Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Sách giải toán 11 Bài 5 : Khoảng cách giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác:

Trả lời thắc mắc Toán 11 Hình học Bài 5 trang 115: Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng a là bé nhất so với những khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của đường thẳng a

Lời giải

Khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng a là OH (H là hình chiếu vuông góc của O trên a)

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ⇒ khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng a là bé nhất so với những khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của đường thẳng a

Trả lời thắc mắc Toán 11 Hình học Bài 5 trang 115: Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (α) là bé nhất so với những khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (α) ⇒ OH = khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (α)

M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α), xét quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu OH < OM

Vậy khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (α) là bé nhất so với những khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Lời giải

Lấy điểm A ∈ a, A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) ⇒ AA’ = khoảng cách từ A tới mặt phẳng (α)

Mà khoảng cách từ A tới mặt phẳng (α) là bé nhất so với những khoảng cách từ A tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).

Trả lời thắc mắc Toán 11 Hình học Bài 5 trang 116: Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong những khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

Lời giải

hai mặt phẳng song song (α) và (β) nên với Một đường thằng a ∈ (α) và a // (β)

⇒ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (β) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (β).

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong những khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.

Trả lời thắc mắc Toán 11 Hình học Bài 5 trang 116: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N tuần tự là trung điểm của cạnh BC và AD. Chứng minh rằng: MN ⊥ BC và MN ⊥ AD (h.3.42)

Lời giải

Tứ diện đều ABCD nên những mặt của tứ diện là những tam giác đều bằng nhau

NB = NC vì là trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau

⇒ ΔBNC cân tại B

NM là đường trung tuyến của tam giác cân BNC

⇒ MN ⊥ BC

Chứng minh tương tự MN ⊥ AD

Lời giải

Theo nhận xét trang 117

– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó tới mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại

Vận dụng chứng minh câu 3 trang 116, ta với đpcm

– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tuần tự chứa hai đường thẳng đó.

Vận dụng chứng minh câu 4 trang 116, ta với đpcm

Bài 1 (trang 119 SGK Hình học 11): Trong những mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?

a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b.

b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b xoành xoạch vuông góc với (P).

c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ).

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Lời giải:

a) Sai

Sửa lại: “Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b”

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Sửa lại: Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Sai.

Bài 2 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho tứ diện S.ABCD với SA vuông góc với mặt phẳng

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

Lời giải:

Bài 3 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng những khoảng cách từ những điểm B, C, D, A, B và D tới đường chéo AC đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải:

ΔBAC’ = ΔCAC’ = ΔDAC’ = ΔA’AC’ = ΔB’AC’ = ΔD’AC’

⇒ Những đường cao hạ từ B; C; D; A’; B’; D’ xuống AC’ bằng nhau

Gọi khoảng cách đó là h.

Ta với: CC’ = a; CA = a√2.

ΔC’AC vuông tại C

Bài 4 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD với AB = a, BC = b, CC = c.

a) Tính khoảng cách từ B tới mặt phẳng (ACCA).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC.

Lời giải:

Bài 5 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’)

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

Lời giải:

Bài 6 (trang 119 SGK Hình học 11): Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.

Lời giải:

Gọi I, K tuần tự là trung điểm của cạnh AB và CD

Qua K kẻ đường thẳng d // AB, trên d lấy A’, B’ sao cho K là trung điểm của A’B’ và KA’ = IA

Ta với B’C = A’D (vì ΔKB’C = ΔKA’D)

Vì BB’ // AA’ // IK mà IK là đường vuông góc chung của AB và CD nên BB’ ⊥ B’C và AA’ ⊥ A’D

Hai tam giác vuông BCB’ và ADA’ với BB’ = AA’ và CB’ = A’D nên ta suy ra AD = BC

Chứng minh tương tự ta với AC = BD

Bài 7 (trang 120 SGK Hình học 11): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC).

Lời giải:

Bài 8 (trang 120 SGK Hình học 11): Cho tứ diện ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó.

Lời giải:


--- Cập nhật: 24-01-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc từ website sachgiaibaitap.com cho từ khoá giải bài tập toán hình 11 bài 5 khoảng cách.

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Sách giải toán 11 Bài 5: Khoảng cách (Nâng Cao) giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác:

Bài 29 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho tứ diện ABCD với AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’. Tính khoảng những giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải:

Giải bài 29 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

Gọi M, N tuần tự là trug điểm của AB và CD.

ΔACD cân nên AN ⊥ CD và ΔBCD cân nên BN ⊥ CD

Do đó CD ⊥ (ABN) ⇒ CD ⊥ MN. Tương tự AB ⊥ MN .

Vậy d (AB, CD) = MN

Bài 30 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ với tất cả những canh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30˚. Hình chiếu H của điểm A trên mp(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’.

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng.

Lời giải:

Giải bài 30 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

Bài 31 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’với cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

Lời giải:

Giải bài 31 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

Gọị O, O’ tuần tự là tâm những hình vuông ABCD, A’B’C’D’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

Từ (1) và (2) suy ra B’D ⊥ (BA’C’).

Tương tự chứng minh được B’D ⊥ (ACD’)

+ Hai mp(BA’C’) và (ACD’) song song với nhau, vuông góc với đoạn B’D và chia B’D thành 3 phần bằng nhau (xét hình bình hành BB’DD’ và BO // D’O).

Do đó khoảng cách giữa mp(BA’C’) và mp(ACD’) là B’D/3=(a√3)/3

+ Khoảng cách giữa BC’ và CD’

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau BC’ và CD’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : mp(BA’C’) và mp(ACD’). Vậy khoảng cách đó là (a√3)/3

Bài 32 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = AA’ = a, AC’ = 2a

a) Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ACD’).

b) Tính đường vuông góc chung của những đường thẳng AC’ và CD’ . Tính khoảng những giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải:

Giải bài 32 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

a) Xét tứ diện DACD’ với DA, DC, DD’ đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D tới mp(ACD’) được tính bởi hệ thức:

b) Vì CD = DD’ = a nên CD’ ⊥ C’D. Mặt khác AD ⊥ (CDD’C) nên CD’ ⊥ AC’ và CD’ ⊥ mp(AC’D). Gọi giao điểm của CD’ với mp(AC’D) là I . Trong mp(AC’D) Kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC’ và CD’.

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’ .

Bài 33 (trang 118 sgk Hình học 11 tăng):

Lời giải:

Giải bài 33 trang 118 SGK Hình học 11 tăng

Từ giả thiết suy ra những tam giác A’AD, BAD, A’AB là những tam giác cân cùng với góc ở đỉnh bằng 60 ˚ nên chúng là những tam giác đều. Tương tự tứ diện A’ABD với những cạnh cùng bằng a hay A’ABD là tứ diện đều. Lúc đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng tâm H của tam giác đều ABD. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) chính là độ dài A’H . Ta với

Bài 34 (trang 118 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a. Những cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2

a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABCD)

b) Gọi E và F tuần tự là trung điểm của những canh AB và CD ; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK ko phụ thuộc vào k , hãy tính khoảng cách đó theo a.

Lời giải:

Giải bài 34 trang 118 SGK Hình học 11 tăng

a) Vì SA = SB = SC = SD = a√Hai nên hình chiếu của điểm S trên mp(ABCD) là điểm H mà HA = HB = HC = HD. Do ABCD là hình chữ nhật nên H chính là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ S tới mp(ABCD) bằng SH. Ta với :

b) Vì EF // AD nên EF // mp(SAD), mặt khác SK nằm trong mp(SAL) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD), đó cũng chính là khoảng cách từ H tới mp(SAD). Vậy khoảng cách giữa EF và SK ko phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên phố thẳng AD .

Tính d(EP; SK) :

Gọi I là trung điểm của AD , kẻ đường cao HJ của tam giác vuông SHI thì HJ ⊥ mp(SAD) do đó d(H; (SAD)) = HJ. Ta với : HJ. SI = SH. HI

Tương tự khoảng cách giữa EF và SK ko phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên phố thẳng AD và bằng (a√21)/7.

Bài 35 (trang 118 sgk Hình học 11 tăng): Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD . Điều trái lại với đúng k?

