Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12

Hướng dẫn giải Bài §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài Một Hai 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập giải tích với trong SGK để giúp những em học trò học tốt môn toán lớp 12.


Lý thuyết

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (y=f(x)):

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

– Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm (f'(x)).

+ Tìm những điểm mà tại đó (f'(x)=0) hoặc ko xác định.

+ Xét dấu đạo hàm (f'(x)) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tính những giới hạn (lim_{xrightarrow +infty }y,lim_{xrightarrow -infty }y) và những giới hạn với kết quả là vô cực ((= pm infty)), tìm những đường tiệm cận (nếu với)

– Bước 3: Vẽ đồ thị

+ Xác định những điểm đặc thù: giao với Ox, Oy điểm với tọa độ nguyên.

+ Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu với).

Chú ý:

– Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm (I(x_0,f(x_0))) với (x_0) là nghiệm phương trình (f”(x_0)=0) làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số phân thức hàng đầu / hàng đầu nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số lẻ nhận (O(0;0)) làm tâm đối xứng.

– Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

2. Những dạng đồ thị của những hàm số thường gặp

a) Những dạng đồ thị hàm số bậc ba:

(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + dleft( {a ne 0} right))

b) Những dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương:

(y = a{x^4} + b{x^2} + cleft( {a ne 0} right))

c) Những dạng đồ thị hàm số phân thức hàng đầu / hàng đầu:

(y = frac{{ax + b}}{{cx + d}};(c ne 0,;ad – bc ne 0))

3. Chứng minh ((x_{0};y_{0})) là tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Vậy để chứng minh (I(x_{0};y_{0})) là tâm đối xứng, ta tiêu dùng công thức đổi trục: (left{begin{matrix} x=x_{0}+X & y=y_{0}+Y & end{matrix}right.) để đưa hệ trục Oxy về hệ trục IXY (gốc I) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho với dạng Y=g(X) là hàm số lẻ.

Chú ý:

(M(x,y)in (C)Leftrightarrow y=f(x)Leftrightarrow Y+y_{0}=f(X+x_{0})Leftrightarrow Y=g(X)).

4. Chứng minh đường thẳng (Delta : x=x_{0}) là trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

Đồ thị của hàm số chẵn luôn nhận trục tung là trục đối xứng. Vậy để chứng minh đường thẳng (Delta : x=x_{0}) là trục đối xứng, ta tiêu dùng công thức đổi trục (left{begin{matrix} x=x_{0}+X & y=Y & end{matrix}right.) để đưa hệ số Oxy về hệ trục IXY ((Delta) là trục tung) và chứng minh: trong hệ trục IXY, hàm số đã cho với dạng Y=g(X) là hàm số chẵn.

5. Tương giao của những đồ thị

Cho hai đồ thị ((C_{1}):y=f(x);) và ((C_{2}):y=g(x).)

Phương trình xác định hoành độ giao điểm của ((C_{1})) và ((C_{2})) là: f(x)=g(x). (1)

– Nếu (1) vô nghiệm thì ((C_{1})) và ((C_{2})) ko với điểm chung (ko cắt nhau và ko xúc tiếp với nhau).

– Nếu (1) với nnghiệm phân biệt thì ((C_{1})) và ((C_{2})) giao nhau tại n điểm phân biệt. Nghiệm của (1) chính là hoành độ những giao điểm.

Chú ý:

– ((C_{1})) xúc tiếp với ((C_{2})) (Leftrightarrow) hệ (left{ begin{matrix} f(x) =g(x)& f'(x)=g'(x) & end{matrix}right.) với nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

– Đường thẳng (d): y: mx+n xúc tiếp với parabol (-1) (Leftrightarrow) hệ (left{ begin{matrix} ax^{2}+bx+c=mx+n 2ax+b=m) & end{matrix}right.) với nghiệm

(Leftrightarrow) phương trình (Leftrightarrow) (ax^{2}+bx+c=mx+n) với nghiệm kép.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời những thắc mắc và bài tập trong phần hoạt động của học trò sgk Giải tích 12.


Nghi vấn

1. Trả lời thắc mắc Một trang 32 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số đã học theo sơ đồ trên.

$y = ax + b$

$y = ax^2 + bx + c$

Trả lời:

Hàm số $y = ax + b$

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty cr
& mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty cr} )

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

– TXĐ: $D = R.$

– Sự biến thiên.

$y’ = a < 0$. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ $R$.

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty cr
& mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty cr} )

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Hàm số y = ax2 + bx + c

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên.

$y’ = 2ax + b.$

(y’ = 0 Rightarrow x = {{ – b} over {2a}})

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty cr
& mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty cr} )

– Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞, ({{ – b} over {2a}})).

Hàm số đồng biến trên khoảng [({{ – b} over {2a}}), +∞].

Hàm số đạt cực tiểu bằng ( – {Delta over {4a}}) tại x = ({{ – b} over {2a}})

– Đồ thị:

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên.

$y’ = 2ax + b$.

Cho (y’ = 0 Rightarrow x = {{ – b} over {2a}})

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty cr
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty cr} )

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, ({{ – b} over {2a}})).

Hàm số nghịch biến trên khoảng ([{{ – b} over {2a}}, +∞]).

Hàm số đạt cực đại bằng ( – {Delta over {4a}}) tại x = ({{ – b} over {2a}})

– Đồ thị:


2. Trả lời thắc mắc Hai trang 33 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 4$. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số này với đồ thị của hàm số khảo sát trong Ví dụ $1$.

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty cr
& mathop {lim }limits_{x – infty } y = + infty cr} )

$y’ = -3x^2 + 6x$. Cho $y’ = 0 ⇒ x = 0$ hoặc $x = 2$.

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0,2)$

Hàm số nghịch biến trên những khoảng $(-∞,0), (2,+ ∞)$.

Hàm số đạt cực đại bằng $0$ tại $x = 2$.

Hàm số đạt cực tiểu bằng $-4$ tại $x = 0$.

– Đồ thị

Nhận xét: hai đồ thị đối xứng nhau qua $Oy$.


3. Trả lời thắc mắc 3 trang 35 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (y = {{{x^3}} over 3} – {x^2} + x + 1)

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty cr
& mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty cr} )

$y’ = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 ≥ 0$ với mọi $x$. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ $R$.

Cho $y’ = 0 ⇒ x = 1$.

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:


4. Trả lời thắc mắc 4 trang 36 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.

Bằng đồ thị, biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình $-x^4 + 2x^2 + 3 = m.$

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

– Sự biến thiên:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty cr
& mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty cr} )

$y’ = -4x^3 + 4x.$ Cho $y’ = 0 ⇒ x = 0$ hoặc $x = ±1.$

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên: $(-∞,-1), (0,1)$.

Hàm số nghịch biến trên: $(-1,0), (1, +∞)$.

Hàm số đạt cực đại bằng $4$ tại $x = -1$ và $x = 1$.

Hàm số đạt cực tiểu bằng $3$ tại $x = 0$.

– Đồ thị

Giải biện luận phương trình $-x^4 + 2x^2 + 3 = m$.

Số giao điểm của hai đồ thị $y = -x^4 + 2x^2 + 3$ và $y = m$ là số nghiệm của phương trình trên.

– Với $m = 4$ và $m < 3$. Hai đồ thị giao nhau tại $2$ điểm phân biệt nên phương trình với hai nghiệm phân biệt.

– Với $m = 3$. Hai đồ thị giao nhau tại $3$ điểm phân biệt nên phương trình với ba nghiệm phân biệt.

– Với $3 < m < 4$. Hai đồ thị giao nhau tại $4$ điểm phân biệt nên phương trình với bốn nghiệm phân biệt.


5. Trả lời thắc mắc 5 trang 38 sgk Giải tích 12

Lấy một ví dụ về hàm số dạng $y = ax^4 + bx^2 + c$ sao cho phương trình $y’ = 0$ chỉ với một nghiệm.

Trả lời:

Ví dụ: hàm số $y = x^4$. Mang đạo hàm $y’ = 4x^3$. Cho $y’ = 0$ thì $x = 0$.


6. Trả lời thắc mắc 6 trang 42 sgk Giải tích 12

Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

$y = x^2 + 2x – 3;$

$y = -x^2 – x + 2.$

Trả lời:

Xét phương trình tương giao:

$x^2 + 2x – 3 = -x^2 – x + 2$

$⇔ 2x^2 + 3x – 5 = 0$

$⇔ x = 1$ hoặc $x = -frac{5}{2}$.

Vậy tọa độ giao điểm là $(1, 0)$ và $(-frac{5}{2}, 8.25)$.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài Một Hai 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12. Những bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!


Bài tập

Giaibaisgk.com giới thiệu với những bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập giải tích 12 kèm bài giải chi tiết bài Một Hai 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12 của Bài §5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trong Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho những bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập những bạn xem dưới đây:

Giải bài Một Hai 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12

1. Giải bài Một trang 43 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số bậc ba sau:

a) (small y = 2 + 3x – x^3).

b) (small y = x^3 + 4x^2 + 4x).

c) (small y = x^3 + x^2+ 9x).

d) (small y = -2x^3 + 5).

Bài giải:

a) (y=2+3x-{{x}^{3}}.)

– TXĐ: (D=R.)

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’=3-3{{x}^{2}}Rightarrow y’=0Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0Leftrightarrow left[ begin{align}& x=1 & x=-1 end{align} right..)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại (x=1; {{y}_{CD}}=yleft( Một right)=4.) Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-1; {{y}_{CT}}=yleft( -Một right)=0.)

– Giới hạn vô cực: (underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=+infty ; underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=-infty .)

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Ta với: (2+3x-{{x}^{3}}=0Leftrightarrow left[ begin{align} & x=2 & x=-1 end{align} right..)

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại Hai điểm (left( 2; 0 right)) và (left( -1; 0 right).)

Ta với: (y”=6x); (y”=0 ⇔ x=0). Với (x=0) ta với (y=2). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (I(0;2)) làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ (x=-2) suy ra (y=4).

b) Xét hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}{x^3} + {rm{ }}4{x^2} + {rm{ }}4x)

– Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

– Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y’ = 3x^2+ 8x + 4).

(Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – Hai x = – frac{2}{3} end{array} right.)

Hàm số đồng biến trên những khoảng (left( { – infty ; – 2} right)) và (left( { – frac{2}{3}; + infty } right)) và nghịch biến trên (left( { – 2; – frac{2}{3}} right).)

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=-2), trị giá cực đại (y)= (y(-2) = 0).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-frac{2}{3}), trị giá cực tiểu (y_{ct}=yleft ( -frac{2}{3} right )=-frac{32}{27}.)

– Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty).

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Ox) tại điểm với hoành độ là nghiệm của phương trình: ({x^3} + 4{x^2} + 4x = 0⇔ x=0) hoặc (x=-2) nên tọa độ những giao điểm là ((0;0)) và ((-2;0)).

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: (y”=6x+8;)(Rightarrow y”=0Leftrightarrow x=-frac{4}{3}Rightarrow y=-frac{16}{27}.)

c) Xét hàm số (small y = x^3 + x^2+ 9x)

– Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

– Sự biến thiên:

Vậy hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R}) và ko với cực trị.

– Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty).

– Bảng biến thiên :

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục (Ox) tại điểm ((0;0)), cắt trục (Oy) tại điểm ((0;0)).

Đồ thị hàm số với tâm đối xứng là điểm với hoành độ là nghiệm của phương trình (y”=0 ⇔ 6x+2=0 ⇔) (x=-frac{1}{3}.) Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: (Ileft ( -frac{1}{3};-frac{79}{27} right ).)

Lúc này ta vẫn chưa với đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, ta cần lấy thêm hai điểm với hoành độ cách đều hoành độ (x_1) và (x_2) sao cho (left| {{x_1} – left( { – frac{1}{3}} right)} right| = left| {{x_2} – left( { – frac{1}{3}} right)} right|), lúc đó hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn những điểm ((-1;-9)) và (left ( frac{1}{2};frac{39}{8} right ).)

d) Xét hàm số (y=-2x^3+5)

– Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

– Sự biến thiên:

Đạo hàm: (y’ = -6x^2≤ 0, ∀x).

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên (mathbb R).

– Hàm số ko với cực trị.

– Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty)

– Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Tính đối xứng: (y”=-12x; y”=0 ⇔ x=0). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn (I(0;5)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục (Oy) tại điểm ((0;5)), đồ thị cắt trục (Ox) tại điểm (left( {sqrt[3]{{frac{5}{2}}};0} right).)


2. Giải bài Hai trang 43 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số bậc bốn sau:

a) (small y = -x^4 + 8x^2 – 1).

b) (small y = x^4 – 2x^2 + 2).

c) (small y=frac{1}{2}x^4+x^2-frac{3}{2}).

d) (small y = -2x^2 – x^4 + 3).

Bài giải:

a) Hàm số (small y = -x^4 + 8x^2 – 1)

– Tập xác định: (D=mathbb R) ;

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ =-4x^3+ 16x = -4x(x^2- 4));

(Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow – 4xleft( {{x^2} – 4} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0{x^2} – 4 = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 0x = pm 2end{array} right.) .

Hàm số đồng biến trên khoảng ((-infty;-2)) và ((0;2)); nghịch biến trên khoảng ((-2;0)) và (2;+infty)).

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đạt tại hai điểm (x=-2) và (x=2); (y_{CĐ}=y(pm 2)=15).

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=-1)

– Giới hạn: (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = – infty )

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;-1))

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

b) Hàm số (small y = x^4 – 2x^2 + 2)

– Tập xác định: (D=mathbb R);

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ =4x^3- 4x = 4x(x^2- 1));

( Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 4xleft( {{x^2} – 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0
{x^2} – 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0
x = pm 1
end{array} right..)

Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1;0)) và ((1;+infty)); nghịch biến trên khoảng ((-infty;-1)) và ((0;1)).

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=0); (y_{CĐ}=2).

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm (x=-1) và (x=1); (y_{CT}=y(pm 1)=1).

– Giới hạn: (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = + infty )

– Bảng biến thiên :

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Oy) tại điểm ((0;2))

c) Hàm số (small y=frac{1}{2}x^4+x^2-frac{3}{2})

– Tập xác định: (D=mathbb R);

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ =2x^3+ 2x = 2x(x^2+1));

( Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 2xleft( {{x^2} + 1} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0
{x^2} + 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow x = 0.)

Hàm số nghịch biến trên khoảng ((-infty;0)); đồng biến trên khoảng ((0;+infty)).

– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}={-3over 2})

– Giới hạn: (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = + infty )

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((-1;0)) và ((1;0)); giao (Oy) tại ((0;{-3over 2})).

d) Hàm số (small y = -2x^2 – x^4 + 3)

– Tập xác định: (D=mathbb R);

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ = -4x – 4x^3= -4x(1 + x^2));

( Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow – 4xleft( {1 + {x^2}} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 0
{x^2} + 1 = 0
end{array} right. Leftrightarrow x = 0.)

Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;0)); nghịch biến trên khoảng: ((0;+infty)).

– Cực trị: Hàm số đạt cực đạt tại (x=0); (y_{CĐ}=3).

– Giới hạn: (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = -infty )

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm chẵn, nhận trục (Oy) làm trục đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại hai điểm ((1;0)) và ((-1;0)); giao (Oy) tại điểm ((0;3)).


3. Giải bài 3 trang 44 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của những hàm số phân thức:

a) (y=frac{x+3}{x-1}).

b) (y=frac{1-2x}{2x-4}).

c) (y=frac{-x+2}{2x+1}).

Bài giải:

a) Hàm số (y=frac{x+3}{x-1})

– Tập xác định : (mathbb R{rm{backslash { }}1});

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ = {{ – 4} over {{{(x – 1)}^2}}} < 0,forall x ne 1) ;

Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;1)) và ((1;+infty)).

– Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

– Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to {1^ – }} = – infty ), (mathop {lim y}limits_{x to {1^ + }} = +infty); (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = 1)

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = 1); tiệm cận ngang là: (y = 1).

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm (I(1;1)) làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại:((0;-3)), trục hoành tại ((-3;0))

b) Hàm số (y=frac{1-2x}{2x-4})

– Tập xác định: (mathbb R backslash {rm{{ }}2} );

– Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;2)) và ((2;+infty))

– Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

– Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to {2^ – }} = + infty ), (mathop {lim y}limits_{x to {2^ + }} = – infty ), (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = – 1)

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = 2); tiệm cận ngang là:( y = -1).

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm (I(2;-1)) lầm tâm đối xứng.

Đồ thị giao trục tung tại: (left( {0; – {Một over 4}} right)), trục hoành tại: (left( {{Một over 2};0} right))

c) Hàm số (y=frac{-x+2}{2x+1})

– Tập xác định: (Rbackslash left{ { – {Một over 2}} right});

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ = {{ – 5} over {{{left( {2{rm{x}} + 1} right)}^2}}} < 0,forall x ne – {Một over 2})

Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;{-1over 2})) và (({-1over 2};+infty))

– Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

– Tiệm cận:

(mathop {lim y}limits_{x to – {{{Một over 2}}^ – }} = – infty ), (mathop {lim y}limits_{x to – {{{Một over 2}}^ + }} = + infty ), (mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = – {Một over 2})

Do đó, tiệm cận đứng là: (x = – {Một over 2}); tiệm cận ngang là: (y = – {Một over 2}).

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị nhận điểm (I( – {Một over 2}; – {Một over 2})) làm tâm đối xứng.

Đồ thị giao (Ox) tại: ((2;0)), (Oy) tại: ((0;2))


4. Giải bài 4 trang 44 sgk Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Từ đồ thị tìm số nghiệm của những phương trình sau:

a) (small x^3 – 3x^2 + 5 = 0).

b) (small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0).

c) (small 2x^2 – x^4 = -1).

Bài giải:

Thực chất yêu cầu bài tập là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.

Số nghiệm của những phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -Một ở câu c.

a) (small x^3 – 3x^2 + 5 = 0)

Xét hàm số: (y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5)

– Tập xác định: (D=R.)

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’=3{{x}^{2}}-6xRightarrow y’=0Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0Leftrightarrow left[ begin{align} & x=0 & x=2 end{align} right..)

Hàm số đồng biến trên khoảng (left( infty ;0 right)) và (left( 2;+infty right)); hàm số nghịch biến trên khoảng (left( 0; Hai right).)

Hàm số đạt cực đại tại (x=0; {{y}_{CD}}=5.)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=2; {{y}_{CT}}=1.)

Giới hạn: (underset{xto -infty }{mathop{lim }},y=-infty ; underset{xto +infty }{mathop{lim }},y=+infty .)

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị hàm số: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (left( 0; 5 right).)

Số nghiệm của phương trình ({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5) và trục hoành.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại Một điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho với nghiệm duy nhất.

b) (small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0)

Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 – 2

– Tập xác định: (D=mathbb{R}.)

– Sự biến thiên:

Đạo hàm: y’ = -6x2 + 6x = -6x(x – 1); y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 1.

Giới hạn: (mathop {lim }limits_{x to – infty } y = + infty ;mathop {lim }limits_{x to + infty } y = – infty .)

– Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên những khoảng (left( { – infty ;0} right)) và (left( {1; + infty } right).)

– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, trị giá cực đại y=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, trị giá cực tiểu yct=y(0)=-2.

– Đồ thị hàm số:

Tính đối xứng: (y”=-12x+6;y”=0Leftrightarrow x=frac{1}{2}.) Nên tọa độ tâm đối xứng là (Ileft ( frac{1}{2};-frac{3}{2} right ).)

–Đồ thị hàm số đi qua những điểm: $(-1;3); (2;-6)$.

Số nghiệm của phương trình (small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0) là số giao điểm của đồ thị hàm số (small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0) và trục hoành.

Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại Một điểm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho với nghiệm duy nhất.

c) (2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1.)

Xét hàm số: (y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}.)

– Tập xác định: (D=R.)

– Sự biến thiên:

(y’=4x-4{{x}^{3}}Rightarrow y’=0Leftrightarrow 4x-4{{x}^{3}}=0Leftrightarrow left[ begin{align}& x=0 & x=pm 1 end{align} right..)

Hàm số đồng biến trên khoảng (left( -infty ; -Một right)) và (left( 0; Một right);) hàm số nghịch biến trên khoảng (left( -1; 0 right)) và (left( 1;+infty right).)

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm (x=-1) và (x=1; {{y}_{CD}}=1.)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0; {{y}_{CT}}=0.)

Giới hạn: (underset{xto -infty }{mathop{lim }},=-infty ;underset{xto +infty }{mathop{lim }},=-infty .)

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Số nghiệm của phương trình (2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}) và đường thẳng (y=-1.)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng (y=-1) cắt đồ thị hàm số (y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}) tại hai điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho với Hai nghiệm phân biệt.


5. Giải bài 5 trang 44 sgk Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số

(y = -x^3+ 3x + 1).

b) Dựa vào đồ thị ((C)), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo thông số (m).

(x^3- 3x + m = 0).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = -x^3+ 3x + 1).

– Tập xác định: (mathbb R).

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ = -3x^2+ 3 = -3(x^2-1));

(Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1x = – 1end{array} right.).

Hàm số đồng biến trên khoảng ((-1;1)), nghịch biến trên khoảng ((-infty;-1)) và ((1;+infty)).

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại (x=1); (y_{CĐ}=3)

Hàm số đạt cực tiểu tại (x=-1); (y_{CT}=-1)

– Giới hạn:

(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to – infty } = + infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to + infty } = – infty cr} )

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị: Đồ thị giao (Oy) tại điểm (I(0;1)) và nhận (I) làm tâm đối xứng.

b) (x^3- 3x + m = 0) (⇔ -x^3+ 3x + 1 = m + 1) (1).

Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) : (y = m + 1).

Từ đồ thị ta thấy:

(m + 1 < -1 ⇔ m < -2 ): (d) cắt (C) tại Một điểm, (1) với Một nghiệm.

(m + 1 = -1 ⇔ m = -2) : (d) cắt (C) tại Một điểm và xúc tiếp với (C) tại Một điểm, (1) với Hai nghiệm.

(-1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2) : (d) cắt (C) tại 3 điểm, (1) với 3 nghiệm.

( m + 1 = 3 ⇔ m = 2) : (d) cắt (C) tại Một điểm và xúc tiếp với (C) tại Một điểm, (1) với Hai nghiệm.


6. Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12

Cho hàm số (y=frac{mx-1}{2x+m}).

a) Chứng minh rằng với mọi trị giá của thông số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua (A(-1 ; sqrt{2}).)

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lúc m = 2.

Bài giải:

a) (y = {{mx – 1} over {2x + m}}).

Tập xác định: (mathbb Rbackslash left{ {{{ – m} over 2}} right}) ;

Do đó hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Tiệm cận đứng (∆): (x = – {m over 2}).

Vì (A(-1 ; sqrt2) ∈ ∆) (⇔- {m over 2}= -1 ⇔ m = 2).

c) Với (m = 2) thì hàm số đã cho với phương trình là: (y = {{2x – 1} over {2x + 2}}).

– Tập xác đinh: (D=mathbb Rbackslash {rm{{ }} – 1} )

– Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng: ((-infty;-1)) và ((-1;+infty))

– Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

– Tiệm cận:

(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = Một cr
& mathop {lim y}limits_{x to – {1^ – }} = + infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to – {1^ + }} = – infty cr} )

–Tiệm cận đứng là (x=-1), tiệm cận ngang là: (y=1)

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao (Ox) tại điểm (({1over 2};0)), giao (Oy) tại điểm ((0;{-1over 2})).

Đồ thị hàm số nhận điểm (I(-1;1)) làm tâm đối xứng.


7. Giải bài 7 trang 44 sgk Giải tích 12

Cho hàm số y = (frac{1}{4}x^{4}+frac{1}{2}x^{2}+m).

a) Với trị giá nào của thông số (m), đồ thị của hàm số đi qua điểm ((-1 ; 1)) ?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ((C)) của hàm số lúc (m = 1).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của ((C)) tại điểm với tung độ bằng (frac{7}{4}).

Bài giải:

a) Điểm ((-1 ; 1)) thuộc đồ thị của hàm số (⇔1=frac{1}{4}(-1)^{4}+frac{1}{2}(-1)^{2}+mLeftrightarrow m=frac{1}{4}).

b) Với (m = 1) (Rightarrow y=frac{1}{4}x^{4}+frac{1}{2}x^{2}+1) .

– Tập xác định:(mathbb R).

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’=x^{3}+x=x(x^{2}+1) Rightarrow y’ = 0 ⇔ x = 0).

Hàm số đồng biến trên khoảng ((0;+infty)), nghịch biến trên khoảng ((-infty;0))

– Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0); (y_{CT}=1)

– Giới hạn:

(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to – infty } = + infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to + infty } = + infty cr} )

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị: Đồ thị hàm số giao trục (Oy) tại điểm ((0;1)).

c) Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số và với tung độ bằng ( frac{7}{4}) là: (Mleft( {{x_0}; frac{7}{4}} right)).

Lúc đó: (frac{1}{4}x_0^4 + frac{1}{2}x_0^2 + 1 = frac{7}{4} Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 + 4 = 7)

(begin{array}{l}Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 – 3 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x_0^2 = 1x_0^2 = – 3;;left( {ktm} right)end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_0} = 1{x_0} = – 1end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}M_1left( {1;frac{7}{4}} right)M_2left( { – 1;;frac{7}{4}} right)end{array} right..end{array})

Phương trình tiếp tuyến của ((C)) tại (M_1) là: (y = y'(1)(x – 1) + frac{7}{4} ⇔ y = 2x -frac{1}{4})

Phương trình tiếp tuyến của ((C)) tại (M_2) là: (y= y'(-1)(x + 1)+ frac{7}{4} ⇔ y = -2x – frac{1}{4}).


8. Giải bài 8 trang 44 sgk Giải tích 12

Cho hàm số (y = {x^3} + (m + 3){x^2} + 1 – m) (m là thông số) với đồ thị là (Cm).

a) Xác định (m) để hàm số với điểm cực đại là (x=-1).

b) Xác định (m) để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại (x=-2).

Bài giải:

a) (y = {x^3} + left( {m + 3} right){x^2} + 1 – m.)

Ta với: (y’ = 3{x^2} + 2left( {m + 3} right)x Rightarrow y” = 6x + 2left( {m + 3} right).)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = – 1Rightarrow left{ begin{array}{l}y’left( Một right) = 0y”left( Một right) < 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}3 – 2left( {m + 3} right) = 0 – 6 + 2left( {m + 3} right) < 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m = – frac{3}{2}m < 0end{array} right. Rightarrow m = – frac{3}{2}.)

Vậy (m=-frac{3}{2}.) thì hàm số đã cho đạt cực đại tại (x=-1).

b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm với M hoành độ (x = -Hai Rightarrow M(-2;0) ).

(begin{array}{l}Rightarrow {left( { – 2} right)^3} + left( {m + 3} right){left( { – 2} right)^2} + 1 – m = 0 Leftrightarrow – 8 + 4left( {m + 3} right) + 1 – m = 0Leftrightarrow 4m + 5 – m = 0Leftrightarrow 3m = – 5Leftrightarrow m = – frac{5}{3}.end{array}).


9. Giải bài 9 trang 45 sgk Giải tích 12

Cho hàm số (y=frac{(m+1)x-2m+1}{x-1}) (m là thông số) với đồ thị là ((G)).

a) Xác định (m) để đồ thị ((G)) đi qua điểm ((0 ; -1)).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với (m) tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Bài giải:

a) Theo đề bài ta với:

((0 ; -1) ∈ (G) ⇔)(-1=frac{(m+1)cdot 0-2m+1}{0-1}Leftrightarrow m=0.)

b) Với (m = 0) ta được hàm số (y=frac{x+1}{x-1}) (G0).

– Tập xác định: (D=mathbb R backslash {rm{{ }}1})

– Sự biến thiên:

Ta với: (y’ = {{ – 2} over {{{(x – 1)}^2}}} < 0forall x in D)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: ((-infty;1)) và ((1;+infty)).

Cực trị: Hàm số ko với cực trị.

– Tiệm cận:

(eqalign{
& mathop {lim y}limits_{x to pm infty } = Một cr
& mathop {lim y}limits_{x to {1^ – }} = – infty cr
& mathop {lim y}limits_{x to {1^ + }} = + infty cr} )

– Tiệm cận đứng là: (x=1), tiệm cận ngang là: (y=1)

– Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao trục (Ox) tại ((-1;0)), trục (Oy) tại ((0;-1))

Đồ thị hàm số nhận (I(1;1)) làm tâm đối xứng.

c) (G0) cắt trục tung tại (M(0 ; -1)).

(y’=frac{-2}{(x-1)^{2}}Rightarrow y'(0) = -2).

Phương trình tiếp tuyến của (G0) tại (M) là : (y – (-1) = y'(0)(x – 0) ⇔ y= -2x – 1).


Bài trước:

  • Giải bài Một Hai trang 30 31 sgk Giải tích 12

Bài tiếp theo:

  • Ôn tập chương 1: Giải bài Một Hai 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 trang 45 46 47 sgk Giải tích 12
  • Ôn tập chương 1: Giải bài tập trắc nghiệm Một Hai 3 4 5 trang 47 48 sgk Giải tích 12

  • Những bài toán 12 khác
  • Để học tốt môn Vật lí lớp 12
  • Để học tốt môn Sinh vật học lớp 12
  • Để học tốt môn Ngữ văn lớp 12
  • Để học tốt môn Lịch sử lớp 12
  • Để học tốt môn Địa lí lớp 12
  • Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 12
  • Để học tốt môn Tiếng Anh lớp 12 thí điểm
  • Để học tốt môn Tin học lớp 12
  • Để học tốt môn GDCD lớp 12

Chúc những bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 12 với giải bài Một Hai 3 4 5 6 7 8 9 trang 43 44 45 sgk Giải tích 12!


“Bài tập nào khó đã với giaibaisgk.com“


Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *