Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) y = f(x) song song với đường thẳng d: y = ax + b

Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Dạng toán này thường ra để học trò lấy điểm, cho nên những em học trò, những bạn cần nắm vững tri thức và làm chắc dạng toán này. Viết phương trình tiếp tuyến thường ra mang dạng: phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến qua điểm, phương trình tiếp tuyến lúc biết hệ số góc k, và phương trình tiếp tuyến chứa thông số m.. Cụ thể cách viết phương trình tiếp tuyến như thế nào, chúng ta cùng tới với nội dung ngay sau đây.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tri thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc m tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M (x0, y0).

Lúc đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0, y0) là y = y'(x0 )(x – x0) + y0.

Những dạng toán về phương trình tiếp tuyến 

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến lúc biết tiếp điểm

Tiếp tuyến tại tiếp điểm

Phương pháp:

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x0, y0).

Phương pháp giải:

. Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0).

: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) mang dạng:  

y =  y'(x0)(x – x0) + y0.

– Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại những giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Lúc đó những hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d mang dạng f(x) = ax + b. 

: Trục hoành Ox thì mang y = 0 và trục tung Oy thì x = 0. 

Sử dụng máy tính cầm tay:

Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là cách rút gọn những bước ở cách tính thủ công. Sử dụng máy tính giúp những em tính toán nhanh hơn và chuẩn xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm thì sử dụng máy tính cầm tay là phương pháp được nhiều thầy giáo hướng dẫn và học trò chọn.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C); y = x3 + 2x2 tại điểm M (1; 3). 

Giải: 

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; 3) là:

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 7x – 4.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại M là y = 7x – 4.

Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C):     và mang hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của  đồ thị hàm số (C) tại điểm M.

Giải:

Cách 1:

Ta mang: x0 = -1. Suy ra y0 = y(-1) = 1/Hai và     

Phương trình tiếp tuyến tại M là:     

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. 

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. 

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục hoành của hàm số  (C): y = x4 – 2x2.

Giải: 

Cách 1:

Ta mang: 4x3 – 4x = 4x.(x2 – 1)

Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành Ox là: 

Hiện giờ bài toán chuyển thành dạng viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

+ Với       và   

+ Với         và       

Vậy mang 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

y = 0, y = 4√2x – 8 và y = – 4√2x – 8.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA).

Cách 1: Sử dụng điều kiện xúc tiếp của hai đồ thị

. Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA), hệ số góc k mang dạng:

d: y = k( x- xA) + yA

d là tiếp tuyến của (C) lúc và chỉ lúc hệ     mang nghiệm. 

. Giải hệ phương trình trên, tìm được x, suy ra tìm được k, sau đó thế vào phương trình đường thẳng d

thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 

Cách 2:

: Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm. Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0) theo x0.

. Phương trình tiếp tuyến mang dạng d: y = f'(x0).(x – x0) + f(x0)

.

Vì điểm A(xA; yA) thuộc d nên yA = f'(x0).(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên tìm được x0. 

Thay x0 vừa tìm được vào

ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4x3 + 3x + Một đi qua điểm A(-1; 2). 

Ta mang: y’= – 12x2 + 3

Giải: 

– Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) mang hệ số góc k mang phương trình d: y = k(x + 1) + 2.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) lúc và chỉ lúc hệ     mang nghiệm.

Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

– 4x3 + 3x + 1 = (-12x2 + 3)(x + 1) + 2

+ Với  x = -1. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng -9. 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7. 

+ Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng 0.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.  

Vậy đồ thị (C) mang Hai tiếp tuyến đi qua điểm  A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C):     đi qua điểm A(-1; 4).

Giải:

Điều kiện: x khác – 1. Ta mang:   

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) mang hệ số góc k mang phương trình: y = k(x + 1) + 4.

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) lúc và chỉ lúc hệ sau mang nghiệm: 

Thay k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:         

Đối chiếu với điều kiện x khác – Một thì nghiệm x = -1 (loại), nghiệm x = -4 (nhận).

Phương trình tiếp tuyến là   

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến lúc biết hệ số góc k

Phương pháp: 

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) mang đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

Phương pháp giải:

. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm và tính y’= f'(x)

. Hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0). Giải phương trình này ta tìm được x0, thế vào hàm số tìm được y0. 

Với mỗi tiếp điểm ta tìm được những tiếp tuyến dưới dạng như sau:

d: y = y’0.(x – x0) + y0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng:

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d // đường thẳng cho trước mang hệ số góc k = a. 

Sau lúc lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ rà soát lại tiếp tuyến mang trùng với đường thẳng d hay ko. Nếu trùng thì ko nhận kết quả đó.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng: 

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng cho trước mang hệ số góc k =  -(1/k).

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành Một góc α:

– Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα.

Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, lúc đó: 

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + Hai mang hệ số góc bằng 9.

Giải:

Ta mang: y’= 3x2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0; y0). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = y'(x0) 

Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1: 

Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2: 

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) mang Hai tiếp tuyến mang hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa thông số m

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện bài toán và những dạng toán ở trên để biện luận tìm ra thông số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3x2 mang đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) mang hoành độ x = 1. Tìm trị giá m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1. 

Giải:

TXD: D = R

Ta mang: y’ = 3x2 – 6x.

Điểm M mang hoành độ x0 = Một nên suy ra     

Vậy tọa độ điểm M (1; -2). 

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) mang dạng:

Lúc đó để (d) // Δ:  

Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3.

Kết luận: vậy với m = -Một thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ.

Bài tập phương trình tiếp tuyến tăng

Trên đây là những dạng toán về phương trình tiếp tuyến và những phương pháp tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) mang ví dụ cụ thể. Kỳ vọng rằng những em nắm được phần tri thức quan yếu này. Truy cập lessonopoly để học giỏi môn toán nhé. 

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *