Hình học 11 Bài 5: Khoảng cách

Cho mặt phẳng (left (alpha right )), điểm A ko thuộc mặt phẳng (left (alpha right )), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha right )), E là điểm thuộc AM sao cho: (frac{{ME}}{{MA}} = k.)

a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (left (alpha right )).

b. Tính khoảng cách từ E tới mặt phẳng (left (alpha right )), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM tới mặt phẳng (left (alpha right )).

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng (left (alpha right )). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J tới mặt phẳng (left (alpha right )).

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (left (alpha right )). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D tới mặt phẳng (left (alpha right )).

Hướng dẫn giải:

a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (left (alpha right )) nên: d(A,(left (alpha right ))) = AH = h.

b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng (left (alpha right )).

Lúc đó:  d(E, (left (alpha right ))) = EP.

Ta mang : EP // AH (đều vuông góc với mp (left (alpha right ))) và M, P, H thẳng hàng.

Theo định lí Tallet ta mang: 

(frac{{EP}}{{AH}} = frac{{ME}}{{MA}}=k)

Lúc đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).

Vì I là trung điểm của AM nên:

(d(I,left( alpha right)) = frac{1}{2}.h) (ứng dụng kết quả (1) với (k=frac{1}{2})).

c) Ta mang: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC

Do đó: (d(J,left( alpha right)) = d(I,left( alpha right)) = frac{1}{2}.h.)

d) D là trung điểm của JC nên (frac{CD}{CJ}=frac{1}{2}.)

Suy ra: (d(Q,left( alpha right)) = frac{1}{2}d(J,left( alpha right)) = frac{1}{2}.frac{1}{2}.h = frac{1}{4}.h).

Ví dụ 2:

Cho tứ diện SABC mang tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB) (bot) (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I tới mp(SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta mang: (SA bot (ABC)).

Suy ra (SA bot BC) (1).

Mà (AB bot BC) (giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: (BC bot (SAB)Rightarrow (SBC) bot (SAB).)

b) Ta mang: ((SAB)cap (SBC)=SB).

Kẻ (AH bot SB (Hin SB).)

Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.

Lúc đó: (AH bot (SBC)) nên (d(A, (SBC))=AH).

Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta mang:

(frac{1}{{A{H^2}}} = frac{1}{{A{S^2}}} + frac{1}{{A{B^2}}} = frac{1}{{{a^2}}} + frac{1}{{{a^2}}} Rightarrow AH = frac{{asqrt 2 }}{2}.)

c) Ta mang: (ABcap (SBC)=B) và (frac{BI}{BA}=frac{1}{2}) (do I là trùng điểm của AB) nên:

(d(I,(SBC)) = frac{1}{2}d(A,(SBC)) = frac{1}{2}.frac{{asqrt 2 }}{2} = frac{{asqrt 2 }}{4}.)

Ví dụ 3: 

Cho hình chóp S.ABCD mang đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = (asqrt2). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Ta mang (AOcap (SBC)=C) và (frac{CO}{CA}=frac{1}{2}), do đó:

d(A,(SBC)) = 2.d(O,(SBC)).

(SO bot (ABCD)) nên (SO bot BC)

Kẻ (SI bot BC) thì I là trung điểm của BC.

Suy ra: (BC bot (SOI)Rightarrow (SBC)bot (SOI))

((SBC)cap (SOI)=SI)

Kẻ (OI bot SI (Hin SI).) Lúc đó (d(O,(SBC)) = OH)

Xét tam giác SOI vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta mang:

(frac{1}{{O{H^2}}} = frac{1}{{O{J^2}}} + frac{1}{{O{S^2}}}) mà (OJ = frac{1}{2}.a;,,SO = sqrt {S{C^2} - C{O^2}} = frac{{asqrt 6 }}{2})

Suy ra: (OH = frac{{sqrt {42} }}{{14}}a.)

Vậy: (d(AD,SC) = 2.frac{{sqrt {42} }}{{14}}a = frac{{sqrt {42} }}{7}.a.)

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *