Xem toàn bộ tài liệu Lớp 7: tại đây
Sách giải toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác – Tập tành (trang 83) giúp bạn giải những bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào những môn học khác:
Trả lời thắc mắc Toán 7 Tập Hai Bài 9 trang 81: Tiêu dùng eke vẽ 3 đường cao của tam giác ABC.
Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó mang cùng đi qua một điểm hay ko.
Lời giải
Ta vẽ đường ba đường cao của tam giác ABC như hình vẽ
Ba đường cao đó là : AH, BI, CK
Dựa vào hình vẽ ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm
Trả lời thắc mắc Toán 7 Tập Hai Bài 9 trang 82: Hãy phát biểu và chứng minh những trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập).
Lời giải
– Bài tập 1: Nếu một tam giác mang một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC mang AI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác
AI là đường trung trực ⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI mang:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
– Bài tập 2: Nếu một tam giác mang một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC mang AI vừa là đường trung trực vừa là đường cao
⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI mang:
AI chung
IB = IC ( do I là trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
– Bài tập 3: Nếu một tam giác mang một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC mang AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao
AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI mang:
AI chung
∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)
⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
– Bài tập 4: Nếu một tam giác mang một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân
Xét ΔABC mang AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC
AI là đường trung tuyến ⇒ I là trung điểm BC
Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI mang:
AI chung
IB = IC ( do I là trung điểm BC)
⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)
⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)
⇒ ΔABC cân tại A
Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác – Tập tành (trang 83)
Bài 58 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Hãy giảng giải vì sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Lời giải:
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù mang góc A tù, những đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, lúc đó
Vậy E nằm ngoài A và B
⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta mang tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác – Tập tành (trang 83)
Bài 59 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 57.
a) Chứng minh NS ⊥ LM
b) Lúc góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Lời giải:
a) Trong ΔMNL mang:
LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ⊥ ML.
b)
+ Ta mang : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
ΔNMQ vuông tại Q mang:
Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác – Tập tành (trang 83)
Bài 60 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Trên phố thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Lời giải:
l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên phố thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.
⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.
Vậy KN ⏊ IM
Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác – Tập tành (trang 83)
Bài 61 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Cho tam giác ABC ko vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra những đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy tuần tự chỉ ra trực tâm của những tam giác HAB và HAC.
Lời giải:
Gọi D, E, F là chân những đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.
⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.
a) ΔHBC mang :
AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H tới BC.
BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B tới HC
CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C tới HB.
AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.
b) Tương tự :
+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)
+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)
Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác – Tập tành (trang 83)
Bài 62 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Chứng minh rằng một tam giác mang hai đường cao (xuất phát từ những đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác mang ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải:
+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A mang những đường cao AD, BA, CA.
BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.
AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm).
+ TH2: Xét ΔABC ko mang góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)
Xét hai tam giác vuông EBC và DCB mang :
BC (cạnh chung)
CE = BD (giả thiết)
⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)
CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC.
CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:
⇒ AB = AC = BC
⇒ ΔABC đều.