Phương pháp quy nạp toán học – Giải bài tập SGK Toán 11

Quy nạp toán học là phương pháp tiêu dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Nó thường được tiêu dùng để chứng minh mệnh đề của tập hợp tất cả những số tự nhiên. Quy nạp toán học là phương pháp chứng minh trực tiếp, chúng ta sẽ sở hữu những bước giả sử, giả thuyết để sở hữu thể chứng minh được những bài toán khác nhau. Vậy để chứng minh được, hãy cùng Toppy tới với bài giảng: Phương pháp quy nạp toán học, được hàng ngũ thầy giáo Toppy soạn bám sát chương trình nhằm giúp những em nắm chắc được tri thức. Cùng vào bài học ngay nào!

Bài giảng bao gồm 3 phần chính

  • Tổng hợp lý thuyết cần nắm và những ví dụ
  • Hướng dẫn giải bài tập SGK
  • Những bài tập tự luyện

Tổng hợp lý thuyết về Phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan tới số tự nhiên n∈N∗ là đúng với mọi n mà ko thể thử trực tiếp được thì sở hữu thể làm như sau :

Bước 1 : Rà soát rằng mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k≥1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

🍀 Giả sử  P(n) Là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n. Nếu cả hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây được thỏa mãn thì P(n) đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước).

(i)P(m) đúng.

(ii) Với mỗi số tự nhiên k≥m, nếu P(k+1) đúng.

🍀Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắt là phương pháp quy nạp).

CHÚ Ý:

🍀 Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng lúc n=m .

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k≥m . Giả sử P(n) đúng lúc n=k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng lúc n=k+1 . Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥m.

Ví dụ vận dụng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì

a. 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2

Giải

a. 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2 (1)

Bước 1:

Với n=1: Vế trái của (1) =1.4=4 ; Vế phải của (1) =1(1+1)2=4 . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n=1.

Bước 2: 

Giả sử (1) đúng với n=k . Với tức thị ta sở hữu: 1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1 . Với nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

Thật vậy 1.4+2.7+⋯+k(3k+1)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 (đpcm)

Vậy (1) đúng lúc n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi n∈N∗.

Ta phải chứng minh (2) đúng với n=k+1 . Với nghĩa ta phải chứng minh:

Vậy (2) đúng lúc n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (2) đúng với mọi n∈N∗.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì 9^n−1 luôn chia hết cho 8.

Giải

Bước 1:

Với n=1: Ta sở hữu u1=9^1−1 chia hết cho 8.

Bước 2: 

Giả sử với  n=k≥1 ta sở hữu uk=9^k−1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh  uk+1=9^k+1−1 chia hết cho 8

Thật vậy, ta sở hữu uk+1=9^k+1−1=9.9^k−1=9(9^k−1)+8=9uk+8  . Vì  9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk+1  cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi n∈N∗ thì un chia hết cho 8.

Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương pháp quy nạp

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta sở hữu những đẳng thức:

Lời giải:

a. + Với n = 1, ta sở hữu:

VT = 3 – 1 = 2

⇒ VT = VP

⇒ (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ Một tức thị:

2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2.

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :

Thật vậy :

Ta sở hữu :

b) + Với n = 1 :

Vậy (2) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: 

Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là: 

Thật vậy, ta sở hữu :

c. + Với n = 1 :

⇒ (3) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k tức thị :

Cần chứng minh (3) đúng lúc n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

b. 4n + 15n – Một chia hết cho 9

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a. Cách 1: Quy nạp

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta sở hữu: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ Một ta sở hữu:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta sở hữu:

Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3

Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ Ak + 1 ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Với: n3 + 3n2 + 5n

= n.(n2 + 3n + 5)

= n.(n2 + 3n + 2 + 3)

= n.(n2 + 3n + 2) + 3n

= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tục)

3n ⋮ 3

⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

>> Xem thêm những bài giảng khác tại: Toppy.

b. 4n + 15n – Một chia hết cho 9

Đặt An = 4n + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ Một tức thị:

Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Ak + 1 chia hết 9

Thật vậy, ta sở hữu:

Ak + 1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4k + 15k + 15 – 1

= 4.(4k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

= 4.(4k +15k- 1) – 45k + 18

= 4. Ak + (- 45k + 18)

Ta sở hữu: Ak⋮ 9 và ( – 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên Ak + 1 ⋮ 9

Vậy 4n + 15n – Một chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ Một ta sở hữu:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta sở hữu:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

= Uk + 3(k2 + k + 4)

Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ Uk + 1 ⋮ 6.

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta sở hữu những bất đẳng thức:

Lời giải:

Thật vậy, ta sở hữu:

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Thật vậy, ta sở hữu:

2k + 2 = 2.2k + 1

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):

a.Tính S1, S2, S3

b.Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *