Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Sách giải toán 11 Bài 5: Khoảng cách (Nâng Cao) giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác:

Bài 29 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho tứ diện ABCD sở hữu AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’. Tính khoảng những giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lời giải:

Giải bài 29 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

Gọi M, N tuần tự là trug điểm của AB và CD.

ΔACD cân nên AN ⊥ CD và ΔBCD cân nên BN ⊥ CD

Do đó CD ⊥ (ABN) ⇒ CD ⊥ MN. Tương tự AB ⊥ MN .

Vậy d (AB, CD) = MN

Bài 30 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ sở hữu tất cả những canh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30˚. Hình chiếu H của điểm A trên mp(A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’.

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc, tính khoảng cách giữa chúng.

Lời giải:

Giải bài 30 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

Bài 31 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’sở hữu cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’

Lời giải:

Giải bài 31 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

Gọị O, O’ tuần tự là tâm những hình vuông ABCD, A’B’C’D’ của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

Từ (1) và (2) suy ra B’D ⊥ (BA’C’).

Tương tự chứng minh được B’D ⊥ (ACD’)

+ Hai mp(BA’C’) và (ACD’) song song với nhau, vuông góc với đoạn B’D và chia B’D thành 3 phần bằng nhau (xét hình bình hành BB’DD’ và BO // D’O).

Do đó khoảng cách giữa mp(BA’C’) và mp(ACD’) là B’D/3=(a√3)/3

+ Khoảng cách giữa BC’ và CD’

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau BC’ và CD’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : mp(BA’C’) và mp(ACD’). Vậy khoảng cách đó là (a√3)/3

Bài 32 (trang 117 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ sở hữu AB = AA’ = a, AC’ = 2a

a) Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ACD’).

b) Tính đường vuông góc chung của những đường thẳng AC’ và CD’ . Tính khoảng những giữa hai đường thẳng đấy.

Lời giải:

Giải bài 32 trang 117 SGK Hình học 11 tăng

a) Xét tứ diện DACD’ sở hữu DA, DC, DD’ đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D tới mp(ACD’) được tính bởi hệ thức:

b) Vì CD = DD’ = a nên CD’ ⊥ C’D. Mặt khác AD ⊥ (CDD’C) nên CD’ ⊥ AC’ và CD’ ⊥ mp(AC’D). Gọi giao điểm của CD’ với mp(AC’D) là I . Trong mp(AC’D) Kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC’ và CD’.

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’ .

Bài 33 (trang 118 sgk Hình học 11 tăng):

Lời giải:

Giải bài 33 trang 118 SGK Hình học 11 tăng

Từ giả thiết suy ra những tam giác A’AD, BAD, A’AB là những tam giác cân cùng sở hữu góc ở đỉnh bằng 60 ˚ nên chúng là những tam giác đều. Tương tự tứ diện A’ABD sở hữu những cạnh cùng bằng a hay A’ABD là tứ diện đều. Lúc đó hình chiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng tâm H của tam giác đều ABD. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) chính là độ dài A’H . Ta sở hữu

Bài 34 (trang 118 sgk Hình học 11 tăng): Cho hình chóp S.ABCD sở hữu đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , BC = a. Những cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a√2

a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng đáy (ABCD)

b) Gọi E và F tuần tự là trung điểm của những canh AB và CD ; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK ko phụ thuộc vào k , hãy tính khoảng cách đó theo a.

Lời giải:

Giải bài 34 trang 118 SGK Hình học 11 tăng

a) Vì SA = SB = SC = SD = a√Hai nên hình chiếu của điểm S trên mp(ABCD) là điểm H mà HA = HB = HC = HD. Do ABCD là hình chữ nhật nên H chính là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ S tới mp(ABCD) bằng SH. Ta sở hữu :

b) Vì EF // AD nên EF // mp(SAD), mặt khác SK nằm trong mp(SAL) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD), đó cũng chính là khoảng cách từ H tới mp(SAD). Vậy khoảng cách giữa EF và SK ko phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên phố thẳng AD .

Tính d(EP; SK) :

Gọi I là trung điểm của AD , kẻ đường cao HJ của tam giác vuông SHI thì HJ ⊥ mp(SAD) do đó d(H; (SAD)) = HJ. Ta sở hữu : HJ. SI = SH. HI

Tương tự khoảng cách giữa EF và SK ko phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên phố thẳng AD và bằng (a√21)/7.

Bài 35 (trang 118 sgk Hình học 11 tăng): Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì đường vuông góc chung của AB và CD là đường thẳng nối trung điểm của AB và CD . Điều trái lại sở hữu đúng k?

Lời giải:

Giải bài 35 trang 118 SGK Hình học 11 tăng

a) Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD). Gọi I là trung điểm của AB thì ta sở hữu JI ⊥ AB. Tương tự như trên ta cũng sở hữu JI ⊥ CD. Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Điều trái lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu CJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD , I, J tuần tự là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC

Thật vậy vì IJ ⊥ AB , I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác :

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *