma trận

Nếu ta viết và lúc đó bài toán biết v(x)=v_j(x) cho j=1,…,n trở thành cho j=1,…,n. Nếu chúng ta trình diễn bằng u và f là những vector cột (u₁,…u_n)^t và (f₁,…,f_n)^tvà nếu ta cho L=(L_ij) và M=(M_ij) là ma trận với mục: và . Sau đó: -Lu=Mf. Nó ko thực sự cần thiết để cho rằng . Đối với hàm tổng quát f(x) của bài toán với v(x)=v_j(x) với j=1,…,n, trở nên đơn thuần hơn vì ko cần sử dụng ma trận M: -Lu=b với b=(b₁,…,b_n)^t và , j=1,…,n.

Như chúng ta đã thảo luận từ trước, hầu hết những mục của L và M là bằng 0 vì hàm hạ tầng v_k với vùng tương trợ nhỏ. Vì vậy hiện nay chúng ta phải giải một hê tuyến tính trong lúc ko biết u hầu hết mục của ma trận L, ta cần nghịch đảo sau đó cho bằng 0.

Những ma trận này được gọi là ma trận thưa, và với những cách giải hiệu quả cho những bài toán tương tự (hiệu quả hơn nhiều so với nghịch đảo ma trận.) Ngoài ra, L là đối xứng và xác định dương, do đó, một phương pháp như phương pháp gradient liên hợp được ưa thích. Đối với những bài toán ko quá to, LU decompositions và Cholesky decompositions vẫn hoạt động tốt. Ví dụ, toán tử dấu gạch chéo ngược của MATLAB (trong đó sử dụng LU decompositions và Cholesky decompositions, và những phương pháp hệ số hóa khác) với thể đủ cho những mắt lưới với một trăm nghìn đỉnh.

Ma trận L thường được gọi là ma trận độ cứng, trong lúc ma trận M được gọi là ma trận khối lượng.

Dạng chung của phương pháp phần tử hữu hạn

Nói chung , phương pháp phần tử hữu hạn được đặc trưng bằng hai bước sau:

+ Chọn một dạng lưới cho . Lưới bao gồm hình tam giác, nhưng cũng với thể sử dụng hình vuông hoặc đa giác cong.

+ Sau đó chọn một hàm dạng cơ bản. Trong cuộc thảo luận, chúng ta đã sử dụng hàm từng phần tuyến tính cơ bản, nhưng hàm hạ tầng đa thức cũng được sử dụng rất phổ biến.

Một vấn đề khác là sự mịn lúc chia lưới của hàm hạ tầng đa thức. Đối với bài toán về trị giá biên của eliptic bậc hai, hàm hạ tầng đa thức chỉ đơn thuần là đáp ứng vừa đủ (tức là những đạo hàm ko liên tục).Với phương trình vi phân từng phần bậc hai, cần phải sử dụng một hàm hạ tầng mịn hơn. Ví dụ cho một bài toán khác như u_xxxx+u_yyyy=f, với thể sử dụng hàm hạ tầng bậc hai là C¹.

5/ Những loại phương pháp phần tử hữu hạn

5.1/ AEM

Phương pháp phần tử ứng dụng(AEM) kết hợp những tính năng của cả FEM và phướng pháp rời rạc hóa phần tử(DEM).

5.2/ Phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát

Phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát(GFEM) sử dụng ko gian quỹ tích gồm với của hàm số, ko cần thiết sử dụng đa thức, do đó phản ánh thông tin với sẵn về giải pháp chưa biết do đó đảm bảo xấp xỉ cục bộ tốt. Sau đó một phòng ban miền được sử dụng để lien kết những ko gian này với nhau tạo thành khoogn gian con sắp đúng. Hiệu quả của GFEM đã được thể hiện lúc ứng dụng cho những bài toán với đường biên phức tạp, những bài toán với quy mô nhỏ và những bài toán với những lớp ranh giới.

5.3/ Phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp

Phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp là một loại phương pháp phần tử hữu hạn trong đó những biến phụ độc lập được thêm vào dưới dạng những biến nút trong quá trình giải bài toán của một phương trình vi phân từng phần.

5.4/ hp-FEM

Phương pháp hp-FEM kết hợp linh động những phần tử với kích thước biến số h và bậc của đa thức p để đạt được tốc độ tập kết theo cấp số mũ cực kì nhanh.

5.5/ hpk-FEM

Phương pháp hpk-FEM kết hợp linh động, những phần tử với kích thước biến số h, bậc đa thức của những xấp xỉ cục bộ p và tính phổ thông toàn cục của những xấp xỉ cục bộ (k-1) để đạt được tốc độ tập kết tốt nhất

5.6/ XFEM

Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) là một bước tiến mới dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát (GFEM) và hàm phân bố thống nhất (PUM). Nó mở rộng phương pháp phần tử hữu hạn cổ điển bằng cách làm rộng ko gian giải pháp cho những giải pháp cho những phương trình vi phân với những hàm ko liên tục. Những phương thức phần tử hữu hạn mở rộng làm giàu ko gian xấp xỉ để nó với thể tái tạo một cách tự nhiên tính năng đầy thử thách liên quan tới vấn đề quan tâm: sự gián đoạn, kỳ dị, lớp biên, v.v. tính năng vào khoảng ko gian sắp đúng với thể cải thiện đáng kể tốc độ tập kết và độ chuẩn xác. Hơn nữa, xử lý những vấn đề với sự gián đoạn với XFEMs ngăn cản việc lưới và làm lại những bề mặt gián đoạn, do đó làm giảm giá thành tính toán và những lỗi chiếu liên quan tới những phương pháp phần tử hữu hạn thông thường, với giá thành hạn chế sự gián đoạn đối với những cạnh lưới.

Một số nghiên cứu thực hiện kỹ thuật này với những mức độ khác nhau: GetFEM++2, xfem++3 và open fem ++

XFEM cũng đã được thực hiện trong những chương trình như Altair Radioss, ASTER, Morfeo và Abaqus. Nó ngày càng được chấp nhận bởi những phần tử phần tử hữu hạn thương nghiệp khác, với một vài bổ sung và những triển khai lõi thực tế với sẵn (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, vv).

5.7/ Phương pháp phần tử hữu hạn tỷ lệ đường biên ( SBFEM )

Ra đời bởi Song và Wolf vào năm 1997. Là một trong những đóng góp với tác dụng to to trong ngành nghề phân tích số liệu của cơ học phá hủy. Nó là một phương pháp tích phân cơ bản, với giải pháp kết hợp những ưu điểm của cả những công thức và trật tự phần tử hữu hạn, và sự rời rạc hóa. Tuy nhiên nó ko yêu cầu lời giải vi phân cơ bản.

5.8/ S-FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn S-FEM, Smoothed, là một lớp cụ thể của những thuật toán mô phỏng số để mô phỏng những hiện tượng vật lý. Nó được phát triển bằng cách kết hợp những phương thức chia lưới tự do với phương thức phần tử hữu hạn.

5.9/ Phương pháp phần tử quang đãng phổ ( SEM )

Phương pháp phần tử quang đãng phổ kết hợp tính linh hoạt hình học của những phần tử hữu hạn và độ chuẩn xác cấp tính của những phương pháp phổ. Phương pháp quang đãng phổ là giải pháp sắp đúng của những phương trình từng phần yếu hình thành dựa trên nội suy bậc cao Lagragian và chỉ được sử dụng với những quy tắc bậc hai nhất định.

5.10/ Liên kết với phương pháp discretisation gradient

Một số loại phương pháp phần tử hữu hạn (thích hợp, ko thích hợp, những phương thức phần tử hữu hạn hỗn hợp) là những trường hợp cụ thể của phương thức phóng thích gradient (GDM). Do đó những đặc tính tập kết của GDM, được thiết lập cho một loạt những vấn đề (những vấn đề elliptic tuyến tính và phi tuyến tính, những vấn đề parabolic tuyến tính, phi tuyến và thoái hóa), giữ cho những phương pháp phần tử hữu hạn đặc trưng này.

5.11/ So sánh với phương pháp sai phân hữu hạn:

Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) là một cách thay thế xấp xỉ những giải pháp của PDE. Sự khác biệt giữa FEM và FDM là:

+ Tính năng quyến rũ nhất của FEM là khả năng xử lý hình học phức tạp (và biên) một cách tiện dụng. Trong lúc đó FDM cơ bản chỉ ứng dụng được trong những hình chữ nhật đơn thuần, việc xử lý những bài toán hình học trong FEM về mặt lý thuyết là đơn thuần hơn.

+ FDM thường ko được sử dụng cho hình học CAD ko thường xuyên nhưng thường là những mô phỏng hình chữ nhật hoặc mô phỏng khối.

+ FDM rất dễ làm

+ Sở hữu thể xem FDM là một trường hợp sắp đúng của FEM. Những bước trước nhất của FDM y hệt FEM với phương trình Poisson, nếu bài toán rời rạc hóa bằng lưới hình chữ nhật với mỗi hình chữ nhật chia thành hai tam giác.

+ Sở hữu nhiều lý do để xem xét nền tảng toán học của phần tử hữu hạn xấp xỉ hợp lí nhiều hơn, ví dụ, bởi vì chất lượng của xấp xỉ giữa những điểm lưới là kém trong FDM.

+ Chất lượng của một FEM xấp xỉ thường cao hơn so với FDM xấp xỉ tương ứng, nhưng điều này lại phụ thuộc vào số hạng đầu của bài toán và một số trường hợp cho kết quả trái lại.

Nói chung, FEM là phương pháp được lựa chọn trong tất cả những loại phân tích trong cơ học kết cấu (ví dụ khắc phục biến dạng và ứng suất trong vật rắn hoặc động lực học cấu trúc) trong lúc động lực học chất lỏng (CFD) với xu hướng sử dụng FDM hoặc những phương pháp khác như phương pháp khối lượng hữu hạn ( FVM). Những vấn đề CFD thường đòi hỏi phải giải bài toán thành một số lượng to những ô / điểm lưới (hàng triệu lần trở lên), do đó giá thành của giải pháp ưu tiên đơn thuần hơn, xấp xỉ bậc thấp hơn trong mỗi ô. Điều này đặc trưng đúng đối với những vấn đề ‘lưu lượng bên ngoài’, như luồng ko khí xung quanh xe khá hoặc phi cơ, hoặc mô phỏng thời tiết.

By duc_adv | 27 Tháng Bảy, 2018 | | Một Comment