1. Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất
Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác là tri thức vô cùng quan yếu lúc học chương trình toán 12, đặc thù trong phần giải tích. Dưới đây là toàn bộ những công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản nhất được những em vận dụng nhiều trong quá trình làm bài tập.
2. Những dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản
Dạng 1: Nguyên hàm của $I = sin^{m}xcos^{n}xdx$
Trường hợp 1: Nếu m = 2k + 1 $Rightarrow I = int sin^{2k}xcos^{n}x.sinxdx$
$= - int (1-cos^{2}x)^{k} . cos^{n}xd (cosx) Rightarrow$ Đặt $t = cosx$
Trường hợp 2: Nếu n = 2k+1 $Rightarrow$ Đặt $t = sinx$
Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta tiêu dùng công thức hạ bậc
Lưu ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.
I = ∫f(sinx) cosxdx = ∫f(sinx)d(sinx) → Đặt t = sinx
I = ∫f(cosx) sinxdx = −∫f(cosx) d(cosx) → Đặt t = cosx
Dạng 2: Nguyên hàm $I= int frac{dx}{sin^{m}x.cos^{n}x} = frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x} ....$
Trường hợp 1:
Nếu m= 2k+ 1 $I= int frac{sinxdx}{sin^{2k+2}x}.cos^{n}x = - int frac{d(cosx)}{(1 - cos^{2}x)^{k+1}} . cos^{n}x$
Lúc đó ta đặt: $t= cosx$
Trường hợp 2: Nếu n= 2k+ 1 → Đặt $t= sinx$
Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta với: $frac{dx}{sin^{m}x} . cos^{n}x = frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x}$
Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx
Những nguyên hàm chứa $tanx$ hay $cotx$ ta thường tiêu dùng những hằng đẳng thức
$frac{1}{sin^{2}x} = 1+ cos^{2}x ; frac{1}{cos^{2}x = 1+tan^{2}}x$
Nguyên hàm mà mẫu là sang trọng bậc Hai với $sinx$ và $cotx$
$Asin^{2}x + Bsinx.cosx + Ccos^{2}x$ thì ta chia cả tử và mẫu cho $cos^{2}x$
Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
$int cosax . cosbxdx = frac{1}{2}int [cos(a+b)x + cos(a-b)x]dx$
$int sinax . sinbxdx = frac{-1}{2}$
$int [cos(a+b)x-cos(a-b)x]dx$
$int sinax.cosbxdx= frac{1}{2} int [sin(a+b)x+sin(a-b)x]dx$
$int cosax.sinbxdx = frac{1}{2} int [sin(a+b)x - sin(a - b)x]dx$
Dạng 5: Nguyên hàm $I = int frac{dx}{asinx + bcosx + c}$
Ta với: $int frac{dx}{msin^{2}frac{x}{2}+nsinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}+pcos^{x}frac{x}{2}} = int frac{dx}{cos^{2}frac{x}{2}(mtan^{2}frac{x}{2}+ntanfrac{x}{2}+p)} overset{t=tanfrac{x}{2}}{rightarrow} I= int frac{dt}{mt^{2}+nt+p}$
3. Một số bài tập nguyên hàm lượng giác và phương pháp giải
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?
A. 7sinx + C.
B. 7cosx + C.
C. –7cosx + C.
D. Tất cả sai.
Giải
Ta với: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.
Chọn C.
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:
A. –6cosx - 8sinx + C.
B. 6cosx + 8sinx + C.
C. –6cosx + 8sinx + C.
D. 6cosx - 8sinx + C
Giải
Ta với:
∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.
Chọn C.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx
A. 8cosx - 8sinx.
B. -8cosx - 8sinx.
C. 8cosx + 8sinx.
D. Tất cả sai.
Giải
Ta với: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx
Chọn B.
Câu 4: Tính: I = ∫sin(x2 - x + 1).(2x - 1) dx
A. cos(x2 - x + 1) + c.
B. -Hai cos(x2 - x + 1) + c.
C. -1/2 . cos(x2 - x + 1).
D. -cos(x2 - x + 1).
Giải
Ta với: sin(x2 - x + 1).(2x - 1)dx = sin(x2 - x + 1).(x2 - x + 1)' dx
= sin(x2 - x + 1).d(x2 - x + 1)
Đặt u = x2 - x + Một ta được:
⇒ I = ∫sin(x2 - x + 1).(2x - 1) dx = ∫sin(x2 - x + 1).d(x2 - x + 1)
I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos(x2 - x + 1) + c
Chọn D.
Câu 5:
Tính
A. 3ln|cosx + 2| - ln|cosx + 1| + c
B. -3ln|cosx + 2| - ln|cosx + 1| + c
C. 4ln|cosx + 2| + 2ln|cosx + 1| + c
D. 2ln|cosx + 2| - 3ln|cosx + 1| + c
Giải:
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan2x
Giải:
Ta với
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne
Câu 8: Nguyên hàm của hàm số
y = 2cos6x - 3sin4x với dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?
A. –4
B. 4
C. 2
D. -2
Giải:
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số
Giải:
Ta với:
Câu 10: Tìm nguyên hàm sau: $I = int frac{2dx}{sqrt{3}sinx+cosx}$
Giải
Câu 11: Tính nguyên hàm sau: $J= intfrac{dx}{{cos2x}- sqrt{3}sin2x}$
Giải
Câu 12: Tìm nguyên hàm sau $I= intfrac{dx}{3cosx + 5sinx +3}$
Giải
Câu 13: Tính nguyên hàm sau $I= intfrac{dx}{sin^{2}x + 2sinxcosx 2cos^{2}x}$
Giải
Câu 14: Tính nguyên hàm sau $I= int frac{4sinx+ 3cosx}{sinx+ 2cosx}$
Giải
Bài 15: Tìm nguyên hàm $J= intfrac{3 cosx- Hai sinx}{cosx-4sinx}dx$
Giải:
Ta tìm A,B sao cho
3 cosx- Hai sinx= A(cosx- 4sinx) + B(-sinx-4cosx
Câu 16: Tính nguyên hàm của $I=intfrac{8cosx}{(sqrt{3} sinx + cosx)^{2}}dx$
Giải
Câu 17: Tính nguyên hàm $I=intfrac{8sinx+cosx+5}{(2sinx-cosx+1)}$
Giải
Câu 18: Tính nguyên hàm $I= int cos3xcos4xdx$
Giải
Câu 19: Tính nguyên hàm sau $I=int (sin^{3}x cos3x+cos^{3}xsin3x)dx$
Giải
Câu 20: Tính nguyên hàm sau $I= int frac{dx}{sinxcos^{3}x}$
Giải
Câu 21: Tính nguyên hàm $int frac{sin3x. sin4x}{tanx + tan2x}$
Giải
Câu 22: Tính nguyên hàm $int frac{dx}{sin^{3}x}$
Giải
Câu 23: Tính nguyên hàm $I= int frac{dx}{sinx sin(x+frac{π}{6})}$
Giải
Câu 24: Tính nguyên hàm của
$I= int tanx.tan(frac{pi}{3}-x)tan (frac{pi}{3}+x)dx $
Giải
Câu 25: Tính nguyên hàm của $I= int frac{dx}{sinx(x+frac{pi}{6})+cos(x+frac{pi}{12})}$
Giải
Để hiểu sâu hơn và thuần thục hơn trong thao tác giải những bài tập nguyên hàm cơ bản vận dụng giải bài tập nguyên hàm tích phân, những em cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Thành Đức Trung nhé!
Sau bài viết này, kỳ vọng những em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm lượng giác, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để với thêm nhiều tri thức và những dạng toán hay, những em với thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm tương trợ để với được tri thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!
- Tích phân là gì? Phương pháp tính và những dạng toán cơ bản
- Công thức nguyên hàm Inx và cách giải những dạng bài tập
- Công thức tính nguyên hàm từng phần và bài tập với đáp án
--- Cập nhật: 15-03-2023 --- edu.dinhthienbao.com tìm được thêm bài viết Nguyên hàm lượng giác: Khái niệm, công thức, mẹo giải và bài tập chi tiết từ website monkey.edu.vn cho từ khoá hướng dẫn giải bài tập nguyên hàm luong giac.
Nguyên hàm lượng giác là gì?
Nguyên hàm lượng giác được biết tới là phần tri thức toán quan yếu trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, để với thể giải được những bài tập liên quan, đòi hỏi học trò phải nắm vững lý thuyết của chúng. Cụ thể:
Khái niệm
Nguyên hàm lượng giác là sự kết hợp giữa nguyên hàm và hàm lượng giác. Trong đó:
Theo Wiki, hàm lượng giác được biết tới là những hàm số toán học của góc, chúng thường được tiêu dùng lúc nghiên cứu những hiện tượng với tính chất tuần hoàn hay tam giác. Những hàm lượng giác của một góc thường được khái niệm bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa những đoạn thẳng nối những điểm đặc thù trên vòng tròn đơn vị.
Với những khái niệm hiện đại hơn thường coi những hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác với thể với đối số là một số thực hay một số phức bất kì.
Trong đó sẽ bao gồm những hàm lượng giác cơ bản như:
Còn nguyên hàm được định tức thị: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.
Định lý liên quan
Nguyên hàm lượng giác cũng là một dạng toán của nguyên hàm, nên lúc giải bài tập học trò phải nắm rõ những định lý cơ bản của nguyên hàm để giải được bài tập. Cụ thể:
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều với dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó F(x) + C; C ∈ R là họ tất cả những nguyên hàm của f(x) trên K.
Tính chất của nguyên hàm
- (∫ f(x)dx)’ = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.
- Nếu F(x) với đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).
- ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.
- ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.
Sự tồn tại của nguyên hàm
Đối với dạng toán nguyên hàm lượng giác, cũng sẽ dựa theo định lý sự tồn tại của nguyên hàm như sau:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều với nguyên hàm trên K.
Công thức nguyên hàm lượng giác chi tiết nhất
Sau lúc đã nắm được khái niệm, tính chất của một bài toán nguyên hàm hàm lượng giác. Để với thể tiến hành làm bài tập và giải chúng thì việc ghi nhớ công thức rất quan yếu.
Hiện tại đối với công thức nguyên hàm lượng giác sẽ với 3 dạng từ cơ bản, mở rộng và tăng. Cụ thể như sau:
Những dạng bài tập về nguyên hàm lượng giác thường gặp và cách giải
Dựa vào công thức nguyên hàm lượng giác trên, về cơ bản sẽ với với 4 dạng toán liên quan để những em học trò với thể vận dụng để giải bài tập đơn thuần. Cụ thể:
Bài tập toán nguyên hàm của hàm lượng giác tự luyện
Vì dạng toán này thường gặp nhiều trong quá trình làm bài tập, bài thi học kỳ cho tới kỳ thi THPT quốc gia, nên những em cần phải nắm rõ từ lý thuyết về công thức sau đó rèn luyện thực hiện để với thể làm quen, hiểu và khắc phục bài toán xác thực nhất.
Vậy nên, để giúp học trò thực hiện giải bài tập toán nguyên hàm lượng giác, sau đây là một số bài tập toán tự liên để những em với thể tham khảo và vận dụng:
Kết luận
Trên đây là tổng hợp những tri thức về dạng toán nguyên hàm lượng giác. Về cơ bản đây là một bài toán khá khó nếu như học trò ko nắm vững tri thức từ lý thuyết cho tới thực hiện sẽ rất dễ bị mất điểm ở dạng bài tập này.
Vậy nên, kỳ vọng với những san sớt của Monkey trên sẽ giúp những em với thêm dữ liệu, tri thức để chinh phục toán nguyên hàm tiện lợi, hiệu quả hơn nhé.