Lời giải:

Giải bài 35 trang 118 SGK Hình học 11 tăng

a) Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD). Gọi I là trung điểm của AB thì ta với JI ⊥ AB. Tương tự như trên ta cũng với JI ⊥ CD. Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Điều trái lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu CJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD , I, J tuần tự là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC

Thật vậy vì IJ ⊥ AB , I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :


--- Cập nhật: 24-01-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Hình học 11 Bài 5: Khoảng cách từ website hoc247.net cho từ khoá giải bài tập toán hình 11 bài 5 khoảng cách.

Cho mặt phẳng (left (alpha right )), điểm A ko thuộc mặt phẳng (left (alpha right )), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha right )), E là điểm thuộc AM sao cho: (frac{{ME}}{{MA}} = k.)

a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (left (alpha right )).

b. Tính khoảng cách từ E tới mặt phẳng (left (alpha right )), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM tới mặt phẳng (left (alpha right )).

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng (left (alpha right )). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J tới mặt phẳng (left (alpha right )).

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (left (alpha right )). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D tới mặt phẳng (left (alpha right )).

Hướng dẫn giải:

a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha right )) nên: d(A,(left (alpha right ))) = AH = h.

b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng (left (alpha right )).

Lúc đó:  d(E, (left (alpha right ))) = EP.

Ta với : EP // AH (đều vuông góc với mp (left (alpha right ))) và M, P, H thẳng hàng.

Theo định lí Tallet ta với: 

(frac{{EP}}{{AH}} = frac{{ME}}{{MA}}=k)

Lúc đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).

Vì I là trung điểm của AM nên:

(d(I,left( alpha right)) = frac{1}{2}.h) (vận dụng kết quả (1) với (k=frac{1}{2})).

c) Ta với: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC

Do đó: (d(J,left( alpha right)) = d(I,left( alpha right)) = frac{1}{2}.h.)

d) D là trung điểm của JC nên (frac{CD}{CJ}=frac{1}{2}.)

Suy ra: (d(Q,left( alpha right)) = frac{1}{2}d(J,left( alpha right)) = frac{1}{2}.frac{1}{2}.h = frac{1}{4}.h).

Ví dụ 2:

Cho tứ diện SABC với tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB) (bot) (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I tới mp(SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta với: (SA bot (ABC)).

Suy ra (SA bot BC) (1).

Mà (AB bot BC) (giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: (BC bot (SAB)Rightarrow (SBC) bot (SAB).)

b) Ta với: ((SAB)cap (SBC)=SB).

Kẻ (AH bot SB (Hin SB).)

Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.

Lúc đó: (AH bot (SBC)) nên (d(A, (SBC))=AH).

Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta với:

(frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{S^2}}} + frac{1}{{A{B^2}}} = frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{a^2}}} Rightarrow AH = frac{{asqrt 2 }}{2}.)

c) Ta với: (ABcap (SBC)=B) và (frac{BI}{BA}=frac{1}{2}) (do I là trùng điểm của AB) nên:

(d(I,(SBC)) = frac{1}{2}d(A,(SBC)) = frac{1}{2}.frac{{asqrt 2 }}{2} = frac{{asqrt 2 }}{4}.)

Ví dụ 3: 

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = (asqrt2). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Ta với (AOcap (SBC)=C) và (frac{CO}{CA}=frac{1}{2}), do đó:

d(A,(SBC)) = 2.d(O,(SBC)).

(SO bot (ABCD)) nên (SO bot BC)

Kẻ (SI bot BC) thì I là trung điểm của BC.

Suy ra: (BC bot (SOI)Rightarrow (SBC)bot (SOI))

((SBC)cap (SOI)=SI)

Kẻ (OI bot SI (Hin SI).) Lúc đó (d(O,(SBC)) = OH)

Xét tam giác SOI vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta với:

(frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{O{J^2}}} + frac{1}{{O{S^2}}}) mà (OJ = frac{1}{2}.a;,,SO = sqrt {S{C^2} - C{O^2}} = frac{{asqrt 6 }}{2})

Suy ra: (OH = frac{{sqrt {42} }}{{14}}a.)

Vậy: (d(AD,SC) = 2.frac{{sqrt {42} }}{{14}}a = frac{{sqrt {42} }}{7}.a.)

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *