Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải

Phương trình lượng giác cơ bản là tri thức quan yếu mà những em cần nắm chắc trong chương trình Toán lớp 11. Đây chính là nền tảng cần thiết sẽ giúp những em khắc phục nhanh và chuẩn xác những bài toán phương trình lượng giác khác nhau. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ sản xuất cho những em một số tri thức về lý thuyết cũng như chi tiết cách giải phương trình lượng giác cơ bản.

Những phương trình lượng giác cơ bản 

Những phương trình lượng giác cơ bản (Nguồn: Internet)

Phương trình sin x = sin α, sin x = a (1)

  • Nếu |a|>Một thì phương trình vô nghiệm 
  • Nếu |a|≤Một thì chọn cung α sao cho sinα=a. Lúc đó (1)

Những trường hợp đặc thù:

  • sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
  • sin x =1 ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z)
  • sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π (k ∈ Z)
  • sin x = ±1 ⇔ sin x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình cos x = cos α, cos x = a (2)

  • Nếu |a|>Một thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu |a|≤Một thì chọn cung α sao cho cosα = a.

Lúc đó (2) ⇔ cosx = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)

b. cosx = a điều kiện -1 ≤ a ≤ 1

cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z)

c. cosu = cosv ⇔ cosu = cos( π – v)

d. cosu = sinv ⇔ cosu = cos(π/2 – v)

e. cosu = – sinv ⇔ cosu = cos(π/2 + v)

Những trường hợp đặc thù

Phương trình tan x = tan α, tan x = a (3)

Chọn cung α sao cho tanα=a. Lúc đó (3)

Những trường hợp đặc thù

  • tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
  • tanx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình cot x = cot α, cot x = a (4)

Lúc đó (3) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

cotx = a ⇔ x = arccota + kπ (k ∈ Z)

Những trường hợp đặc thù:

  • cotx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
  • cotx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình hàng đầu đối với một hàm số lượng giác

Dạng asinx + b; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx+ b = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

Cách giải:

Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng asin x + bsinx + c = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

Phương pháp

Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t.

Ví dụ: Giải phương trình asin x + bsinx + c = 0

Đặt t = sinx (-1≤ t ≤1) ta mang phương trình at + bt + c = 0

Lưu ý lúc đặt t = sinx hoặc t = cosx thì phải mang điều kiện -1≤ t ≤1

Một số điều cần chú ý

  1. a) Lúc giải phương trình mang chứa những hàm số tang, cotang, mang mẫu số hoặc chứa căn

bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

b) Lúc tìm được nghiệm phải rà soát điều kiện. Ta thường tiêu dùng một trong những cách

sau để rà soát điều kiện:

Rà soát trực tiếp bằng cách thay trị giá của x vào biểu thức điều kiện.

Tiêu dùng đường tròn lượng giác để trình diễn nghiệm

Giải những phương trình vô định.

c) Sử dụng MTCT để thử lại những đáp án trắc nghiệm

Những dạng bài tập về phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp: Tiêu dùng những công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình

Ví dụ 1: Giải những phương trình lượng giác sau:

  1. a) sinx = sin(π/6). c) tanx – 1 = 0
  2. b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x.

Lời giải

  1. a) sinx = sinπ/6
  1. b) 2cosx = 1 ⇔ cosx = ½ ⇔ x = ± π/3 + k2π (k ∈ Z)
  2. c) tanx = 1 ⇔ cosx = π/4 + kπ (k ∈ Z)
  3. d) cotx = tan2x

⇔cotx = cot(π/2 – 2x)

⇔ x = π/2 – 2x + kπ

⇔ x = π/6 + kπ/3 (k ∈ Z)

Ví dụ 2: Giải những phương trình lượng giác sau:

  1. a) cos2 x – sin2x =0.
  2. b) 2sin(2x – 40º) = √3

Lời giải

  1. a) cos x – sin x=0 ⇔ cos x – 2sinx.cosx = 0

⇔ cosx (cosx – 2sinx )=0

b) Hai sin(2x-40º )=√3

⇔ sin(2x-40º )=√3/2

Ví dụ 3: Giải những phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

Phương trình hàng đầu mang một hàm lượng giác

Phương pháp: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Phương trình bậc hai mang một hàm lượng giác

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình mang dạng :

a.f (x) + b.f(x) + c = 0 với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).

Cách giải:

Đặt t = f(x) ta mang phương trình : at + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Lúc đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta mang điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Ví dụ: sin x +2sinx – 3 = 0

Ví dụ 2: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0

Lời giải:

⇔ 1 + Hai sinx cosx + 2(cosx+sinx ) = 0

⇔ cos2x + sin2x + Hai sinxcosx + 2 (cosx+sinx )=0

⇔ (sinx + cosx)2 + 2 (cosx+sinx )=0

Phương trình hàng đầu theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là những số thực khác 0.

Ví dụ: Giải phương trình sau: cos x – sin2x = 0.

Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Phương pháp

Phương trình đối xứng là phương trình mang dạng:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng mang dạng:

a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (4) ta mang được phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2.

Lý thuyết cũng như cách giải phương trình lượng giác cơ bản vừa được Team Marathon Education tổng hợp và san sớt với những em ở trên. Mong rằng những tri thức hữu ích này mang thể giúp những em mang thêm hành trang để tiếp tục hành trình chinh phục môn Toán học. Chúc những em học tốt và mang nhiều thành tích cao!

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu những em mang nhu cầu học trực tuyến online tăng tri thức nhé! Marathon Education chúc những em được điểm cao trong những bài rà soát và kỳ thi sắp tới!

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *