Tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập của Số phức

Vì kỳ thi THPT Quốc gia đang tới sắp nên giasudiem10 xin san sẻ tới những bạn một số lý thuyết về chương Số phức trong bài viết này. Ngoài tóm tắt tri thức chương Số phức lớp 12 , bài viết bao gồm những ví dụ lọc cơ bản để bạn sở hữu thể nhanh chóng xem xét và tăng khả năng phân tích cũng như định hướng của mình lúc đứng trước một bài toán mới. Hãy cùng xem nội dung này qua bài viết dưới đây nhé

1. Khái niệm số phức

– Số phức (dạng đại số) sẽ sở hữu dạng: z = a + bi. Trong đó a, b là những số nguyên, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và i được xem là đơn vị ảo, qui ước i2 = -1

– Kí hiệu: Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

– Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, trái lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

– Hai số phức bằng nhau:

Xét hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i , đối với số phức, ta chỉ xét xem hai số phức sở hữu bằng nhau hay ko. Điều kiện Hai số phức bằng nhau z = z’ lúc và chỉ lúc a = a’, b = b’ .

2. Trình diễn hình học của số phức

Cho số phức z = a + bi (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được trình diễn bởi điểm M(a;b) hoặc bởi vector u = (a;b). Chú ý ở mặt phẳng phức, trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

                           Hình 1: Trình diễn hình dáng học của một số phức.

3. Những phép tính trong số phức

Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di thì:

    • Phép cùng số phức: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

    • Phép trừ số phức: z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i

    • Phép nhân số phức: z1.z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

    • Phép chia số phức: (với z2 ≠ 0)

4. Số phức liên hợp

5. Modun của số phức

Mang thể hiểu modun của số phức z = a+bi là độ dài của vector u (a,b) trình diễn số phức đó.

6. Dạng lượng giác của số phức

7. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R; a ≠ 0). Xét Δ = b2 – 4ac, ta sở hữu

    • Δ = 0: phương trình sở hữu nghiệm thực x = -b/2a .

    • Δ < 0 : phương trình sở hữu hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: .

    ** Chú ý.

    – Mọi phương trình bậc n: A0zn + A1zn-1 + … + An-1z + An = 0 luôn sở hữu n nghiệm phức (ko nhất thiết phân biệt).

    – Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) sở hữu hai nghiệm phân biệt x1, x2 (thực hoặc phức). Ta sở hữu hệ thức Vi–ét

8. Tổng hợp 6 dạng bài tập số phức cơ bản trong đề thi Đại học sở hữu lời giải

Dạng 1: Cùng, trừ số phức

1. Phương pháp giải

Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di thì:

    • Phép cùng số phức:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

   • Phép trừ số phức: z1 – z2 = ( a- c) + ( b – d) i

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai số phức z1 = 1 + 10i và
z2 = 9 – 2i. Số phức z = z1 + z2 sở hữu z1 sở hữu phần thực là:

A. 8    B. 10    C. 12    D. 14

Gợi ý giải:

Ta sở hữu:
z = z1 + z2 = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i.

Do đó, phần thực của số phức z là 10.

Đáp án: B

Dạng 2: Nhân, chia hai số phức

1. Phương pháp giải

Phép nhân số phức:
z1.z2 = ( ac – bd) + ( ad + bc). i

Phép chia số phức:

• Số phức nghịch đảo của z = a + bi ≠ 0
là  =  = 

• Thực hiện phép chia  là nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi

 = 
=  + 

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính trị giá của P= i105 + i23 + i20 – i34

A. 1    B. -2    C. 2    D. 5

Gợi ý giải:

Ta sở hữu : i2 = -1 ⇒ i4 = 1.

    Do đó, P = i105 + i23 + i20 – i34

                    = i104 + 1 + i20 + 3 + i4.5 – i4.8 + 2

                    = i. i4.26 + i2.i.i4.5 + 1- i2. i4.8

             = i. 1 + (-1).i.1 + 1 – (-1).1 = 2

Đáp án: C

Dạng 3: Tìm số phức liên hợp

1. Phương pháp giải

Cho số phức z= a + bi,( a,b ∈ R). Lúc đó, số phức liên hợp với số phức z là: z− = a – bi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức
z = ( 3- 2i). (2 + 3i)

A. z− = -5i    B. z− = 12 -5i

C. z− = 12 + 5i    D. z− = 3 + 2i

Gợi ý giải:

Ta sở hữu: z = (3 – 2i).(2 + 3i) = 6 + 9i – 4i + 6

⇔ z = 12 + 5i Do đó, số phức liên hợp với số phức z là z− = 12 -5i

Đáp án: B

Dạng 4: Môđun của số phức

1. Phương pháp giải

* Cho số phức z = a + bi, ( a,b ∈ R). Lúc đó mô đun của số phức z kí hiệu là : | z| và :
| z| = 

* Nhận xét : |z| ≥ 0 và |z| = 0 ⇔ z = 0 .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính môđun của số phức z = 6 – 8i

A. 10    B. 2    C. -2    D. 80

Gợi ý giải:

Môđun của số phức z = 6 – 8i là:
| z| =  = 10

Đáp án: A

Dạng 5: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện T

1. Phương pháp giải

Để tìm được số phức thỏa mãn điều kiện T, ta cần linh hoạt những phép toán của số phức, tính môdun số phức, số phức liên hợp…

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z = 2m + ( m + 2)i, (m∈ R) . Tìm z biết rằng z2 là một số phức sở hữu phần thực bằng – 5.

A. Ko sở hữu số phức cần tìm

B. z = 2 + 3i , z =  + 

C. z = 4 + 2√3 + (4 + √3)i; z = 4 – 2√3 + (4 – √3)i

D. z = 2i, z = -18 – 7i

Gợi ý giải:

Ta sở hữu :

z2 = 4m2 + 2m(m + 2)i + [(m + 2)i]2
= 3m2 + 2m(m + 2)i-4m-4

Do z2 là số phức sở hữu phần thực bằng -5 nên ta sở hữu:

⇒ 3m2 – 4m – 4 = -5 ⇔ 3m2 – 4m + 1 = 0 ⇔ m = 1 ; m = 1/3

Vậy sở hữu hai số phức thỏa mãn là z1 = 2 + 3i và z2 =  + 

Đáp án: B

Dạng 6: Giải phương trình hàng đầu trên tập số phức

1. Phương pháp giải

Cho phương trình az + b= 0 (a ≠ 0 ) a, b là hai số phức ⇔ az = -b ⇔ z = 

Sau đó, thực hiện phép chia số phức để tìm ra z.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn:
(2 + i)z + 2 – i= 0. Tìm phần thực của số phức.

A. –     B. -3    C. 5    D. 

Gợi ý giải:

Ta sở hữu: (2 + i ).z + 2- i = 0 ⇔ ( 2 + i)z = – 2 + i

⇔ z =  = 

⇔ z =  = 

Do đó, phần thực của số phức cần tìm là – 

Đáp án: A

9. Bài tập Số phức tuyển lựa, sở hữu lời giải

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm trình diễn số phức w = 2z + 1 – i là hình tròn sở hữu diện tích:

A. S = 9π    B. S = 12π.    C. S = 16π.    D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta sở hữu:

Suy ra tập hợp điểm trình diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm trị giá to nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 – z|

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta sở hữu:

Ta sở hữu:

P = |1 + z| + 3|1 – z|

Xét hàm số:

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và với x ∈ (-1; 1) ta sở hữu:

Ta sở hữu:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

Chọn D.

Câu 3: Cho z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn  ∈ R và |z1 – z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. |z1| = √5

B. |z1| = 3

C. |z1| = 2

D. |z1| = 

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a – bi.

Ko mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1; z2 ∈ R, mà:

Ta sở hữu:

(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3)i ∈ R

Chọn C.

Câu 4: Cho hai số phức z1; z2 sở hữu điểm trình diễn tuần tự là M1; M2 cùng thuộc đường tròn sở hữu phương trình x2 + y2 = Một và |z1 – z2| = 1. Tính trị giá biểu thức P = |z1 + z2|

Hướng dẫn:

M1; M2 đường tròn (T) sở hữu tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta sở hữu |z1 – z2| = Một hay M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác đều cạnh bằng 1

Suy ra:

Chọn D.

A. |w| = √3    B. |w| = 1    C. |w| = 2√3    D. |w| = 2

Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn sở hữu hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau z1; z2.

Theo định lý vi – ét ta sở hữu:

Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên ba số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (sở hữu thể suy biến thành đoạn thẳng).

Ứng dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

Chọn A.

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *