Với Giải Toán 10 trang 41 Tập Hai trong Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Toán lớp 10 Tập Hai Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học trò tiện lợi làm bài tập Toán 10 trang 41.
Giải Toán 10 trang 41 Tập Hai Kết nối tri thức
Vận dụng trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội với một ao cá với hình trạng chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, với điểm O trùng với điểm B, những tia Ox, Oy tương ứng trùng với những tia BC, BA. Chọn Một đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với Một m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của những điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và với thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu với thể rơi vào nơi nuôi vịt hay ko ?
Lời giải:
a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau:
Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B với tọa độ là (0; 0).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m.
Điểm A thuộc trục Oy và với AO = AB = 12 m nên A với tọa độ là (0; 12).
Điểm C thuộc trục Ox và với CO = CB = 15 m nên C với tọa độ là (15; 0).
Ta với: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D với tọa độ là (15; 12).
Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại với AE = 5 m, do đó điểm E với tọa độ là (5; 12).
Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại với CF = 6 m, do đó điểm F với tọa độ là (15; 6).
Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6).
Ta với: EF→=15−5;6−12=10;−6.
Chọn vectơ u→=12EF→=5;−3 làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là n→=3; 5.
Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và với một vectơ pháp tuyến là n→=3; 5, do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0.
b) Vận dụng công thức tính khoảng cách, ta với khoảng cách từ B tới EF là:
dB, EF=3.0+5.0−7532+52=7534≈ 12,9 m.
Khoảng cách từ B tới EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng tới EF, lưỡi câu với thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu ko thể rơi vào vị trí nuôi vịt.
Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa những cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: 32x+2y−3=0và ∆2: 6x + 2y −6= 0.
b) d1: x −3y+ 2 = 0 và d2: 3x– 3y + 2 = 0.
c) m1: x – 2y + 1 = 0 và m2: 3x + y – 2 = 0.
Lời giải:
a) Đường thẳng ∆1: 32x+2y−3=0có vectơ pháp tuyến là n→1=32;2.
Đường thẳng ∆2: 6x + 2y−6 = 0 với vectơ pháp tuyến là n→2=6; 2.
Ta với: n→1=22n→Hai nên hai vectơ n→Một và n→Hai cùng phương, do đó hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm A0;62 vừa thuộc ∆1 vừa thuộc ∆2.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trùng nhau.
b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1: x−3y + 2 = 0 là n1→=1;−3 và của d2: 3x – 3y + 2 = 0 là n2→=3;−3.
Ta với: n2→=3n1→ nên hai vectơ n→Một và n→Hai cùng phương, do đó hai đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d1 nhưng ko thuộc d2.
Vậy hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
c) Xét hệ phương trình x−2y+1=03x+y−2=0⇔3x−6y+3=0 13x+y−2=0 2.
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 ⇔y=57.
Thay vào (1) ta được: 3x−6.57+3=0⇔x=37.
Do đó hệ trên với nghiệm duy nhất 37;57.
Vậy hai đường thẳng m1 và m2 cắt nhau tại điểm với tọa độ 37;57.
Bài 7.8 trang 41 Toán 10 Tập 2: Tính góc giữa những cặp đường thẳng sau:
a) ∆1:3x + y – 4 = 0 và ∆2: x +3y + 3 = 0;
b) d1: x=−1+2ty=3+4tvà d2: x=3+sy=1−3s (t, s là những thông số).
Lời giải:
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1: 3x+ y – 4 = 0 là n1→=3; Một và của ∆2: x +3y + 3 = 0 là n2→=1; 3.
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Ta với:
cosφ = cosn1→, n2→=n1→. n2→n1→. n2→=3.1+1.332+12.12+32=232.2=32.
Do đó, góc giữa ∆1 và ∆2 là φ = 30°.
b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là u1→=2; 4, của đường thẳng d2 là u2→=1; −3.
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là n1→=4;−2, của đường thẳng d2 là n2→=3; 1.
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Ta với:
cosα = cosn1→, n2→=n1→. n2→n1→. n2→=4.3+−2.142+−22.32+12=1020.10=22.
Do đó, góc giữa d1 và d2 là α = 45°.
Bài 7.9 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.
Lời giải:
a) Vận dụng công thức tính khoảng cách, ta với khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng ∆ là: d(A, ∆) = 0+−2−412+12=62=32.
Vậy khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng ∆ là 32.
b) Đường thẳng ∆ với vectơ pháp tuyến là nΔ→=1; 1.
Do a // ∆, nên vectơ pháp tuyến của a là na→=nΔ→=1; 1.
Đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và với vectơ pháp tuyến là na→=1; 1, do đó phương trình đường thẳng a là: 1(x + 1) + 1(y – 0) = 0 hay x + y + 1 = 0.
c) Đường thẳng ∆ với vectơ chỉ phương là uΔ→=1; −1.
Do b ⊥ ∆, nên vectơ pháp tuyến của b là nb→=uΔ→=1; −1.
Đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và với vectơ pháp tuyến là nb→=1; −1, do đó phương trình đường thẳng b là: 1(x – 0) – 1(y – 3) = 0 hay x – y + 3 = 0.
Bài 7.10 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải:
a) Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh của tam giác ABC chính là khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng BC.
Ta với: BC→=−2−3;−1−2=−5;−3.
Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là u→=−BC→=5; 3.
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là n→=3; −5.
Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 2) và với vectơ pháp tuyến n→=3; −5, do đó phương trình đường thẳng BC là: 3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 hay 3x – 5y + 1 = 0.
Lúc đó khoảng cách từ A tới BC là:
d(A, BC) = 3.1−5.0+132+52=434=23417.
Vậy độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là h = 23417.
b) Ta với: BC = BC→=−52+−32=34.
Diện tích tam giác ABC là:
S = 12h.BC=12.23417.34=2(đvdt).
Vậy diện tích tam giác ABC là Hai đvdt.
Bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau lúc và chỉ lúc aa' = – 1.
Lời giải:
Ta với: y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n→=a; −1.
Lại với: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là n'→=a'; −1.
Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau lúc n→⊥n'→⇔n→.n'→=0⇔a.a'+−1.−1=0
⇔a.a'+1=0⇔a.a'=−1.
Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.
Bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời khắc. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Lời giải:
Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.
Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời khắc nên HO = HA = HB.
Ta với: HO→=−a;−b, HA→=1−a;−b, HC→=1−a;3−b.
Do đó: HO=−a2+−b2=a2+b2, HA=1−a2+−b2=a−12+b2, HC=1−a2+3−b2=a−12+b−32.
Vì HO = HA nên a2+b2=a−12+b2 ⇒a2+b2=a−12+b2
⇔ a2 = a2 – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = 12.
Vì HA = HB nên a−12+b2=a−12+b−32
⇒a−12+b2=a−12+b−32
⇔ b2 = b2 – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = 32.
Thay a = 12 và b = 32 vào những phương trình ta thấy đều thỏa mãn.
Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H với tọa độ 12; 32.
Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Kết nối tri thức hay khác:
Giải Toán 10 trang 36
Giải Toán 10 trang 37
Giải Toán 10 trang 38
Giải Toán 10 trang 39
Giải Toán 10 trang 40
Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Toán 10 Bài 22: Ba đường conic
Toán 10 Bài tập cuối chương 7
Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm
Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Nhà băng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 7500 câu trắc nghiệm Toán 10 với đáp án
- Hơn 5000 câu trắc nghiệm Hóa 10 với đáp án chi tiết
- Sắp 4000 câu trắc nghiệm Vật lý 10 với đáp án
--- Cập nhật: 17-03-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Giải SGK Toán 10 trang 41 - Tập 2 sách Kết nối tri thức với cuộc sống từ website download.vn cho từ khoá giải bài tập toán 10 sgk tr 41.
Giải Toán 10 Bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Góc và khoảng cách Kết nối tri thức với cuộc sống giúp những em học trò lớp 10 tham khảo phương pháp bài tập SGK Toán 10 tập Hai trang 41 thuộc Chương 7 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Toán 10 Kết nối tri thức tập Hai trang 41 được soạn rất chi tiết, hướng dẫn những em phương pháp giải rõ ràng để những em hiểu được bài vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nhanh nhất. Đồng thời qua giải Toán lớp 10 trang 41 học trò tự rèn luyện củng cố, bồi dưỡng và rà soát vốn tri thức toán của bản thân mình để học tốt chương 7.
Toán 10: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
- Giải Toán 10 trang 41 Kết nối tri thức - Tập 2
- Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Giải Toán 10 trang 41 Kết nối tri thức - Tập 2
Bài 7.7 trang 41
Xét vị trí tương đối giữa những cặp đường thẳng sau:
a. và
b. và
c. và
Gợi ý đáp án
với vecto pháp tuyển:
với vecto pháp tuyển:
Ta với cùng phương, nên và song song hoặc trùng nhau.
Ta với:
Vậy và trùng nhau.
b. Ta với:
Mà nên song song.
c. với vecto pháp tuyến:
với vecto pháp tuyến:
Ta với và ko cùng phương, nên và cắt nhau.
Bài 7.8 trang 41
Tính góc giữa những cặp đường thẳng sau:
và
b. (t, s là những thông số)
Gợi ý đáp án
a.
với vecto pháp tuyến
với vecto pháp tuyến
Gọi là góc giữa hai đường thẳng
Do đó góc giữa
b.
với vecto chỉ phương
với vecto chỉ phương
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và , ta với:
Do đó góc giữa và là
Bài 7.9 trang 41
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng
a. Tính khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng
b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với
c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với
Gợi ý đáp án
a. Khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng là:
b. đường thẳng a song song với nên đường thẳng a với dạng: x + y + c = 0.
Do a đi qua M nên: -1 + 0 + c = 0, suy ra c = 1.
Vậy phương trình đường thẳng a: x + y + 1 = 0.
c. Đường thẳng b vuông góc với nên đường thẳng b với vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của đường thẳng b:
Phương trình thông số của đường thẳng b là:
Bài 7.10 trang 41
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).
a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Gợi ý đáp án
a.
Viết phương trình đường thẳng BC: với vecto chỉ phương là và đi qua B(3; 2).
Đường thẳng BC với vecto pháp tuyến là:
Phương trình đường thẳng BC là: 3(x - 3) - 5(y - 2) = 0, Hay 3x - 5y +1 = 0
Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A tới đường thẳng BC.
Vận dụng công thức khoảng cách với:
b.
Độ dài đoạn BC là:
Diện tích tam giác ABC là:
Bài 7.11 trang 41
Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a neq 0) và d': y = a'x + b' () vuông góc với nhau lúc và chỉ lúc aa' = -1.
Gợi ý đáp án
Giả sử đường thẳng d và d' vuông góc với nhau, ta chứng minh aa' = -1. Thật vậy,
Đường thẳng d với vecto pháp tuyến:
Đường thẳng d' với vecto pháp tuyến:
Do đường thẳng d và d' vuông góc với nhau nên
.a' + (-1).(-1) = 0, hay a.a' = -1.
Giả sử a.a' = -1, ta chứng minh đường thẳng d và d' vuông góc với nhau. Thật vậy,
Xét tích vô hướng:
Vậy đường thẳng d và d' vuông góc với nhau.
Bài 7.12 trang 41
Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời khắc. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Gợi ý đáp án
Gọi điểm phát tín hiệu là I(x; y).
Do vị trí I đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại O, A, B nhận được cùng một thời khắc nên: IO = IA = IB.
Ta với:
Vì IO = IA = IB, nên ta với hệ phương trình:
Vậy điểm cần tìm là
Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm với toa độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vi vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng. Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng
Lúc đó, toạ độ giao điểm của là nghiệm của hệ phương trình:
cắt tại ⇔ hệ Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Giải SGK Toán 10 trang 41 - Tập 2 sách Kết nối tri thức với cuộc sống với nghiệm duy nhất .
song song với ⇔ hệ Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Giải SGK Toán 10 trang 41 - Tập 2 sách Kết nối tri thức với cuộc sống vô nghiệm.
trùng ⇔ hệ Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Giải SGK Toán 10 trang 41 - Tập 2 sách Kết nối tri thức với cuộc sống với vô số nghiệm.
Chú ý
Dựa vào những vectơ chỉ phương hoặc những vectơ pháp tuyến của ta với:
+ và song song hoặc trùng nhau ⇔ cùng phương ⇔ và cùng phương.
+ và cắt nhau ⇔ ko cùng phương ⇔ và ko cùng phương.
Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mỗi đường thẳng sau:
Giải
Vì
Vậy và là một, tức là chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng và với hai vectơ pháp tuyến và cùng phương.
Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng nhưng ko thuộc đường thẳng nên hai đường thẳng này ko trùng nhau.
Vậy và song song với nhau.
Nhận xét: Giả sử hai đường thẳng , với hai vectơ chỉ phương (hay hai vectơ pháp tuyến ) cùng phương. Lúc đó:
+ Nếu Và với điểm chung thì trùng .
+ Nếu tồn tại điểm thuộc nhưng ko thuộc thì song song với .