Phương trình đường thẳng: Các dạng, cách viết, bài tập có lời giải từ A – Z

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ san sẻ lý thuyết về phương trình đường thẳng và những dạng phương trình thông số, phương trình tổng quát, phương trình chính tắc,..và những dạng bài tập thường gặp nhất ở những đề thi đại học hiện nay để những bạn cùng tham khảo nhé

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

1. Phương trình tổng quát

Phương trình Δ : ax + by + c = 0, a2 + b2 ≠ 0 là PTTQ của đường thẳng Δ nhận n (a;b )làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Những dạng đặc thù của phương trình đường thẳng.

  • Δ: ax + c = 0,(a≠0) nên Δ song song hoặc trùng với Oy.
  • Δ: by + c = 0,(a≠0) nên Δ song song hoặc trùng với Ox.
  • Δ: ax + by = 0, a2 + b2 ≠ 0 nên Δ đi qua gốc tọa độ.

2. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng cắt Ox và Oy tuần tự tại Hai điểm A(a; 0) và B(0; b) sở hữu phương trình đoạn theo chắn là x/a + y/b = 1 (a, b ≠ 0)

3. Phương trình thông số

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0) và nhận u = (u1, u2) làm vectơ chỉ phương. Lúc đó phương trình thông số của d là

với t được gọi là thông số. Với mỗi trị giá t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

4. Phương trình chính tắc

Phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua M0(x0, y0) và sở hữu vecto chỉ phương u = (u1, u2) là

Với u1, u2 ≠ 0

5. Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng sở hữu bờ là trục Ox mà những điểm trên nửa mặt phẳng đó sở hữu tung độ dương, lúc đó tia Mt hợp với tia Mx một góc α. Đặt  k = tanα, lúc đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng sở hữu vecto chỉ phương u = (u1, u2) thì sở hữu hệ số góc k = u1/u2

Đường thẳng sở hữu vectơ pháp tuyến n = (a,b) thì sở hữu hệ số góc k = – a/b

Hai đường thẳng song song sở hữu hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc sở hữu tích Hai hệ số góc là -1.

6. Vị trí tương đối giữa Hai đường thẳng

Xét Hai đường thẳng D1: a1x + b1y + c1 = 0 ; D2: a2x + b2y + c2 = 0. Tọa độ giao điểm D1, D2 là nghiệm của hệ phương trình:

Ta sở hữu những trường hợp sau:

  • Hệ (I) sở hữu một nghiệm (x0; y0), lúc D1 cắt D2 tại M0(x0; y0)
  • Hệ (I) sở hữu vô số nghiệm lúc D1 trùng D2
  • Hệ (I) vô nghiệm lúc D1 // D2

Lưu ý: Nếu a2, b2, c2 ≠ 0 thì

7 Góc giữa Hai đường thẳng

Cho đường thẳng Δ1: a1x + b1y + c1 = 0 sở hữu vecto pháp tuyến nvà Δ2: a2x + b2y + c2 = 0 sở hữu vecto pháp tuyến n2

Đặt j = ( Δ1, Δ2), lúc đó

Lưu ý:

  • Δ1⊥ Δ⇔ n1⊥ n⇔ a1a2 + b1b2 = 0
  • Nếu Δ1 và Δsở hữu phương trình đường thẳng là y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì Δ1⊥ Δ⇔  k1k2 = -1

8. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng (d) ax + by + c = 0 và M(x0; y0) ∉ (d), khoảng cách từ điểm M tới (d) được tính theo công thức

Tham khảo thêm:

  • Giới hạn của hàm số lớp 11: Lý thuyết, công thức, bài tập từ A – Z
  • 7 cách tính lim khôn cùng thuần tuý và xác thực 100% [VD minh họa]

Phương trình đường thẳng trong ko gian

1. Dạng thông số

Trong ko gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0,y0,z0 và nhận u = (u1, u2, u3) làm vectơ chỉ phương. Lúc đó phương trình thông số của d là

với t được gọi là thông số. Với mỗi trị giá t ∈ R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

2. Dạng chính tắc

Nếu cả u1, u2, u3 đều khác 0, từ phương trình thông số ta khử thông số t, ta được phương trình chính tắc

3. Vị trí tương đối giữa Hai đường thẳng

Những dạng bài tập phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình thông số của đường thẳng.

Để viết phương trình thông số của đường thẳng ∆ ta thực hiện những bước như sau:

Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm A(3; -7) và B( 1; -7) sở hữu phương trình thông số là:

Dạng 2:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta thực hiện những bước như sau:

Lưu ý:

Nếu đường thẳng ∆1 cùng phương với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 sở hữu phương trình tổng quát là: ax + by + c’ = 0
Nếu đường thẳng ∆1 vuông góc sở hữu với đường thẳng ∆2: ax + by + c = 0 thì ∆1 sở hữu phương trình tổng quát là: –bx + ay + c’ = 0

Ví dụ:Đường thẳng đi qua A(1; -2) , nhận n = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến sở hữu phương trình là:

A. x – 2y + 1 = 0; B. 2x + y = 0; C. x – 2y – 5 = 0; D. x – 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n = (1; -2) làm VTPT

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 ; ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0, ta xét những trường hợp sau:

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm Mo(xo; yo) tới đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, ta tiêu dùng công thức:

Sau lúc đọc xong bài viết của chúng tôi những bạn sở hữu thể hệ thống lại tri thức về phương trình đường thẳng và những dạng bài tập thường gặp để vận dụng giải bài tập nhanh chóng và xác thực nhé

Leave a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *