Tài liệu tương tự
Nội dung
Chương 6 Thanh chịu uốn phẳng 6.1. Tóm tắt lý thuyết 6.1.1.Khái niệm • Uốn thuần túy phẳng: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên những mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng lực là mômen uốn Mx ( hoặc My ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. • Uốn ngang phẳng: Thanh gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên những mặt cắt ngang của nó chỉ với cặp ứng lực là mômen uốn Mx, lực cắt Qy ( hoặc My và Qx ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. • Trọng tải gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh và vuông góc với trục thanh 6.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang a..Ứng suất pháp σz = Mx y Ix ( 6 .1) Trong đó - Mx là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang - Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox - y là tung độ của điểm tính ứng suất Ghi chú: Mx > 0 lúc làm căng thớ dưới và Mx 0) sẽ với trị giá ứng suất pháp kéo to nhất, kí hiệu là σzmax ; còn điểm N xa đường n trung hoà nhất (tung độ ymax ) ở vùng chịu nén ( σz < 0 ) sẽ với trị giá ứng suất pháp nén to nhất kí hiệu là σz min . Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 2σmin h1 Mx §TH t yC x k ym ax n y max s σmax b1 τ2 τ max τ1 y Hình 6.1. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T Ta với: σ zmax = Mx k M y max ; σ z min = − x y nmax Ix Ix Đặt Wxk = Thì σ zmax = (6.3) Ix I ; Wxn = x yK yN (6.4) Mx Mx ; σ = − z min Wxk Wxn (6.5) Wxk ,Wxn tuần tự là mômen chống uốn kéo (nén) của mặt cắt ngang. Với mặt cắt ngang với trục x là trục đối xứng thì Wxk = Wxn = Wx và gọi là mômen chống uốn của mặt cắt ngang. σmin y nmax y Mx τ max §TH x k ym ax h x b σmax Hình 6.2. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nhật - Mặt cắt ngang hình chữ nhật (b x h; trục x song song với cạnh đáy b) bh Hai Wx = 6 (6.6) - Mặt cắt ngang hình tròn (đường kính D; trục x đi qua trọng tâm O) Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 3πD 3 Wx = 0,1D3 32 (6.7) - Mặt cắt ngang hình vành khăn (đường kính trong d, đường kính ngoài D) πD 3 πd3 − Ix 64 64 0,1D 3 1 − η4 = Wx = D/Hai D/2 ( ) với η = d D (6.8) 6.1.4. Ứng suất tiếp Với mặt cắt ngang hình dạng chữ nhật hẹp b < W x ≤ x Wx [σ] *. Bài toán tìm trọng tải cho phép tác dụng lên kết cấu Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học của thanh, ứng suất cho phép của vật liệu, vị trí và phương chiều của trọng tải. Yêu cầu: Tìm trị giá cho phép to nhất của trọng tải với thể tác dụng vào kết cấu theo điều kiện bền. σmax = Mx ≤ [ σ] => M x ≤ W x [ σ ] Wx 6.1.6.Biến dạng của dầm chịu uốn a. Độ cong của đường đàn hồi Một Mx = ρ EI x (6.14) với ρ - bán kính cong của đường đàn hồi Mx - mô men uốn nội lực tại mặt cắt ngang đang xét Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 6EIx - độ cứng của dầm chịu uốn. b. Phương trình vi phân sắp đúng của đường đàn hồi y '' = − Mx EI x (6.15) c. Phương pháp tích phân trực tiếp xác định đường đàn hồi Từ phương trình vi phân sắp đúng (7.15) lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay. ϕ(z) = M dy = ∫ − x dz + C dz EI x (6.16) Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng ⎡ M ⎤ y(z) = ∫ ⎢ ∫ − x dz + C ⎥.dz + D ⎣ EI x ⎦ (6.17) trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị . - Nhược điểm: cồng kềnh về mặt toán học lúc dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để xác định những hằng số tích phân (2n phương trình 2n ẩn số lúc dầm gồm n đoạn) d. Phương pháp trọng tải giả tạo để xác định đường đàn hồi - Nếu ở phương trình vi phân sắp đúng ( 12-6 ) ta đặt q gt (z) = − Mx EI x (6.18 ) thì quan hệ giữa y(z) , ϕ(z) , q gt (z) giống như quan hệ giữa mômen uốn, lực cắt và cường độ của trọng tải phân bố trong biểu thức liên hệ vi phân giữa chúng. Chúng ta sẽ tận dụng kỹ năng tìm lực cắt và mômen uốn lúc biết trọng tải phân bố để ứng dụng vào bài toán tìm góc xoay và độ võng. - Tưởng tượng chọn một dầm ko với thực - gọi là dầm giả tạo và đặt trọng tải phân bố q gt (z) = − Mx vào nó thì lực cắt và mômen uốn ở dầm giả tạo do q gt (z) gây ra tại EI x mặt cắt ngang nào đó chính là góc xoay và độ võng ở dầm thực ban sơ tại mặt cắt ngang đó do trọng tải thực gây ra. Quy tắc để chọn dầm giả tạo như sau: Dầm giả tạo phải với chiều dài bằng chiều dài của dầm thực. Liên kết phải sao cho điều kịên biên về nội lực tại những liên kết trên dầm giả tạo phải thích hợp với điều kiện biên về chuyển vị trên dầm thực tế những vị trí đó. Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 7Bảng chọn dầm giả tạo lập sẵn (xem bảng). Những bước thực hiện: - Vẽ biểu đồ mô men uốn trên dầm thực. Chia tung độ biểu đồ cho độ cứng EI để với trị số của trọng tải giả tạo. - Nếu Mx>0 thì qgt0 (chiều hướng lên) y=0 y=0 Mgt =0 Mgt =0 ϕ 0 ϕ 0 Qgt 0 Qgt 0 y=0 y=0 Mgt =0 Mgt =0 ϕ 0 ϕ 0 Qgt 0 Qgt 0 y=0 y=0 ϕ 0 ϕ 0 y=0 ϕ 0 Mgt =0 Qgt 0 Mgt =0 Mgt =0 Qgt 0 Qgt 0 - Thay thế liên kết trên dầm thực bằng những liên kết trên dầm giả tạo theo mẫu. - Tính Qgt và Mgt trên dầm giả tạo tại những mặt cắt ngang cần xác định độ võng và góc xoay trên dầm thực. Phương pháp trọng tải giả tạo chỉ với ưu thế lúc biểu đồ mô men uốn trên dầm thực là những diện tích dễ xác định trọng tâm và dễ tính diện tích. e. Phương pháp thông số ban sơ để xác định đường đàn hồi - Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1,2,…,i, i+1,..,n từ trái sang phải. Độ cứng mỗi đoạn là E1I1, E2I2,…, EnIn. Xét hai đoạn kề nhau thứ i và i+Một với liên kết dạng đặc trưng sao cho độ võng và góc xoay tại đây với bước nhảy Δya , Δϕa , tại mặt cắt ngang giữa hai đoạn với lực tập trung và mô men tập trung, đồng thời lực phân bố cũng với bước nhảy. Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 8Fa qi F0 qi+Một q0 M0 Ma Hai Một n i+Một i z y0 ϕ0 z=a y (a) i y (a) i+Một Δy a y ϕ (a) i ϕ(a) i+Một Hình 6.3. - Gọi độ cứng qui ước trên cả chiều dài dầm là EI - là bội số chung nhỏ nhất của tất cả những độ cứng trên mỗi đoạn trên chiều dài dầm. Đặt K1 = EI EI EI EI , K2 = ,..., K i = , K i +1 = .,,, E1I1 E2 I Hai Ei I i Ei +1I i +1 - Bằng những phép biến đổi toán học (triển khai Taylor hàm độ võng tại z=a), sử dụng quan hệ vi phân giữa những thành phần ứng lực và tải phân bố, ta nhận được công thức truy hồi của hàm độ võng (hàm độ võng trên đoạn thứ i+Một được xác định lúc biết hàm độ võng trên đoạn thứ i) 1 ( z − a)Hai yi +1 ( z ) = yi ( z ) + Δya + Δϕa ( z − a ) − [ K i +1M i +1 (a ) − K i M i (a ) ] − EI 2! 1 ( z − a )3 1 ( z − a)4 − [ K i +1Qi +1 (a ) − K iQi (a ) ] − − [ K i +1qi +1 (a ) − K i qi (a ) ] − EI 3! EI 4! 1 ( z − a )5 ⎡⎣ K i +1q i' +1 (a ) − K i q i' (a ) ⎤⎦ − − ... 5! EI Lúc độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài thì Ki = Ki+1 = 1 , do vậy yi +1 ( z ) = yi ( z ) + Δya + Δϕ a ( z − a ) − 1 − EI 5 ⎡ ⎤ (6.19) ( z − a)2 ( z − a )3 ( z − a)4 ' ( z − a) Δ M + Δ Q + Δ q + Δ q + ... a a a ⎢ ⎥− a 2! 3! 4! 5! ⎣ ⎦ với ΔM a = M a ; ΔQa = Qa ; Δqa = qi +1 (a) − qi (a) ; Δqa' = qi' +1 (a ) − qi' (a ) ;… - Từ ((7.19), ta thấy rằng, chỉ cần xác định được độ võng đoạn thứ nhất thì bằng công thức truy hồi với thể xác định được độ võng trên tất cả những đoạn còn lại Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 9y1 ( z ) = y0 + ϕ0 z − − Một EI 5 ⎡ ⎤ z2 z3 z4 ' z M Q q q + + + + ...⎥ 0 0 0 ⎢ 0 2! 3! 4! 5! ⎣ ⎦ (6.20) Những thông số y0 ,ϕ0 , M 0 , Q0 , q0 , q0' ,... gọi là những thông số ban sơ và được xác định từ điều kiện biên. Chú ý: - Chiều dương của mô men tập trung, lực tập trung, trọng tải phân bố như hình vẽ 6.3 - Nếu liên kết giữa hai đoạn thứ i và i+Một là khớp treo thì Δya = 0 - Nếu hai đoạn thứ i và i+Một là liền nhau thì Δya = Δϕa = 0 6.1.7.Điều kiện cứng của dầm chịu uốn Điều kiện cứng của dầm chịu uốn với nhiều dạng, dạng thường sử dụng hơn cả là: y max ⎡ y ⎤ ≤⎢ ⎥ l ⎣l⎦ (6.21) trong đó: l là chiều dài nhịp dầm với độ võng to nhất ymax. ⎡y⎤ ⎢ l ⎥ là độ võng tương đối cho phép của dầm - lấy theo quy phạm của nhà nước. ⎣ ⎦ ⎡f ⎤ Một 1 ⎡f ⎤ Một 1 ÷ ÷ chẳng hạn, với dầm phụ: ⎢ ⎥ = ; với dầm chính: ⎢ ⎥ = ⎣ l ⎦ 200 400 ⎣ l ⎦ 400 1000 6.1.8. Bài toán siêu tĩnh: Cần phải sử dung điều kiện chuyển vị để xác định phản lực tại liên kết thừa. Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng 10